Полный текст:
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Для получения зависимости объема товарной продукции от стоимости ОФ предприятия и числа рабочих проведено статистическое наблюдение над группой предприятий одной отрасли, результаты представлены в табл.
№ п/п
Ст-сть тов.продукции, млн.руб. (xi)
Объем тов.продукции, млн.руб (yi)
Среднесписочное число раб-щих, чел.
1.
5,3
9,9
546
2.
8,0
11,8
645
3.
7,7
14,1
610
4.
3,3
6,8
390
5.
3,1
5,4
403
6.
3,6
8,3
558
7.
3,0
7,4
463
8.
5,2
6,1
431
9.
2,8
8,6
474
10.
3,8
5,4
394
11.
3,5
10,4
474
12.
3,9
6,5
436
13.
4,2
7,7
488
14.
6,7
11,0
482
15.
4,3
14,8
575
Рассматривается задача нахождения уравнения линейной парной регрессии, которое связывает между собой объем товарной продукции со стоимостью основных фондов.
Задания:
1. n=15. Каждое пр-тие охарактеризуйте стоимостью осн.фондов хi (факторный признак) и объем тов.продукции уi (результативный признак). Постройте корреляционное поле.
РЕШЕНИЕ:
По графику поля корреляции можно предположить наличие прямой связи между объемом товарной продукции и стоимостью основных фондов.
2. введите в рассмотрение линейную регрессионную модель
у=а0 + а1х + е
дайте экономическое объяснение случайной составляющей е.
РЕШЕНИЕ:
e – Ошибка случайной переменной yi, равная разности между фактическими и теоретическими уровнями; случайное слагаемое, представляющее собой совокупное действие остальных факторов, не включенных в модель.
3. на основании метода наименьших квадратов путем минимизации показ-ля
n
I = ? [yi – ( а0 + а1хi )] ^2
i=1
составьте систему нормальных уравнений и найдите оценки а0, а1, параметров уравнения регрессии.
РЕШЕНИЕ:
Параметры уравнения парной линейной регрессии Y=a0+a1X находятся с помощью метода наименьших квадратов путем решения системы
Xi
Yi
Xi*Yi
Xi2
5,3
9,9
52,47
28,09
8
11,8
94,4
64
7,7
14,1
108,57
59,29
3,3
6,8
22,44
10,89
3,1
5,4
16,74
9,61
3,6
8,3
29,88
12,96
3
7,4
22,2
9
5,2
6,1
31,72
27,04
2,8
8,6
24,08
7,84
3,8
5,4
20,52
14,44
3,5
10,4
36,4
12,25
3,9
6,5
25,35
15,21
4,2
7,7
32,34
17,64
6,7
11
73,7
44,89
4,3
14,8
63,64
18,49
Сумма:
68,4
134,2
654,45
351,64
Среднее:
4,56
8,946666667
a1=1.07
a0=4.07
Уравнение регрессии: Y=4.07+1.07X
4. Нанесите прямую линию, описываемую уравнением.
у=а0 + а1х
на корреляционное поле, выделите 2 предприятия, на которые влияние неучтенных факторов проявляется менее заметно и более заметно по сравнению с остальными предприятиями. Дайте экономическую интерпретацию коэффициента аi .
РЕШЕНИЕ:
Аномальное предприятие - №15. Стоимость товарной продукции близка к средней выборочной стоимости товарной продукции, а стоимость основных фондов заметно больше, чем у остальных предприятий. Сильно проявляется влияние неучтенных факторов.
Самое типичное предприятие - №7. Точка на графике, характеризующая параметры этого предприятия лежит почти что на графике линии регрессии. Влияние неучтенных факторов практически нулевое.
Коэффициент a1 показывает, на сколько в среднем изменится стоимость основных фондов при увеличении стоимости товарной продукции на 1 млн. руб.
5. Определить значимость полученных коэффициентов регрессии ( t – тест.).Для этого найдите стандартные ошибки коэффициентов регрессии, t – статистики коэффициентов регрессии, критическое значение t – статистик при уровне значимости 5% и 1% проверьте нулевые гипотезы для каждого коэффициента и сделайте выводы.
РЕШЕНИЕ:
Сначала выполним расчет остаточной дисперсии
и среднего квадратического отклонения:
Xi
Yi
Yтеор
(Y-Yтеор)2
(X-Xср)2
5,3
9,9
9,738103147
0,026210591
0,5476
8
11,8
12,62577679
0,681907313
11,8336
7,7
14,1
12,30492417
3,222297249
9,8596
3,3
6,8
7,599085632
0,638537847
1,5876
3,1
5,4
7,38518388
3,940955039
2,1316
3,6
8,3
7,919938259
0,144446927
0,9216
3
7,4
7,278233004
0,014827201
2,4336
5,2
6,1
9,631152272
12,46903637
0,4096
2,8
8,6
7,064331253
2,358278501
3,0976
3,8
5,4
8,133840011
7,473881204
0,5776
3,5
10,4
7,812987383
6,692634278
1,1236
3,9
6,5
8,240790887
3,030352911
0,4356
4,2
7,7
8,561643514
0,742429545
0,1296
6,7
11
11,23541541
0,055420414
4,5796
4,3
14,8
8,66859439
37,59413476
0,0676
Сумма:
68,4
134,2
Сумма:
79,08535014
39,736
Среднее:
4,56
8,946666667
Дисперсия:
6,083488473
2,649067
Стандартные ошибки коэффициентов уравнения парной линейной регрессии:
Табличное значение t-статистики при уровне значимости 5%: t=2.131
Табличное значение t-статистики при уровне значимости 1%: t=2.947
Т.к. обе фактические t-статистики больше табличного значения при уровне значимости 5%, то коэффициенты a0 и a1 статистически значимы при данном уровне значимости, нулевая гипотеза отклоняется.
При уровне значимости 1% нулевая гипотеза принимается, коэффициенты статистически малозначимы, их фактические t-статистики меньше табличных.