Матрицы и определители
№1
Два различных по качеству вида растительного масла
продаются в трех магазинах. Матрица А- объемы продаж этих продуктов магазинах в
1-м квартале, матрица В- во 2-м квартале . Определить: 1) объем продаж за два
квартала;2) прирост продаж во втором квартале по сравнению с первым.
А=, В=. Решение:
1) С=
А+В
С=
2) В/А=Д
Д=
№2
Найти
матрицу , обратную к матрице
Решение:
А*
Е=
С==
=6*13*6+4*0*10+2*1*17-1*13*10-2*4*6-6*17*0=324
№3
Вычислить определитель
Решение:
=-1(-1
№4 Определить максимальное число линейно независимых
строк матрицы
Решение:
Очевидно , что 3 строки являются линейно
независимыми.
№5
Предприятие производит три типа продукции, используя
два вида ресурсов. Норма затрат ресурсов i-ого
вида на производство единицы продукции j-ого
типа задана матрицей затрат А, выпуск продукции за квартал- матрицей Х,
стоимость единицы каждого вида ресурсов задана матрицей Р. Найти
1) Матрицу
S полных затрат ресурсов каждого
вида
2) Полную
стоимость всех затраченных ресурсов
А= Х= Р=
Решение.
Полная стоимость ресурсов =
Полная стоимость ресурсов =
№6
Завод производит швейные машины. Каждая машина может
находиться в одном из двух состояний:
1) Работает
хорошо
2) Требует
регулировки.
В момент изготовления р% машин
работают хорошо, (1-р)% требуют регулировки. Статистические исследования
показали, что из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 70%
будут работать хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин, которые
сегодня требуют регулировки, через месяц 60% будут работать хорошо, 40%
потребуют регулировки. Каковы доли машин, которые будут работать хорошо или
потребуют регулировки через месяц после их изготовления?
Р=20%
Решение:
|
Работают хорошо
|
Требуют регулировки
|
|
Момент изготовления
|
20%
|
80%
|
|
Через месяц
|
|
|
|
Те что работали хорошо
|
14% (20%*0.7)
|
6% (20%*0.3)
|
|
Те что требовали регулировки
|
48% (80%*0.6)
|
32 (80%*0.4)
|
|
Итого через месяц:
|
62% (14%+48%)
|
38% (6%+32%)
|
Ответ: через месяц 62%
машин будут работать хорошо, а 32% будут требовать регулировки
Тест №1
№1
Даны матрицы А= и В=.
Выяснить какие из следующих операций можно выполнить
1) А+В
Выполнить нельзя, т.к. матрицы
должны быть одной размерности
2) А’+В
Выполнить нельзя, т.к. матрицы
должны быть одной размерности
3) А+В’
Выполнить нельзя, т.к. матрицы
должны быть одной размерности
4) АВ
Выполнить можно, чисто столбцов А=
числу строк В
5) ВА
Выполнить нельзя, чисто столбцов Вчислу строк А
6) А’В
Выполнить можно, чисто столбцов А’=
числу строк В
7) АВ’
Выполнить нельзя, чисто столбцов Ачислу строк В’
8) А’B’
Выполнить нельзя, чисто столбцов А’числу строк В’
9) B’А’
Выполнить можно, число столбцов В’=
числу строк А’
№2
Даны матрицы А= и В=. Найти B’А’
АВ
Решение:
А’= В’=
В’A’=
АВ=
B’А’
АВ=
№3
Дана матрица А=
Ответ С
№4
Дана матрица А=. Найти определитель матрицы В=А’А.
Решение:
А’=
В=
№5
Определить какая из приведенных
ниже матриц имеют обратную.
1) 2) 3) 4)
Ответ
1) Матрица
не квадратная, значит не имеет обратной
2) Определитель
матрицы равен нулю, значит не имеет обратной
3)
4) Определитель
матрицы равен нулю, значит не имеет обратной
№6
При каком значении а
матрица Д=будет равна матрице ВС , где А=
Ответ :
а=9.
№7
Найти С’ матрицы С=(АВ-B’A’+3E
, где А= В= Е=.
Решение:
АВ=
(АВ)’=
В’= А’=
B’A’= 3Е=
С=
С’=
Системы линейных уравнений
№1
По формулам Крамера решить систему
Решение:
= =-3
= =-3
Δ2
=
Δ3
=
x1 = Δ1/Δ = 1
x2 = Δ2/Δ = 2
x3 = Δ3/Δ = -1
№2
Решить матричное уравнение
Решение:
АХ=В
, значит матрица не вырождена,
следовательно можно найти решение уравнения АХ=В с помощью . Умножая обе часть уравнения на слева, получим
Откуда
Вычислим
алгебраические дополнения:
Отсюда
Х=
№3
Решить
систему методом Гаусса:
.
Решение:
В первом столбце находим максимальный элемент = 5,
меняем строки 1 и 3 местами
Разделим первую строку на максимальный элемент 5
Находим коэффициенты, чтобы получить нули в первом
столбце, к1=-3, к2=-1, к3=0. Умножаем первую строку на коэффициент и прибавляем
строку к остальным строкам
Во втором столбце находим максимальный элемент
=-1,6(из строк 2и3), меняем строки 2 и 3 местами
Разделим вторую строку на -1,6
Находим коэффициенты , чтобы получить во втором
столбце нули к3=0,8 , к4=-1. Умножаем строку с максимальным элементом на
коэффициенты и прибавляем к остальным строкам
В третьем столбце находим максимальный элемент = 7,
меняем строки 3 и 4 местами
Разделим третью строку на элемент =7
Находим коэффициенты , чтобы получить нули в третьем
столбце к4=-5
Отсюда находим
Х1=4,02, х2=2,02 , х3=-0,01 , х4=-1,01
№4
Решить систему из первых трех уравнений №3, указать
число базисных решений и найти одно из них
Решение:
Х3=2-1/2х4
Х2=3/2+1/8х4
Х1=1/2-3/8х4
Х1 х2 х3 х4
½ 3/2 2 0
№5
Найти фундаментальную систему решений системы
линейных уравнений:
Решение:
1) Перепишем систему в матричном виде:
2) Путём элементарных преобразований над строками
приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:
Таким образом ранг системы (ранг её основной
матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно
независимых решения системы.
Перепишем полученную систему в виде уравнений:
Возьмём и
в
качестве главных переменных. Тогда:
Подставим по очереди
единицы в качестве одной из свободных переменных: и
.
Тогда общее решение
рассматриваемой системы может быть записано так:
а вектора составляют
фундаментальную систему решений.
№6
Дана матрица прямых затрат А. Найти изменение
векторов:
А) конечного продукта при данном изменении вектора
валового продукта
Б) валового выпуска при необходимом изменении вектора
конечного продукта
А) = , Б)
Решение:
а)
а)
Найдем обратную
матрицу. Для этого приведем матрицу A к единичной, а единичную матрицу теми же
операциями к обратной.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Получили обратную матрицу:
Ответ: а) ; б)
Тест №2
№1
По формулам Крамера решить систему:
Ответ:
=7
№ 2
Методом обратной матрицы решить систему уравнений
Ответ:
Х1=5 , х3=-2
а12=10
№3
Методом Гаусса решить систему уравнений
Ответ:
Х1=-1 , х2= 0 , х3=1
№4
Дана система уравнений
Выберите верное утверждение
1) Система
определенная
2) Система
несовместная
3) Система
не определенна.
Ответ
Система несовместная
№5
Система из трех уравнений с тремя неизвестными,
заданная в матричном вид АХ=В, несовместна в следующих случаях
1)
2)
3)
4)
5)
Ответ:
3 и 5
№6
Найти число базисных решений системы
уравнений
Ответ:
Х1 Х2 Х3 Х4
5 -2 1 0
4 -2 0 1
№7
Найти фундаментальную систему решений
Ответ:
3 решения (1,-2,1,0,0)
(-1,0,0,1,0)
(0,1,0,0,1)
№8
Выяснить какие из приведенных матриц являются
продуктивными
1) 2) 3) 4)
Ответ:
Матрицы 1 и 4 продуктивные, т.к.
максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для
одного их столбцов сумма элементов строго меньше единицы.
№9
Дана матрица затрат А= и вектор валового выпуска Х=. Найти компоненты у1 и у2 вектора
конечного продукта У=.
Ответ:
(Е-А)Х=У
у1=1170 , у2=430
№10
Дана матрица полных затрат В= и вектор конечного продукта У=. Найти компоненты х1, х2 вектора
валового выпуска Х.
Ответ:
Х=
Элементы матричного анализа
№1
Даны два единичных вектора т и п,
угол между которыми 120°. Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах а и Ь ; б) проекцию вектора Ь на
направление вектора а :
Решение:
= =
№2
Выяснить, являются ли линейно зависимыми
векторы
Решение:
Система векторов линейно зависима.
№3
Даны четыре вектора некотором базисе.
Показать, что векторы образуют базис, и
найти координаты вектора b в этом базисе:
.
Решение:
Х1=-2с
Х2=2с
Х3=-с
Х4=с
Пусть с=1 b=(-2,2,-1,1)
№4
Найти собственные значения и собственные
векторы линейного оператора А* (матрицы А). Привести матрицу А
к диагональному виду А' (если это возможно):
А=
Решение:
А*=
Ах=
Х= собственный вектор, 𝝀-
собственное значение
(А-𝝀Е)х=0
𝝀1,3=5 𝝀2=3
𝝀=5
𝝀=3
Х1= Х2= Х3=
№5
№5
Решение.
1. Приведем к каноническому виду:
2. Найдем ранг квадратичной формы:
Матрица квадратной формы: и
Ранг матрицы:
Ранг квадратичной формы равен рангу матрицы
квадратичной формы.
3. Определим, является ли квадратичная форма
знакоопределенной.
Из
канонической формы видим, что собственные значения разных знаков, значит данная
квадратичная форма не является знакоопределенной. Данная квадратичная форма
является знакопеременной
№6
Решение.
(A - E)X = 0Находим собственный вектор X.
Решим систему методом Гаусса:
Оставим в левой части переменные x1 и x2, которые
возьмем за основные. Оставшуюся (неосновную) переменную x3 перенесем в правую
часть.
Откуда
Отношения национальных доходов для сбалансированной
торговли должно быть равно
Ответ:
Тест № 3
№1
1. Установить соответствие между рисунками и векторными
Равенствами
а) а + Ь + с=0; б)
а+Ь-с =0; в) а-b + с=Ь; г) a-b-c=0.
Ответ:
1) – б);
2) – а);
3) – в);
4) – г).
№2
Определить длину вектора с = 4а
+ ЗЬ, если |a| = 3, = 4, a ^ b = 120*.
Ответ:
=12
№3
Найти ab+bc+ac, где а, b, с — единичные векторы, удовлетворяющие условию а + Ь+с =0.
Ответ:
ab+bc+ac= -1,5
№4
Даны векторы а=3i-6]-k , b=-i +4j + 5k , с = 3i + 4j + 2k, Найти (с точностью до 0,1) проекцию вектора (b+с) на направление вектора (а + b).
Ответ:
Проекция = 4,7.
№5
Выяснить, какие множества элементов образуют линейное пространство:
1) множество натуральных чисел;
2) множество четных чисел;
3) множество всех многочленов степени не выше п;
4) множество всех ненулевых матриц;
5) множество всех решений системы п
линейных однородных уравнений с п переменными.
Ответ:
Линейное пространство образуют множества 3) и 5)
№6
Вектор d = а + Ь + с представить в
виде линейной комбинации векторов а и Ь, если а =
(3; -1), Ь= (1; -2),
с= (-1; 7).
Ответ:
α = 2; β = -3
№7
Выяснить, какие из приведенных троек векторов образуют базис в
пространстве R3:
1) (0;0;l),(0;l;0),(0;l;l);
2) (0;0;1).(1;0;0),(0; 1;0);
3) (1;1;1),(0;1;0),(2;2;2);
4) (1;1;1),(0; 1; 0), (I; 0; 0)
Ответ:
Тройки 2 и 4 образуют базис в R3
№8
Дана матрица А= перехода от базиса () к базису ()
Найти координаты (а; Ь) вектора в базисе ().
Ответ:
a
= 0,4;
b = -0,2
№9
Вектор х в базисе () имеет
координаты -3; 1. Найти координаты (а; Ь) этого вектора в базисе (*=-2е1+е2,
= ег).
Ответ:
a = 1,5; b
= -0,5
№10
Векторы образуют ортонормированный базис. Найти (с точностью до 0,01)
косинус угла между векторами х = и у =
Ответ:
0,44
№11
Ответ:
y = (2;
3)
№12
Ответ:
λ1 = 2, λ2
= 3; a = 2, b = 1
№13
Ответ:
a
= 2; b = 3
№14
Ответ:
Rang=1
№15
Ответ:
m=47