Полный текст:
Задача 1.
Кронштейн АВС состоит из двух стальных стержней АВ и ВС, соединенных шарнирно. На кронштейн действует нагрузка F.
Из условия прочности при осевом растяжении (сжатии) необходимо подобрать сечения элементов АС и ВС требуемой формы.
В расчетах принимается
Дано:
F= 800 кН; а = 1,2 м; b = 1,4 м; с = 2,5 м; f = 1,9 м
Рис. 1. Схема конструкции
Решение.
Рассматриваем равновесие точки С. Точка С является несвободной, на нее наложены связи в виде стержней АВ и ВС. Освобождаем точку С от связей и заменяем их силами реакций связей, считая, что оба стержня сжаты. Реакцию стержня АС обозначим N1, а стержня ВС - N2. Точка В условно стала свободной, находящейся под действием трех сходящихся сил (рис. 2): активной силы F и реакций связей N1 и N2.
Проводим через точку С координатные оси и составляем таблицу проекций на оси координат.
Определим углы между реакциями и лучом оси Y
№ п/п
Силы
Проекция Х
Проекция Y
1.
F
0
-F
2.
N1
-N1sin29,250
-N1cos29,250
3.
N2
-N2sin53,840
-N2cos53,840
Рис.2. Расчетная схема
Составляем уравнения равновесия и решаем их:
Проверка решения графическим способом представлена на рис. 3.
Выбираем масштаб известной силы F. Принимаем длину вектора этой силы на чертеже , т.е. масштабный коэффициент равен . Из начала и конца этого вектора проводим прямые, параллельные стержням АС и ВС. Получаем замкнутый силовой треугольник. Измеряя две другие стороны, получаем 93,92 мм и 155,2 мм, что с учетом выбранного масштабного коэффициента соответствует значениям N1= - 1552 кН, N2= 939,2 кН. Реакция N1 направлена к узлу, т.е. стержень АС растянут (знак «минус» в аналитическом решении также говорит об этом). Реакция N2 направлена от узла, т.е. стержень ВС сжат. Графические построения проводились в среде «КОМРАС» (фрагмент прилагается), поэтому полученные значения достаточно точны.
Рис.3. Графическое решение
Из условия прочности по предельному состоянию определяем требуемые площади сечения стержней:
для растянутого стержня АС (N1)
для сжатого стержня ВС (N2)
Для растянутого стержня АС (N1) необходимый диаметр рассчитываем по формуле :
Для сжатого стержня ВС (N2) выбираем два равнополочных уголка №10 (100 х 16) по ГОСТ8509-93, площадь поперечного сечения каждого уголка S=29,68 см2.Задача 2.
Прямолинейный составной стержень жестко закреплен с одной стороны, а с другой стороны до абсолютно жесткой опоры существует зазор .
Стержень состоит из стальной части и латунной .
Определить внутренние продольные силы и напряжения по участкам стержня, если:
а) вдоль оси прикладывается нагрузка F;
б) температура от исходного состояния повысилась на величину вдоль всего стержня (при решении нагрузка F не учитывается).
Дано:
F= 320 кН; а = 0,6 м; b = 0,8 м; с = 1,2 м; см; .
Решение.
а)
1. Построение эпюры продольных сил.
Значение и направление продольной силы N определяют методом сечений. Рассекая стержень плоскостью, перпендикулярной его оси, отбрасывают одну (любую) часть стержня и, заменив действие отброшенной части на оставленную силой N, составляют уравнение равновесия сил для оставленной части.
Здесь - проекция на ось стержня Z всех внешних сил , приложенных к оставленной части стержня. Продольная сила, направленная от сечения, связана с растяжением и считается положительной; сила, направленная к сечению, связана со сжатием и считается отрицательной.
При расчётах стержня на прочность и жёсткость необходимо знать значение продольной силы N во всех сечениях стержня. Для этого нужно построить график (эпюру), показывающий, как изменяется значение силы N по длине стержня.
Разбиваем длину стержня на участки, границами которых являются сечения, к которым приложены внешние силы. Рассекая стержень плоскостью на каждом участке, и рассматривая равновесие действующих на него сил, определим значение силы N в каждом сечение участка.
Проводим тонкую линию, параллельную оси стержня (ось эпюры), и в выбранном масштабе откладываем положительные значения силы N выше оси, отрицательные ниже оси эпюры. Показываем на эпюре знаки продольной силы, её значения на границах участков и штрихуем эпюру линиями, перпендикулярно её оси. Эпюру очерчиваем толстой линией. Слева от эпюры указываем размерность силы N.
Определим значение продольной силы N на участках.
Проведём сечение I-I на участке с площадью сечения Аст.
В уравнение равновесия не входит координата Z, следовательно, во всех сечениях участка Аст, в которых приложена силы , продольная сила N имеет одно значение. Это же значение сила N будет иметь и на участке с площадью сечения Ал до координаты приложения силы (сечение II – II).
Проведём сечение III – III на участке между сечениями, в которых приложена сила и заделкой.
,
Выбрав масштаб, строим эпюру продольных сил N.
Эпюра построена правильно, если в сечениях, в которых приложены внешние силы, на эпюре имеются ступеньки (скачки) на величину приложенных сил.
2. Определим напряжение в сечении I-I
Определим напряжение в сечении II-II
3. Определим напряжение в сечении III-III
б).
1. Определение температурного удлинения стержня .
-коэффициент температурного линейного расширения стали;
-коэффициент температурного линейного расширения латуни;
-длина стальной части стержня;
-длина латунной части стержня;
С учетом имеющегося зазора см=0,8 мм
2. Определение реакции в опорах.
Поскольку в этом случае стержень является статически неопределимым, для решения задачи используем условие
3. Определим напряжение в сечении I-I
Определим напряжение в сечении II-II
4. Определим напряжение в сечении III-III
Задача 3.
Для заданных балок построить эпюры Q и М. Найти и подобрать из условия прочности размеры указанных поперечных сечений, если . Для схемы «б» принять равным d = 0,6D. Для балки схемы «в» проверить прочность балки по нормальным и касательным напряжениям, построить эпюры нормальных и касательных напряжений, если , .
Дано:
F= 8 кН; l = 4 м; М = 10 кНм; q = 2 кН/м;
Решение.
Схема а)
1. Определение реакций опор.
Выбираем начало координат в крайнем левом сечении балки, направляя ось Y вверх, а ось Z вправо. Мысленно отбрасываем заделку балки, заменяя ее реакцией R и изгибающим моментом MR.
2. Определение поперечных сил QY
Для построения эпюры поперечных сил разбиваем расчетную схему балки на участки, границами которых являются сечения с приложенными в них сосредоточенными силами, моментами, началом или концом распределенной нагрузки.
Проводим на каждом участке сечение и записываем выражение для QY
Участок I-I
Участок II-II
Участок III-III
3. Определение изгибающих моментов МХ
Для построения эпюры изгибающих моментов разбиваем расчетную схему балки на участки, границами которых являются сечения с приложенными в них сосредоточенными силами, моментами, началом или концом распределенной нагрузки.
Проводим на каждом участке сечение и записываем выражение для МХ
Участок I-I
Участок II-II
Участок III-III
Максимальный изгибающий момент от действующих нагрузок на эпюре
Диаметр стержня определяется по формуле
Расчёт балки
Рис. 1. Расчётная схема балки
Рис. 2. Эпюра изгибающих моментов [кН·м]
Рис. 3. Эпюра поперечных сил [кН]
Схема б)
1. Определение реакций опор.
2. Определение поперечных сил QY
Участок I-I
Участок II-II
Участок III-III
3. Определение изгибающих моментов МХ
Участок I-I
Участок II-II
Участок III-III
Максимальный изгибающий момент от действующих нагрузок на эпюре
Диаметр стержня определяется по формуле
; ;
Расчёт балки
Рис. 1. Расчётная схема балки
Рис. 2. Эпюра изгибающих моментов [кН·м]
Рис.5 Эпюра поперечных сил [кН]
Схема в)
1. Определение реакций опор.
2. Определение поперечных сил QY
Участок I-I
Участок II-II
Участок III-III
3. Определение изгибающих моментов МХ
Участок I-I
Участок II-II
Участок III-III
Расчёт балки
Рис. 1. Расчётная схема балки
Рис. 2. Эпюра изгибающих моментов [кН·м]
Рис. 3. Эпюра поперечных сил [кН]
Максимальный изгибающий момент от действующих нагрузок на эпюре
Вычисляем требуемый момент сопротивления
; ;
По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №16 и выписываем его характеристики
Фактическое нормальное напряжение
Наибольшее касательное напряжение составит