Полный текст:
Экономическая теория.
Контрольная работа
Вариант 4
Задача 1
Дано:
функция спроса на товар QD=7-P,
функция предложения : QS= -2+2P
Найти :
а) равновесные объём и цену;
б) объемы спроса и предложения, если государство устанавливает фиксированную цену в размере 2р. за единицу;
в) равновесную цену (нетто), цену (брутто), равновесный объем, если государство вводит налог в размере 1,5р. за каждую единицу продукции, уплачиваемый продавцом;
Решение:
а) в общем случае равновесные объём и цену найдём, решив систему уравнений, описывающих функции спроса и предложения :
QD=7-P,
QS= -2+2P
Если левые части обоих уравнений равны (QD=QS) – а это так при равновесной ситуации - то равны и правые :
7-P = -2+2P,
7+2=2P+P,
9=3P,
P=9/3,
P=3.
Q=7-P=7-3=4.
Таким образом, равновесный объём составляет 4 единицы, равновесная цена =3р.
б) при цене 2 руб/шт равновесные спрос и предложение найдём, подставив значение цены в соответствующие уравнения.
Для спроса
QD(2)=7-2=5
Для предложения
QS(2)= -2+2*2= -2+4 = 2.
Действительно, цена в 2р. ниже равновесной
2<3
и спрос превышает предложение (желающих купить товар подешевле больше, чем желающих продавать за дёшево) :
QD>QS
5>2.
в)
Цена нетто (по определению) – это выручка продавца от продажи товара за вычетом всех расходов : Pn=Pb-Т
В случае введения государством налога 1,5руб/ед.продукции (налог выплачивается продавцом), система уравнений примет такой вид :
QD=7-P,
QS= -2+2(P-1,5)
- уравнение спроса останется тем же самым. Цена в уравнении предложения примет вид (P-1,5) – в этом случае график Предложения сместится вниз-вправо, что соответствует снижению предложения (действительно, продавцу такая ситуация – повышение налога - менее выгодна).
Решив систему, найдём, что равновесная цена P=4, равновесный объем Q=3. P=4 – это цена брутто, т.е. цена, уплачиваемая покупателем. Цену нетто получим, уменьшив брутто-цену на тариф: Pn =4-1,5 =2,5.
Задача 2.
Функция полезности U=XYZ,
Где U- полезность в условных единицах полезности,
X- количество покупаемого товара X,
Y- количество покупаемого товара Y,
Z- количество покупаемого товара Z.
Доход потребителя равен 48 ден.ед. Цены продуктов: Px=4, Py=2, Pz=5.
Определить равновесный выбор.
Решение:
Математически условие задачи запишется так
max U=XYZ (значение целевой функции U должно быть максимальным)
48?4*X+2*Y+5*Z (ограничение, налагаемое на аргументы целевой функции).
Минимальное значение для каждой из величин X, Y, Z равен 1 (при меньшем значении – 0 – целевая функция U обращается в нуль).
Значение произведения XYZ будет тем больше, чем больше каждый множитель.
Наибольшего значения U=96 при условии 48?4*X+2*Y+5*Z достигает в трёх случаях :
при X=4, Y=8, Z=3 (4*8*3=96 при затратах 4*4 +8*2 +5*3=16+16+15=47)
при X=4, Y=6, Z=4 (4*6*4=96 при затратах 4*4 +2*6 +5*4=16+12+20=48)
при X=4, Y=6, Z=4 (4*6*4=96 при затратах 4*4 +2*6 +5*4=16+12+20=48).
Потребитель выберет первый вариант, поскольку при этом из выделенного бюджета (48) тратит лишь 47 денежных единиц, получая максимальную полезность.
Задача 3.
Дано: при производстве 30 телевизоров издержки составляют 10 тыс.ден.ед., а при производстве 50 телевизоров – 14 тыс.ден.ед. Предельные издержки постоянны.
Найти: предельные, постоянные и переменные издержки при выпуске 60 телевизоров.
Решение:
Обозначим
Спост – постоянные издержки
Сперем – переменные издержки
Спред – предельные издержки
С – суммарные издержки
V – физический объем выпуска продукции (шт)
Тогда общее уравнение затрат будет иметь вид
С = Спред х V + Спост
При этом
Спред х V= Сперем.
Учитывая цифры, данные в задании, запишем :
14 тыс. = Спред х 50 + Спост
10 тыс. = Спред х 30 + Спост
Вычитая из первого уравнения системы второе, получим :
4 тыс. = 20 Спред
откуда
Спред = 4 тыс. / 20 = 0,2 тыс. = 200 ден.ед.
– на такую сумму увеличиваются переменные (и суммарные) издержки при выпуске каждой последующей единицы продукции. Иными словами, это переменные издержки на единицу продукции.
Найдём теперь постоянные издержки. Знаем, что
10 тыс. = Спред х 30 + Спост
значит
Спост = 10 тыс. – 30 Спред
Спост = 10 тыс. – 30 х 0,2 тыс. = (10-6) тыс = 4 тыс.
Переменные издержки при выпуске 60 единиц продукции :
С = Спред х V + Спост
С (60) = 0,2 тыс. х 60 = 12 тыс.
Полностью уравнение издержек
С = Спред х V + Спост
С = 0,2 V + 4
Графическое представление :
Задача 4. Предприятие находится в условиях совершенной конкуренции. Зависимость общих затрат (ТС) от выпуска продукции (Q) представлена в Таблице :
Q, шт.
ТС, р.
0
9
1
11
2
15
3
21
4
29
5
39
Найти :
а) какой объём продукции выберет фирма, если цена товара равна 8 р.
б) ниже какого уровня должна снизиться цена, чтобы предприятие прекратило производство.
Решение :
а)
Объем производства, шт
Суммарные издержки
Цена
Выручка
Прибыль сумм.
Q
ТС
P
Q x P
Q x P - TC
0
9
8
0
-9
1
11
8
8
-3
2
15
8
16
1
3
21
8
24
3
4
29
8
32
3
5
39
8
40
1
Добавим к исходной Таблице три столбца справа: «Цена», «Выручка» и «Прибыль сумм.».
Столбец «Цена» заполним одинаковыми значениями цены =8.
Столбец «Выручка» заполним построчным произведением Объема и Цены.
Столбец «Прибыль сумм.» содержит заполним по формуле [Прибыль]=[Выручка]-[Суммарные издержки]= [Объем] x [Цена] – [Суммарные издержки].
Одна из основных целей коммерческой фирмы – получение максимальной прибыли. Заметим, что максимальное значение прибыли=3 в настоящей задаче достигается в двух случаях – при производстве 3 или 4 единиц продукции (строки 5 и 6 Таблицы).
Однако оптимальным будет вариант в строке 4 – здесь мы максимальную прибыль =3 получим наименьшими затратами (тремя деталями и суммарными издержками =21). Вариант в строке 5 более затратен.
Задача 5.
Спрос школьников на железнодорожные билеты характеризуется функцией Q1=40-P1, а спрос взрослых Q2=120-P2. Издержки железной дороги: ТС=1400+2Q, где Q – число пассажиров.
Найти :
а) равновесные цены билетов для школьников и взрослых, количество перевозимых пассажиров и прибыль, если осуществляется ценовая дискриминация;
б) максимальную прибыль при отсутствии ценовой дискриминации.
Решение :
а) общее условие безубыточности :
суммарные издержки (ТС) = выручка (валовой доход, P x Q)
a1) условие безубыточности для перевозок школьников
1400+2Q= (40-Q) x Q
левая часть равенства – это издержки железной дороги, правая часть – это выручка. То есть выручка должна как минимум покрывать расходы (издержки) перевозчика.
1400+2Q= 40Q -Q2
Q2-40Q+2Q+1400=0
Q2 -38Q +1400=0
Q = (38± v ((-38)2 –4*1*1400) ) / (2*1)
Q = (38 ± v1444 -5600) / 2
Q = (38 ± v- 4156) / 2
Q не существует – нельзя извлечь корень из отрицательного числа.
Это говорит о том, что равновесного объема при заданных условиях не существует. Очевидно, перевозка школьников требует дотаций со стороны государства.
а2) условие безубыточности для перевозок взрослых
1400+2Q = (120-Q) x Q
левая часть равенства – это издержки железной дороги, правая часть – это выручка. То есть выручка должна как минимум покрывать расходы (издержки) перевозчика.
1400+2Q= 120Q -Q2
Q2-120Q+2Q+1400=0
Q2 -118Q +1400=0
Q = (118± v ((-118)2 –4*1*1400) ) / (2*1)
Q = (118 ± v13924 -5600) / 2
Q = (118 ± v 8324) / 2
Q = (118 ± 91,3) / 2
Q = (118 ± 91,3) / 2
QI=105
QII=14
откуда
PI=120-QI =120-105=15
PII=120-QII =120-14 =106.
Получается, что здесь существует два варианта равновесия :
QI=105, PI=15
или
QII=14, PII=106.