Полный текст:
Задача 1. Привести дифференциальное уравнение к
каноническому виду в каждой из областей, где тип уравнения сохраняется:
.
Решение. Коэффициенты квадратичной формы:
.
Дискриминант
квадратичной формы равен: при любых , то есть на всей координатной плоскости тип уравнения –
гиперболический.
Составим уравнение характеристик:
Поэтому уравнение
характеристик распадается на два
уравнения:
или же
равносильные уравнениям
из которых найдем два первых
интеграла:
Характеристиками заданного
уравнения будут функции:
Выполним
замену и вычислим значения
частных производных от функций и :
Построим выражения для производных функции при переходе к новым
переменным:
Таким
образом, исходное уравнение при указанном переходе будет иметь вид:
или, после раскрытия скобок и
сведения подобных слагаемых,
отсюда
- требуемый канонический вид
уравнения на всей координатной плоскости.
************************************************************************
Задача 1. Привести дифференциальное уравнение к
каноническому виду в каждой из областей, где тип уравнения сохраняется:
.
Решение. Коэффициенты квадратичной формы:
.
Дискриминант
квадратичной формы равен: при любых , то есть на всей координатной плоскости тип уравнения – параболический.
Составим уравнение характеристик:
Обозначим
, а в качестве второй переменной можно взять любую функцию , лишь бы только якобиан не был равен нулю.
Выбираем функцию . Для нее якобиан
,
если
, то есть во всех точках координатной плоскости, за
исключением оси абсцисс.
Осуществим замену и вычислим значения
частных производных от функций и :
Построим выражения для производных функции при переходе к новым
переменным:
Таким
образом, исходное уравнение при указанном переходе будет иметь вид:
или, после раскрытия скобок и
сведения подобных слагаемых,
отсюда, принимая во внимание
допущение :
- требуемый канонический вид
уравнения на всей координатной плоскости, за исключением оси абсцисс ().
При
(на оси абсцисс)
исходное уравнение имеет вид
,
откуда требуемый канонический вид.
*******************************************************************
Задача 2. Найти решение смешанной задачи для
волнового уравнения в области :
(*)
Решение. Любое решение уравнения (*) можно представить в виде:
,
где произвольные функции. Имеем:
Учитывая
начальные и граничные условия, получим:
, ;
(1)
(2)
(3)
Из условия (2) следует, что
().
Из условия (1) получаем:
Тогда искомое решение (*)
имеет вид
Нетрудно проверить, что
найденное решение улрвлетворяет условию (3) и не имеет разрывов ни в какой
точке .
Ответ.
************************************************************************
Задача 2. Найти решение смешанной задачи для
волнового уравнения в области :
(*)
Решение. Любое решение уравнения (*) можно представить в виде:
,
где произвольные функции. Имеем:
Учитывая
начальные и граничные условия, получим:
, ;
(1)
(2)
(3)
Из условия (2) следует, что
().
Из условия (1) получаем:
Тогда искомое решение (*)
имеет вид
Нетрудно проверить, что
найденное решение улрвлетворяет условию (3) и не имеет разрывов ни в какой
точке .
Ответ.
************************************************************************
Задача
3. Найти решение краевой задачи для
уравнения Лапласа в области :
Решение. Любую функцию, гармоническую в кольце , можно представить в виде:
Имеем: . Тогда
(1)
(2)
По условию,
(3)
(4)
Приравнивая коэффициенты при и в правых частях
равенств (1) и (3), а также в правых частях равенств (2) и (4), получаем, что
при ;
а для нахождения и имеем систему
уравнений:
Решая эту систему, находим:
Тогда
************************************************************************
Задача
3. Найти решение краевой задачи для
уравнения Лапласа в области :
Решение. Любую функцию, гармоническую в кольце , можно представить в виде:
Имеем: . Тогда
(1)
(2)
По условию,
(3)
(4)
Приравнивая коэффициенты при и в правых частях
равенств (1) и (3), а также в правых частях равенств (2) и (4), получаем, что
при ;
а для нахождения и имеем систему
уравнений:
Решая эту систему, находим:
Тогда