Полный текст:
Условные обозначения, принятые при решении контрольной работы:
PV- приведённая (текущая стоимость), FV – будущая стоимость, n – срок операции, r – процентная ставка, I – общая сумма начисленных процентов в денежном выражении, d – учётная ставка, m – количество начислений процентов в году (периоде), ref – эффективная процентная ставка, Ip – индекс инфляции, ? – темп инфляции, r(m) – номинальная процентная ставка (годовая сложная мтавка, начисления по которой происходят несколько раз в год), R – размер платежа при ренте, p – количество платежей в году, ТБУ – точка безубыточности (критический объем).
Задание 1.
Клиент поместил в банк вклад в сумме 50 тыс. руб. под 18 % годовых с ежеквартальной выплатой простых процентов. Какую сумму он будет получать каждый квартал? Как изменится сумма к получению при выплате простых процентов каждый месяц?
Дано: PV=50000 руб., r=0,18 простые, ежеквартальные, n=0,25 (квартал).
Найти: I
Решение. При начислении простых процентов база для начисления остаётся неизменной в виде первоначально внесённой суммы: FV=PV(1+n*r). Таким образом вне зависимости от того, как часто будут начисляться проценты их сумма через одинаковые интервалы времени будет одинакова.
Через квартал сумма к получению составит 50000(1+0,25*0,18) = 52250 руб. Прирост вклада кадый квартал и при начислении простых процентов раз в картал и при начислении их раз в месяц составит I = PV*n*r = 52250-50000=2250 руб.
Задание 2.
Клиент получил 10 апреля ссуду в банке по простой учетной ставке 25 % годовых и должен возвратить 18 ноября того же года 150 тыс. руб. Определить точным и приближенным способами сумму, полученную клиентом, если год невисокосный и проценты удерживаются банком при выдаче ссуды.
Дано: d=0,25 простые, FV=150000 руб., n=10/04-18/11=221 день
Найти: PV
Решение. При использовании приближенного способа начисления процентов (схема 360/360 – обыкновенный процент с приближенным числом дней в периоде (году)) сумма, полученная клиентом будет равна PV=FV*(1-d*n)= 150000*(1-0,25* )=127395,83 руб.
При использовании точного способа начисления процентов (схема 365/365 – точный процент с точным числом дней в периоде (году)) сумма, полученная клиентом будет равна PV=FV*(1-d*n)= 150000**(1-0,25* )=127294,52 руб.
Задание 3.
Предприниматель получил ссуду в банке в размере 2 млн. руб. сроком на 5 лет на условиях: для первых двух лет процентная ставка равна 22% процента годовых, на следующие 3 года ставка равна 24% годовых. Найдите доход банка, если сложные проценты начисляются ежегодно.
Дано: PV=2 млн. руб., n1=2 года, n2=3 года, r1,2=0,22, r3,4,5=0,24, сложные
Найти: I (доход банка)
Решение. Будущая стоимость ссуды на конец 2ого года будет равна FV1=PV*(1+r1.2)n=2 млн. руб.*(1+0,22)2=2,9768 млн.руб.
Эта сумма будет равна PV1 на начало третьего года.
Тогда будущая стоимость на конец 5ого года ссуды составит FV2=PV*(1+r3,4,5)n= FV1*(1+r3,4,5)n=2,9768 млн.руб.*(1+0.24)3=5.6756 млн. руб.
Таким образом доход банка составит I=5,6756-2=3,6756 млн. руб.
Задание 4.
Определите, какую сумму необходимо поместить в банк, начисляющий ежеквартально сложные проценты по годовой ставке 36% годовых, чтобы через 9 месяцев можно было снять 100 тыс. руб. и еще 20 тыс. руб. через 18 месяцев после этого.
Дано: r(4)=0,36 (номинальная), m=4, n1=9 месяцев=0,75 года, n2=18 месяцев=1,5 года,FV1(через 9месяцев)=100 тыс. руб., FV2(через 18 месяцев после снятия 100 тыс. руб.)=20 тыс. руб.
Найти: PV
Решение:
Пусть остаток счёта после снятия 100 тыс. руб. составит
PV2=FV1(через 9месяцев)-100тыс.руб.= х руб.
Тогда FV1(через 9месяцев)=100 тыс. руб. + х = PV(1+r(m)/m)m*n1
100+х=PV(1 + 0,36/4)4*0.75
Найдём х
20 тыс. руб.=х(1 + 0,36/4)4*1,5
x=20 тыс.руб./1,6771=11,9253 тыс.руб.
Подставим найденное значение х в формулу для FV1(через 9месяцев):
100 тыс.руб+11,9253тыс.руб.= PV(1 + 0.36/4)4*0.75
Отсюда PV=86,428 тыс. руб.
Задание 5.
Вексель на сумму 800 тыс. руб. учитывается за 4 года до срока погашения. Какую сумму получит предъявитель векселя при учете по сложной учетной ставке 20% годовых?
Дано: d=0,2 годовых, сложные проценты, FV=800 тыс. руб., n=4 года до погашения
Найти: PV
Решение. PV=FV(1-d)n=800 тыс. руб.*(1-0,2)4=800 тыс. руб.*0,4096 = 327680 руб.
Задание 6.
Банк учитывает вексель за 300 дней по сложной учетной ставке 20% годовых при временной базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть применена при выдаче кредита, если используется временная база 365 дней и банк хочет получить такой же доход?
Дано: n=300/360, d=0,2 годовых, сложные
Найти: r простая
Решение. Доход по операции учёта векселя равен FV-PV.
Так как PV=FV(1-d)n, то доход по операции учёта векселя составит
(1)FV-PV = PV/(1-d)n – PV = PV* .
Доход по кредиту для банка равен:
(2)FV-PV= PV*(1+r*n) – PV = PV*(1+r* ) – PV= PV(1+0,8219r - 1) = PV*0,8219r.
По условию задачи доход по обеим операциям должен быть одинаковым, значит надо приравнять (1) и (2):
PV* = PV*0,8219r
Отсюда r=0,2487 или 24,87%
Задание 7.
На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 12%?
Дано: m1=2, m2=4, m3=12, ? годовой = 12%*4 квартала=48%=Ip-1
Найти: r* (см. условие)
Решение. Ip= ? годовой+1=1,48
=1
=1 , получим r*=0,48. Это годовая эффективная ставка сложного процента.
Найдем номинальные ставки:
ref =(1+r(m)/m)m – 1, тогда r(m)= m = m
1) r(2)= 0,4331 или 43,31%
2) r(4)=0,4119 или 41,19%
3) r(12)=0,3985или 39,85%
Задание 8.
Страховая компания заключила договор с предприятием на 3 года, установив годовой страховой взнос в 80 тыс. руб. Страховые взносы помещаются в банк под сложную процентную ставку 24 % годовых. Определите сумму, которую получит по данному контракту страховая компания, если а) взносы в страховую компанию поступают в конце года; б) равными долями в конце каждого полугодия и проценты начисляются по полугодиям.
Дано: n=3 года, R=80тыс.руб., r=0,24 годовых сложные, взносы:
а)взносы в страховую компанию (а от неё в банк) - в конце года
б) взносы в страховую компанию (а от неё в банк) - равными долями в конце каждого полугодия, p=2, m=2
Найти: FV
Решение.
а) По умолчанию банки используют схему начисления процентов постнумерандо (в конце периода), таким образом, если первый взнос был получен страховой компанией в конце первого года и тут же положен в банк, а последний взнос поступит лишь в конце 3его года (проценты на него не успеют начислиться), то срахования компания получит по контракту:
FV= R* + R= 80тыс. руб.* + 80тыс. руб. = 259200 руб.
б) По умолчанию банки используют схему начисления процентов постнумерандо (в конце периода), таким образом, если первый взнос был получен страховой компанией в конце первого полугодия и тут же положен в банк, а последний взнос поступит лишь в конце 3его года (проценты на него не успеют начислиться), то срахования компания получит по контракту:
FV= +R=40* =40тыс.руб.=321.94+40 тыс.руб.= 361,94 тыс. руб.
Задание 9.
Стоит ли покупать за 55000 руб. ценную бумагу, генерирующую ежегодный доход в сумме 10000 руб. в течение 20 лет, если банк предлагает сложную процентную ставку 18 % годовых?
Решение. Справедливый курс данной ценной бумаги при доходности 18% годовых был бы равен приведённой стоимости всех будущих поступлений от неё: PV=R* =10000* =53527.46 руб. , что меньше предложенной цены - 55000 руб. Таким образом, покупать данную ценную бумагу не стоит, потому что либо бумага переоценена рынком, либо она обеспечивает доходность меньше, чем доходность предложенная банком.
Задание 10.
Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 140 тыс. руб. Банк устанавливает годовую процентную ставку 26%. Какая сумма будет на счете через 6 лет, если начисление сложных процентов происходит: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно?
Дано: пренумерандо, R=140 тыс.руб., r=26% сложные,
а) m=1
б) m=4
в) m=12
Найти: FV
Решение.
а) FV= R* *(1+r)= 140тыс.руб.* *1,26=2036,405 тыс.руб.,
б) FV= * =140тыс.руб.* *1,0654= =2221.1тыс.руб.
в) FV= * = 140* *1,2933=2271,9 тыс.руб.
Задание 11.
В течение 5 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 300 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу срока при использовании сложной процентной ставки 24% годовых, считая, что платежи поступают непрерывным образом?
Дано: n=5 лет, r=0.24, R=300тыс.руб., p --> ?
Найти: FV
Решение. При непрерывных платежах будущая стоимость ренты находится как FV=R* = 300тыс.руб.* = 2695,29 тыс. руб.
Задание 12.
За 10 лет необходимо накопить 50 млн. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать платежи на 400 тыс. руб. и процентная ставка равна 20% годовых. Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года.
Дано: FV=50 млн.руб=50000тыс.руб., r=0,2, постнумерандо, ?R=400тыс.руб.
Найти: R1
Решение.Так как FV= , то
FV= R1 + (R1+400) + ( R1+800) + … + (R1+3200) + (R1+3600) = R1 + (R1+400) + (R1+800) + … + (R1+3200) + (R1+3600) = 50000тыс.руб.
Отсюда 28344,358* R1+3600=50000, R1=1,637 тыс. руб
Задание 13.
1. Условно-постоянные расходы компании равны 12 млн. руб.(FC), отпускная цена единицы продукции –16 тыс. руб.(Pед.), переменные расходы на единицу продукции –10 (AVC). Рассчитайте:
1) критический объем продаж в натуральных единицах (ТБУ);
2) объем продаж, необходимый для достижения прибыли в 3 млн. руб.(х)
Как изменятся значения этих показателей, если:
1) условно-постоянные расходы увеличатся на 15%;
2) отпускная цена возрастет на 2 тыс. руб.;
3) переменные расходы возрастут на 10%;
4) изменятся в заданной пропорции все три фактора?
Решение. ТБУ= = 2000 ед.,
х= = 2500 ед.,
1) условно-постоянные расходы увеличатся на 15%
ТБУ= = 2300 ед., увеличился на 15%
х= = 2800 ед., увеличился на 12%
2) отпускная цена возрастет на 2 тыс. руб.
ТБУ= = 1500 ед., уменьшился на 25%
х= = 1875 ед., уменьшился на 25%
3)переменные расходы возрастут на 10%;
ТБУ= = 2400 ед., увеличился на 20%
х= = 3000 ед., увеличился на 20%
4) изменятся в заданной пропорции все три фактора
ТБУ= = 1971,43 ед., уменьшится на 1,43%
х= = 2400 ед., уменьшится на 4%
Задание 14.
Компания Х имела на 1 июня остаток денежных средств на расчетном счете в сумме 10000 руб. Компания производит продукцию со следующими удельными показателями:
- затраты сырья – 20 руб.;
- оплата труда – 10 руб.;
- прямые накладные расходы – 10 руб.
Известно, что объемы производства и продаж в натуральных единицах составили:
Июнь
Июль
Авг.
Сент.
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Производство
100
150
200
250
300
350
400
Продажа
75
100
150
200
300
350
400
Требуется: составить прогноз движения денежных средств до конца 2001г., если имеется следующая информация:
1) цена реализации– 80 руб.;
2) все прямые расходы оплачиваются в том же месяце, когда они имели место;
3) продажа продукции осуществляется в кредит, период кредита – 1 месяц;
4) в июле компания приобрела новый станок за 20000 руб., оплата за станок - в октябре;
5) постоянные накладные расходы оплачиваются ежемесячно в сумме 1900 руб.
Решение. Прямые удельные расходы – 40 руб./шт.
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
январь
Производство
100
150
200
250
300
350
400
Продажа
75
100
150
200
300
350
400
Отток
Прямые удельные расходы
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Постоянные накладные расходы
1900
1900
1900
1900
1900
1900
1900
Станок
20000
Приток
От продажи
10000 остаток
6000
8000
12000
16000
24000
28000
32000
Итого
4100
-1900
-1900
100
-17900
8100
10100
32000
Нарастающим итогом
4100
2200
300
400
-17500
-9400
700
32700
Задание 15.
Эксперты компании Х составили сводные данные о стоимости источников в случае финансирования новых проектов - r (%):
Диапазон величины источника, тыс. руб.
Заемный
капитал
Привилегированные акции
Обыкновенные акции
0–250
7
15
20
250–500
7
15
22
500–750
8
17
23
750–1000
9
18
24
Свыше 1000
12
18
26
Целевая структура капитала компании составляет:
- привилегированные акции – 15%;
- обыкновенный акционерный капитал – 50%;
- заемный капитал – 35%.
Требуется: рассчитать значение WACC для каждого интервала источника финансирования.
Решение. d – удельный вес источника
WACC= rобыкновен акции*d + rпривилег акции*d + rзаемный капитал*d*(1-ставка налога на прибыль)
Диапазон величины источника, тыс. руб.
WACC
Значение
0–250
7*0,76*0,35+15*0,15+20*0,5
14,112
250–500
7*0,76*0,35+15*0,15+22*0,5
15,112
500–750
8*0,76*0,35+17*0,15+23*0,5
16,178
750–1000
9*0,76*0,35+18*0,15+24*0,5
17,094
Свыше 1000
12*0,76*0,35+18*0,15+26*0,5
18,892