Полный текст:
Контрольная работа по математическим методам анализа экономики
Вариант 1
Задание 1
Предприятие производит два вида продукции и при этом использует два вида ресурсов. Запас ресурса первого вида составляет 28 единиц, а запас второго ресурса составляет 35 единиц. Для производства единицы продукции первого вида используется 2 единицы первого ресурса и 5 единиц второго ресурса; для производства единицы продукции второго вида используется 4 единицы первого ресурса и 3 единицы второго ресурса. Цена единицы готовой продукции первого вида составляет 4 денежных единицы, а единицы продукции второго вида – 3 денежных единицы. Найти оптимальный план производства и максимальную выручку.
Решение:
Составим математическую модель данной задачи. Пусть на предприятии производится единиц продукции первого вида и единиц продукции второго вида.
Так как запас ресурса первого вида составляет 28 единиц, а его расход на производство единицы продукции первого и второго вида составляет соответственно 2 и 4 единицы, получаем следующее ограничение
.
Аналогично рассуждая относительно второго ресурса, придем к неравенству
.
Поскольку количество произведенной продукции не может быть выражено отрицательным число, учтем что, и .
В результате получим следующую систему ограничений:
Упростим первое неравенство, входящее в систему, раздели обе его части на 2
Учитывая, что цена единицы готовой продукции первого вида - 4 денежных единицы, а единицы продукции второго вида – 3 денежных единицы, выручка предприятия может быть задана следующей функцией:
Приходим к следующей задаче линейного программирования: найти максимум целевой функции при специальных ограничениях
Решим поставленную задачу симплексным методом.
Симплексный метод решения
Приведем исходную задачу к каноническому виду, т.е. нужно перейти от ограничений – неравенств к ограничениям равенствам. Так как число неравенств, входящих в систему ограничений равно двум, то этот переход может быть осуществлен путем введения двух дополнительных неотрицательных переменных. При этом к левым частям каждого из неравенств вида "?" прибавляется соответствующая дополнительная переменная:
.
В задаче требуется найти максимум целевой функции, поэтому для приведения задачи линейного программирования к канонической форме вместо нахождения максимума функции z, нужно найти минимум
.
b
1
2
1
0
14
5
3
0
1
35
<
4
3
0
0
0
^
b
0
1
7
<
1
0
7
0
0
-28
^
b
0
1
5
1
0
4
0
0
-31
Очевидно, последние два вектор-столбца системы ограничений являются линейно независимыми, следовательно,
, – базисные переменные,
, – свободные переменные.
Составляем симплекс-таблицу I0, ей соответствует допустимое базисное решение (0; 0; 14; 35).
В последней строке есть положительные элементы. Можно выбрать любой из них. Договоримся выбирать наибольший – 4. Ему соответствует ведущий столбец. В ведущем столбце все элементы строк ( ), ( ), положительны. Рассмотрим отношение свободных членов к этим элементам в каждой строке:
Самое маленькое из них соответствует строке ( ) – это ведущая строка. На пересечении ведущего столбца и ведущей строки стоит ведущий элемент 5. Т.о. переменную будем выводить из базиса, а – вводить в базис: - . Составляем таблицу I1, для этого разделим все значения строки на 5 и внесем их в строку таблицы I1, затем путем алгебраических преобразований элементы выше и ниже 1 приведем к 0. соответствует допустимое базисное решение
(7; 0; 7; 0). = -28.
В последней строке есть единственный положительный элемент , он определяет ведущий столбец. Рассмотрим все отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам ведущего столбца:
.
Наименьшее из них 5 соответствует строке (х3), это ведущая строка. Ведущим элементом будет . Осуществляем «замену» « переходим к таблице I2, проведя преобразования аналогичные таблице I1.Этой таблице соответствует допустимое базисное решение
(4; 5; 0; 0). = -31.
В последней строке нет положительных элементов.
Значит . Для исходной целевой функции
= 31 = z (4; 5; 0; 0).
Максимальная выручка равна 31 денежной единице, оптимальный план производства - 4 единицы продукции первого вида и 5 единиц продукции второго вида.
Ответ: максимальная выручка - 31 ден. ед., оптимальный план производства - 4 единицы продукции первого вида и 5 единиц продукции второго вида.
Задание 2
Игра задана платежной матрицей. Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры
.
Решение:
Выясним, имеет ли игра седловую точку, для этого найдем нижнюю и верхнюю цены игры
Верхняя цена игры: . В нашем случае - .Нижняя цена игры: , , , значит игра не имеет седловой точки (цена игры заключена в пределах .) и применение чистых стратегий не даст оптимального решения игры. Данная игра имеет решение в смешанных стратегиях:
и .
Составим две взаимно-двойственные задачи линейного программирования.
Решаем симплексным методом одну из задач, например, задачу 2 для этого приведем её к каноническому виду:
I шаг
, , - базисные переменные, выразим их через , , .
Базисное решение допустимое, переводим в базисные, , выводим из базисных переменных.
II шаг
Базисные переменные - , , , преобразуем:
Базисное решение . Переводим в базисные переменные; , - выводим из базиса.
III шаг
Базисные переменные - , , , преобразуем:
Базисное решение . Переводим в базисные переменные; , - выводим из базиса.
IV шаг
Базисные переменные - , , , преобразуем:
Базисное решение .
Так как отсутствуют положительные коэффициенты при переменных в функции , то критерий оптимальности выполнен, , базисное решение - является оптимальным.
Установим соответствие между переменными взаимно-двойственных задач и определим оптимальное базисное решение задачи 1 с помощью теорем двойственности:
Оптимальное базисное решение задачи 1: , причем .
Найдем цену игры .
Оптимальную стратегию находим по формуле:
, то есть , , .
.
Оптимальная стратегия определяется аналогично:
, , , .
.
Ответ: оптимальные стратегии игроков и , цена игры
Задание 3
Дана таблица межотраслевого баланса. Рассчитать валовые выпуски отраслей, если конечный продукт первой отрасли увеличиться на 10 процентов, а конечный продукт второй отрасли уменьшится на 20 процентов.
Производство
Потребление
Конечный продукт
1
2
1
40
60
120
2
80
80
40
Решение:
Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного потребления Y.
Вектор Х найдем по формуле:
,
где S – матрица полных затрат, (Е – единичная матрица).
Валовой выпуск для первого производства составит 220 ед., а для второго – 200 ед.
Найдем матрицу прямых затрат, воспользовавшись формулой:
.
В нашем случае , , , , , .
Находим элементы матрицы А
, , , .
Матрица прямых затрат
.
Для неё выполняется условие продуктивности: матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу (строке) не превосходит единицы
,
причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.
Найдем матрицу и обозначим её как матрицу В
.
Матрица полных затрат: . Найдем обратную матрицу , для этого воспользуемся формулой
, где - определитель матрицы В, а - присоединенная матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям матрицы , транспонированную к матрице В.
.
Транспонируем матрицу В
.
Находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :
; ;
; .
Таким образом
.
Вычисляем обратную матрицу ,
.
Матрица полных затрат
.
Найдем вектор конечного потребления, учитывая, что конечный продукт первой отрасли увеличиться на 10 процентов, а конечный продукт второй отрасли уменьшится на 20 процентов.
.
Вектор валового выпуска:
Ответ: если конечный продукт первой отрасли увеличиться на 10 процентов, а конечный продукт второй отрасли уменьшится на 20 процентов, то валовой выпуск первой отрасли увеличиться до 232,57 ед., а второй отрасли уменьшится до 194,29.