Полный текст:
Задача №3
Для неразрезной призматической балки на жестких опорах ступенчато-переменного сечения, показанной на рисунке, требуется:
1) раскрыть статистическую неопределенность;
2) построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов;
Решение:
(1)
Для раскрытия статистической неопределимости примем в качестве неизвестных моменты на опорах 1, 2 – M1 и M2 соответственно. Поскольку моменты на нулевой и третьей опорах однозначно определяются из рисунка: M0=-m, M3=-2m
Учитывая, что опоры балки жесткие, и края балки не имеют жесткой заделки общий вид уравнений равенства углов поворота для смежных пролетов балки:
(2)
В уравнении (2) принимаются следующие обозначения:
- опорный момент на j-ой опоре;
- пролет балки между опорами j-1 и j ;
- главный момент инерции поперечного сечения балки в том же пролете;
- полная нагрузка в том же пролете;
- угол поворота от поперечной нагрузки в правом опорном сечении j-го пролета, в предположении, что оба конца этого участка балки свободно оперты на жесткие опоры;
- то же для левого опорного сечения j+1 –го пролета от нагрузки в этом пролете;
Согласно (2) составляем два уравнения, учитывая, что нагрузка во втором пролете равна (1). Величины и определяем с помощью таблиц изгиба балок. Полученная система уравнений трех моментов:
(3)
Упрощая полученную систему, подставив значения для m и Q, и умножив левые правые части уравнений на , запишем уравнения в виде:
(4)
И окончательно система примет вид:
(5)
Из системы уравнений несложно вычислить неизвестные опорные моменты M1 и M2:
=>
(6)
Определив неизвестные опорные моменты, мы раскрыли статическую неопределимость. Теперь воспользуемся формулой: (7)
Для определения величины перерезывающей силы в левом сечении каждого пролета. Так, для первого пролета в левом сечении перерезывающая сила равна:
(8)
На протяжении всего пролета перерезывающая сила не изменяется, поскольку отсутствует внешняя нагрузка в пролете.
Во втором пролете в левом опорном сечении перерезывающая сила равна:
(9)
Перерезывающая сила на протяжении пролета изменяется, поскольку на пролет действует нагрузка. Закон изменения силы легко определяется. Обозначим через N2 общее выражение для перерезывающей силы во втором пролете как функции от координаты x. При этом ось x проходит параллельно балке и определим начало ее координат в начале второго пролета. Второй пролет имеет длину 2l, значит и x будет изменяться от 0 до 2l, то есть .
(10)
Из этой формулы определим силу в правом опорном сечении второго пролета:
(11)
В третьем пролете:
(12)
И данная перерезывающая сила остается постоянной на протяжении всего пролета.
Определим закон изменения изгибающего момента на протяжении пролетов.
Для первого пролета, поскольку сила постоянна, изгибающий момент изменяется по прямолинейному закону – от до
На третьем пролете ситуация та же – прямолинейный закон от до
Для определения закона изменения изгибающего момента во втором пролете воспользуемся таблицей изгиба балок. Тогда из табличных данных:
, (13)
Где первые два слагаемых определяют нагрузку – сосредоточенных моментов на опоре, а третье слагаемое – равномерно распределенную нагрузку.
Для нашего случая , , .
Тогда:
Или окончательно:
(14)
На основании уравнений (8), (9), (10), (11), (12) строим эпюру перерезывающих сил.
На основании приведенных выше рассуждения для первого и третьего пролетов, и из уравнения (14) для второго пролета чертим эпюру изгибающих моментов.