Полный текст:
1.
Статистическая вероятность
ошибки аудитора, проверяющего счета, равна 0,02. Составить закон распределения
случайного числа возможных ошибок, если были проверены пять наудачу выбранных
счетов. Найти числовые характеристики.
Решение. Пусть - случайное число
возможных ошибок.. Поскольку всего проверенных счетов – пять, то очевидно, что
возможными значениями дискретной случайной величины являются числа .
Для составления закона распределения
остается найти вероятности , где . Проверка изделий описывается схемой последовательных
независимых испытаний Бернулли, в которой число испытаний , вероятность «успеха» (при проверке счета – ошибка) , вероятность «неудачи» (при проверке счета нет ошибок) ; поэтому для нахождения искомых вероятностей воспользуемся
формулой Бернулли
.
Имеем:
;
;
;
;
;
.
Контроль (какой-то из несовместимых результатов
проверки всегда имеет место), показывает, что сумма вычисленных вероятностей точно
равна единице.
Итак, закон распределения числа
стандартных изделий среди проверенных имеет вид:
0
1
2
3
4
5
0,9039207968
0,0922368160
0,0037548680
0,0000768320
0,0000007840
0,0000000032
Числовые характеристики случайной величины
Математическое
ожидание (математическое среднее) :
Дисперсия :
Стандарт
(среднее квадратичное отклонение) :
********************************************************************
2.
В компании, сдающей на
прокат две машины, каждодневный спрос на автомобили подчиняется распределению
Пуассона и в среднем составляет 1,3 машины в день. Предположительно, машины
используются в равной степени. Составить закон распределения числа машин,
арендованных за день. Найти числовые характеристики.
Решение. Дискретная случайная величина распределена по закону
Пуассона, если она принимает значения с вероятностями
, где параметр
распределения.
Закон
распределения такой величины имеет вид:
0
1
…
…
…
…
Числовые
характеристики такого распределения: .
В нашем случае, по условию
сразу имеем ; поэтому , , а вероятности сдачи на прокат машин в день
.
Закон
распределения такой величины имеет вид:
0
1
…
…
…
…
********************************************************************
3. Даны законы распределения двух независимых случайных величин Х, У.
1.
Составить закон распределения случайной величины Z.
2.
Найти числовые характеристики случайной величины Z.
3.
Составить функцию распределения Z и
построить её график.
хi
2
4
рi
0,4
0,6
уi
1
4
25
рi
0,15
0,55
0,3
Z= Х+У.
Решение. 1. Сначала вычислим все возможные значения случайной
величины (всего их шесть) в
порядке их возрастания по формуле:
,
где , , . Затем вычислим соответствующие вероятности по формуле:
.
Результаты вычислений:
1
2
3
4
5
6
Таким образом, искомый закон распределения
1
2
3
4
5
6
2
3
5
6
26
27
0,06
0,09
0,22
0,33
0,12
0,18
Условие контроля выполняется.
2. Числовые характеристики случайной
величины :
Математическое
ожидание (математическое среднее) :
Дисперсия :
Стандарт
(среднее квадратичное отклонение) :
3. Функцию распределения составляем по
формуле ,
где значения , рассматриваемые в порядке возрастания. Имеем:
График
функции распределения изображен на рис.1.
Рис. 1
********************************************************************
4. Случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x).
Требуется:
1. Найти коэффициент С.
2. Найти функцию распределения F(x).
3. Найти М(х), D(x), s(х).
4. Найти вероятность Р (a<x<b).
5. Построить графики f(x) и F(х).
f(х)= , -1
a= -2, b=2.
Решение. 1. Коэффициент
ищем, исходя из
условия нормирования:
. Имеем:
откуда .
2. Плотность вероятности найдена
полностью:
Функцию распределения ищем по формуле: . Возможны варианты:
а) ; тогда подынтегральная функция на всем промежутке
интегрирования равна нулю, а значит, ;
б) ; тогда
;
в) ; тогда .
Таким образом , искомая функция распределения
3. Числовые характеристики распределения:
Математическое
ожидание :
поскольку промежуток интегрирования симметричен
относительно начала координат, а подынтегральная функция на нем нечетная.
Дисперсия :
Стандарт
(среднее квадратичное отклонение) :
4. Вероятность вычисляем, используя
заданную функцию распределения , с помощью формулы
.
Подставляя данные в условии значения, имеем:
.
5. Графики
функций и изображены на рис. 2.
Рис. 2
********************************************************************
5. Случайная
величина Х распределена равномерно
на отрезке (70; 90). Составить f(х),F(х),
построить их графики. Найти М(х), Д(х), s(х), Р (75<х<85).
Решение. Для непрерывной случайной величины, равномерно распределенной на отрезке , плотность распределения вероятностей
В
нашем случае , и нужная плотность распределения
Функция распределения
Графики функций изображены на рис.3.
Рис.3
Числовые характеристики равномерного
распределения
Наконец, нужную вероятность вычисляем так же, как и
в последнем пункте предыдущей задачи:
.
********************************************************************
6. Система состоит из 15 независимо работающих механизмов. Вероятность
отказа каждого механизма за определённый период времени равна 0,01. Оценить
вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших
механизмов и средним числом отказов окажется меньше 2.
Решение. Имеем схему последовательных независимых испытаний, в
которой число испытаний и число «успехов»
(отказов механизма) неизвестно,
вероятность «успеха» , вероятность «неудачи» . Поскольку для испытаний Бернулли
математическое ожидание числа «успехов» , то требуется оценить вероятность события
Для нахождения выписанных вероятностей воспользуемся
приближенной локальной формулой Муавра-Лапласа, согласно которой
,
где
функция Гаусса,
значения которой приближенно находятся по таблице; при этом надо помнить, что
функция Гаусса четная и равна нулю, если аргумент по модулю больший или равен
4. Имеем:
Сумма найденных трех вероятностей и
дает приближенный ответ: 0,9992.
********************************************************************
7.
Дисперсия каждой из независимых случайных величин не
превышает 9. Определить с вероятностью не меньшей чем 0,991 число таких
величин, для которых отклонение их среднего арифметического от среднего
арифметического их математических ожиданий не превзойдёт 0,4.
Решение. Пусть , - независимые
случайные величины, о которых идет речь в условии задачи, а их среднее
арифметическое. Тогда, используя правила операций над математическими
ожиданиями, получаем, что среднее арифметическое из математических ожиданий
этих величин
,
и по условию надо найти , для которого .
Поскольку дисперсия суммы независимых
случайных величин равна сумме их дисперсий, постоянный множитель можно выносить
из-под знака дисперсии, возводя в квадрат, и, наконец, по условию, для всех , получаем
.
Последняя цепочка соотношений показывает,
что случайная величина имеет конечную
дисперсию, во всяком случае не превышающую 9. Тогда, согласно одной из форм
неравенства Чебышева, для любого:
В нашем случае и требуется решить
неравенство
.
Ответ. Не менее 80 величин.
********************************************************************
8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами М(х) и s(х).
Требуется:
1.
Составить функцию плотности распределения и построить
её график.
2.
Найти вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет
значение, принадлежащее интервалу (a;b).
3.
Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной
величины от её математического ожидания не превысит d:
М(х)=16; s(х)=100; a=15,75; b=16,3; d=16,25.
(числовые значения параметров взяты наугад из
аналогичной задачи, поскольку в заказе их не было!)
Решение. 1. Функция
плотности распределения для нормально распределенной величины имеет общий вид
где , . В нашем случае
.
График функции плотности - кривая
Гаусса, изображенная на рис. 4.
Рис.4.
2. Вероятность того, что нормально распределенная случайная
величина в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), определяется по формуле
(1)
где функция Лапласа. В
нашем случае, пользуясь таблицей значений этой функции, имеем:
3. Искомая
вероятность ищется также по формуле (1):
.