Полный текст:
2. Найти предел:
в)
3. Найти производные данных функций
4.Найти неопределенный интеграл:
5. Найти площадь ограниченную линиями:
и
Построим искомую область:
Для того чтобы найти площадь искомой области, необходимо найти точки пересечения данных функций. Для этого приравняем значения y.
Найдем корни уравнения
Получили x1=3, x2=2
Значит для того чтобы найти искомую площадь нам необходимо найти:
6. Дана функция, точка (1,3) и вектор а = (2,-1)
Для того чтобы найти grad z в точке необходимо найти частные производные функции в этой точке:
Получаем, что
Для того чтобы найти производную в точке по направлению нужно:
Нужно найти, используя координаты вектора а cos a и sin a.
Так как этот вектор лежит в плоскости, то его направление определяется углом между этим вектором и осью Ox.
Задача 8.
Студент решает задачу по математике. Вероятность того, что он выберет графический способ решения равно 0,6, а аналитический 0,4. Вероятность того, что при графическом решении он получит верный ответ равно 0,8, при аналитическом 0,6. Студент правильно решил задачу. Найти вероятность того, что он выбрал графический метод.
Вероятность того, что выбрали графический метод, и при этом задача была решена правильно P1 = 0,6*0,8=0,48
Аналогично, вероятность того, что выбрали аналитический метод, и при этом задача была решена правильно P2 = 0,4*0,6=0,24
Окончательная вероятность правильного решения задачи равна сумме вероятностей Р1 и Р2, т.к. для правильного решения достаточно, чтобы произошло одно из этих несовместных событий.
Тогда, вероятность того, что Студент выбрал для правильного решения графический метод будет определятся как
Задача 9. Составить закон распределения случайной величины X – числа выигрышей, найти математическое ожидание и дисперсию.
Найдем вероятности того, что среди билетов:
1) Вообще нет выигрышных.
2) Один выигрышный.
3) Два выигрышных.
4) Три выигрышных.
5) Четыре выигрышных.
Закон распределения:
X
0
1
2
3
4
p
0,1296
0,3456
0,3456
0,1536
0,0384
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
Возможные значения квадрата отклонения:
Тогда
[X-M(X)]2
2,72
0,42
0,12
1,82
5,52
p
0,1296
0,3456
0,3456
0,1536
0,0384
Дисперсия равна:
Задача 10.
Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.
И доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью 0,95
xi
8
17
26
35
44
53
62
ni
2
16
12
60
5
3
2
100
Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:
где xi – варианты, ni - частоты.
Выборочной дисперсией называется
Итак,
Для того чтобы найти доверительный интервал необходимо знать выборочное среднее квадратическое отклонение:
Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) ? попадает в интервал , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = ?.
Определим t, при котором Ф(t) = 0,95:2 = 0,475: t = 1,96. Тогда