Полный текст:
Задача № 1. Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную
опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 1). Данные взять
из таблицы 1.
Требуется:
- найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через Р;
- найти допускаемую нагрузку [Р], приравняв большее из
напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению [s] = 1600 кг/см2;
- найти предельную грузоподъемность системы Рпр и
допускаемую нагрузку [Р], если предел текучести sT = 2400 кг/см2 и запас прочности n = 1,5;
- сравнить величины [Р], полученные по допускаемым напряжениям и
допускаемым нагрузкам.
Схема 6, F= 14см2 , a= 2,3 м, b=3,3 м, c = 1,4 м,
l1 = 2,7м, l2 = 2,0 м.
Решение:
Заменяем стержни 1 и 2 продольными
усилиями N1 и N2
и составим уравнение равновесия.
.
Составляется условие совместности
деформаций
Из подобия треугольников или
, ,
тогда
Решаем совместно
=
Допускаемая нагрузка по допускаемым
напряжениям
Определим предельную
грузоподъемность системы Ри
допускаемую нагрузку Р??доп
из расчета по предельному состоянию.
Несущая способность
системы будет исчерпана тогда, когда в обоих деформируемых стержнях напряжение
достигнет предела текучести.
Предельные внутренние
усилия в стержнях 1 и 2 при этом равны:
кН;
=кН.
Предельную грузоподъемность
определим из условия статического равновесия (3):
N.
Отсюда
Р = Н.
Допускаемая нагрузка при запасе
прочности n = 1,5
F??допкН.
Сравним величины F из расчета по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам. Сопоставление показывает,
что F??доп превышает F?доп на
.
Задача № 2. Стальной вал защемлен с двух концов (рис. 2) и нагружен
парами сил М1, М2,
М3. Вал имеет круглое сечение. Данные взять из таблицы 2.
Требуется:
- раскрыть статическую неопределимость;
- подобрать размеры поперечного сечения;
- построить эпюру углов закручивания.
а= 1,3 м, b=2,3 м, c = 4,4 м, М1 =130кГм ,М2 =130кГм ,М3 =140кГм.
Задача 1 раз статически
неопределима. Отсоединяем заделку с правого конца и заменяем ее действие
реактивным моментом Х.
Тогда крутящие моменты
;
Составим уравнение деформации,
учитывая, что угол поворота защемленного сечения равна нулю.
Полярный момент сопротивления ,
Тогда
,
,
Допускаемое напряжение кручения [t]= 55 МПа.
Условие прочности
Тогда диаметр вала:
;
,
Тогда
Полярный момент сопротивления
,
Эпюра углов закручивания
В качестве неподвижного примем сечение D, поэтому .
Углы поворота остальных сечений находим по
формуле:
Жесткость вала при
кручении
.
Определим угол закручивания на участках АВ,
ВС, CD:
Задача № 3. Для
заданного поперечного сечения (рис. 3), состоящего из двух профилей (табл. 3):
швеллер и равнобокий уголок; двутавр и равнобокий уголок, требуется:
- определить положение центра тяжести;
- найти величины осевых и центробежного моментов инерции относительно
центральных осей;
- определить положение главных центральных осей (и и v);
- найти величины моментов
инерции относительно главных центральных осей:
Двутавр №18, уголок 90?90?8
По таблице сортамента
находим геометрические характеристики заданных уголка и швеллера:
Уголок 90?90?8: F2 = 13,93 cм2; Ix = 106,11 см4; z0 = 2,51 см.
Jx0 = 168,42 см4; Jу0 = 43,8 см4; Jху = 62,3 см4;
Двутавр 18 ГОСТ 8239-89
F1 = 23,4 см2. ;;
Проводим вспомогательную систему осей
координат через центр тяжести швеллера.
,
где
у2= 1,99 см; у1 =
0.
где
х2= - 11,51
см; х1 = 0.
Координаты центров тяжести составных частей относительно
центральных осей:
а2 = 1,25 см. b2 = - 7,21 см.
а1 = -0,74 см; b1 = 4,3 см.
Осевые моменты инерции:
Центробежный момент инерции швеллера
равен нулю, так как сечение имеет ось симметрии.
Для уголка ,
Центробежный момент инерции уголка
относительно осей х2 и у2
Центробежный момент всего сечения
Находим угол наклона главных
центральных осей инерции U и V:
.
2a =- 12,680 a = - 6°20?.
Главные моменты инерции по формуле:
:
Проверка :
223,3 + 2552,9= 2582 + 194,2
Задача № 4.
Для заданных (табл. 4) двух видов балок (рис. 4) требуется:
- написать уравнение поперечной силы Q и момента изгибающего М,
для каждого участка в общем виде, приняв Р= ql, М = ql2,
- построить эпюры поперечной силы Q и момента изгибающего М;
- найти Мтах
и подобрать: для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения
при [s]\ = 80 кг/см2; для
схемы (b) стальную балку двутаврового поперечного сечения
при [s] = 1600 кг/см .
l= 2.5 м, q = 1,8 т/м.
Задача
№ 4а.
Решение:
Разбиваем балку на участки справа
налево.
Первый участок:
.
;
При х1 = 0, ;
При х1 = 2,5 м,
По середине участка х1
= 1,25 м,
Второй
участок:
х2 = 0
, .
х2 = 2,5 м,
Третий участок:
При х3 = 0,
При х3 = 2,5
м,
Определяем диаметр деревянной балки круглого сечения
Определяем диаметр балки круглого сечения
Задача
№ 4 б.
Для определения реакций RА и RВ составим два
уравнения равновесия так, чтобы эти реакции можно было найти независимо друг от
друга:
Проверка YA + YB - q•2l + P= 0;
56,25 -11,25 – 18•2•2.5 + 18•2.5 = 0
Следовательно,
реакции найдены верно.
Балку разбиваем на три участка. В пределах каждого участка проводим
произвольное сечение (с координатами х1, х2, х3).
Запишем уравнение Qy и Mz по участкам.
Первый участок:
.
При
х1=0 Q = 56,25 кН,
М = 0.
При
х1=5 м, Q = 56,25
- 18•5= - 33,75 кН,
кНм
При Q =0
на эпюре М максимум.
Второй участок:
;
При х2 = 7,5 м
На третьем участке справа
При х3 = 2,5 ,
Из условия прочности находим
требуемый момент сопротивления:
;
По сортаменту прокатных профилей
(ГОСТ 8239-72) выбираем двутавр
№ 33, у которого = 597 см3.
Фактические напряжения
Задача № 5. Для балки (рис. 5), по данным таблицы 5, требуется:
- раскрыть статическую неопределимость при помощи уравнения трех моментов;
- построить эпюру Q и М;
- построить эпюру прогибов, вычислив три ординаты в пролете и две
на консоли.
Дополнительные указания к задаче 5:
Все расчеты провести в
долях ql. Сосредоточенную нагрузку Р, определить
как Р = aql. Для построения эпюры
прогибов целесообразнее всего использовать метод начальных параметров.
a=5, b = 1,5.
Степень статической неопределимости
балки равна 1, так как она имеет одну избыточную связь. Необходимый минимум равен
трем связям в жестко защемленной опоре.
Для
раскрытия статической неопределимости воспользуемся уравнениями трех моментов. Преобразуем балку в статически определимую
с шарнирными опорами. За лишние неизвестные принимаем моменты над опорными
сечениями.
От нагрузки на правой консоли
изгибающий момент на крайней правой опоре . Жесткую заделку
заменим пролетом l0=0.
Для каждого пролета основной системы,
как для однопролетной балки, строим эпюры изгибающих моментов только от
действующих на них заданных нагрузок. Сложные по форме эпюры от сложной нагрузки
представляем в виде простейших эпюр.
Определяем величины площадей
построенных эпюр и расстояния от их центров тяжестей до опор. Полученные
значения приведены на рисунке.
Эпюры изгибающих моментов от внешней
нагрузки в основной системе (балочные эпюры M) приведены на рисунке.
Момент M1 на
крайней правой опоре будем учитывать в левой части уравнений трех моментов как
известную величину, равную . Площади эпюр M0 и положение центров
тяжести площадей ? 1, показаны на рисунке.
Запишем уравнения трех моментов для
пролетов l0, l1
. .
,
,
Строим эпюру от момента М0
Складываем эпюры и получаем эпюру
изгибающих моментов.
Рассматривая
каждый пролет основной системы как самостоятельную балку, нагруженную
заданными нагрузками и теперь уже известными опорными моментами, определяем
реакции опор и строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Эпюру поперечных сил неразрезной
балки в целом получаем из эпюр Q, построенных для каждого пролета в отдельности, путем размещения
их па общей оси под соответствующими пролетами. Эпюру изгибающих моментов
неразрезной балки получаем аналогичным образом из эпюр Mи построенных для каждого пролета в
отдельности.
Задача
№ 6.
Шкив с диаметром D1 и углом наклона ветвей
ремня к горизонту a1 делает n1 поворотов в минуту и
передает мощность N лошадиных сил. Данные взять из таблицы 6.
Два других шкива имеют одинаковый диаметр D2 и одинаковые углы a2 наклона ветвей ремня к
горизонту, и каждый из них передает мощность 0,5 N (рис. 6).
Требуется:
- определить моменты, приложенные к шкивам, по заданным величинам
N и n;
- построить эпюру крутящих моментов Мкр;
- определить окружные усилия t1 и t2, действующие на шкивы,
по найденным моментам и заданным моментам и заданным диаметрам шкивов D1
и D2;
- определить давление на вал, принимая их равными трем окружным усилиям;
- определить силы,
изгибающий вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов и вала
не учитывать);
N = 30 л.с., n = 400 об/мин, D1 = 0,3
м, D2 = 0,4
м, a
=0,4 м, b = 1,3 м, c
= 1,4, a1 = 300, a2 = 400.
- построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил Мгор
и вертикальных сил Мвврт;
- построить эпюру суммарных изгибающих моментов, пользуясь
формулой: Мизг=;
- при помощи эпюр Мкр и Мизг найти
опасное сечение и определить величину максимального приведенного расчетного
момента (по третьей теории прочности);
- подобрать диаметр вала d при [s] = 700 кг/см2
и округлить его величину до стандартного размера.
Вращающий момент на шкиве 1 ,
- угловая скорость
вала.
Вращающий момент на шкиве 2
,
Окружная сила на шкивах
Силы давления на вал
Раскладываем силы давления на
вертикальную и горизонтальную оси
Определяем опорные реакции от сил в
вертикальной плоскости:
,
,
Проверка
,
Определяем опорные реакции от сил в
горизонтальной плоскости:
,
Проверка
,
Строим эпюры крутящих и изгибающих
моментов
Вертикальная плоскость
Горизонтальная плоскость
Суммарные изгибающие моменты
Эквивалентный момент по третьей теории прочности
Определяем диаметр вала по условию прочности
Осевой момент сопротивления
,
Допускаемое напряжение
Диаметр вала
Принимаем диаметр вала d = 112 мм.