Полный текст:
7. Камень брошен горизонтально со
скоростью ?o = 12 м
/ с. Определить угол ?, который
составит с вертикалью вектор скорости ? камня через t = 3 с после начала движения, а также тангенциальное и
нормальное ускорения камня в этот момент.
Дано: Решение
?o=12 м/с
t = 3 с
g=9,81 м/с2
? – ?
а? – ?
аn – ?
Скорость
v
камня можно представить как векторную сумму
горизонтальной vx и вертикальной
vy составляющих:
Угол
?, который составит с вертикалью вектор скорости, как видно из
рисунка,
Скорость
vx не изменяется со временем и равна ?o. Скорость vy возрастает под действием силы тяжести
и изменяется по закону
vy=gt,
где g
– ускорение свободного падения, t – время, и предыдущее выражение примет вид
Тангенциальная
составляющая ускорения направлена вдоль вектора мгновенной скорости в
данной точке, т.е. по касательной к траектории. Нормальная составляющая
ускорения направлена перпендикулярно вектору мгновенной
скорости Их векторная сумма
Тогда из рисунка находим
Учитывая, что
можно записать
Вычисления:
?=arctg 0,68=34,2°.
Ответ: ?=34,2°,
а?=8,1м/с2,
аn =5,5м/с2
17. К маховику, вращающемуся с
частотой 300 мин-1 , прижали тормозную колодку. С этого момента он
стал вращаться равнозамедленно с ускорением 15 с-2. Сколько
потребуется времени для его остановки? Через сколько оборотов он остановится?
Дано: Решение
n0=300 мин-1= Ускорение при
равнозамедленном
=5 c-1 вращении
?=–15 с-2
t – ?
N – ?
где ?0 – начальная угловая скорость, ? – угловая скорость при остановке, ?=0, t – время, и
формула примет вид
откуда
Учитывая, что угловая скорость ?0 связана с частотой n0 вращения
соотношением ?0=2?n0, запишем
Угол, на который повернется
маховик до остановки, определим из уравнения для равнозамедленного
вращательного движения:
При этом угол ? связан с количеством
оборотов N соотношением и формула примет вид
Заменив ?0 выражением
для n0, получим
Вычисления:
Ответ: t=2,1с,
27. Платформа в виде диска
радиусом R = 2 м и массой m1 = 150 кг
вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n = 8 мин-1.
В центре платформы стоит человек массой m2 =65 кг. Какую линейную скорость
относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край
платформы?
Дано: Решение
R = 2 м
Так как
платформа вращается по
m1 = 150 кг инерции, то момент внешних сил,
n = 8 мин-1= относительно
оси вращения Z,
=0,133 с-1 совпадающий с
геометрической осью
m2 =65 кг платформы, равен нулю. При этом условии
момент
импульса Lz системы «платформа —
v
– ? человек» остается
постоянным:
Lz =
Jz? = const, (1)
где Jz – момент
инерции платформы с человеком относительно оси Z; ? — угловая скорость
платформы.
Момент инерции системы равен сумме
моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому Jz =
J1 + J2, где J1 — момент
инерции платформы, J2
— момент инерции человека.
С учетом этого равенство (1) имеет
вид:
(J1 + J2)? = const,
или
(J1 + J2)? = (J1’+
J2’)?’ (2)
где нештрихованные значения величин относятся к начальному
состоянию системы, штрихованные — к конечному состоянию.
Момент инерции платформы (сплошного
диска) относительно оси Z при переходе человека не изменяется:
Момент инерции человека относительно той
же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то
его момент инерции J2
в начальном положении (в центре платформы) можно считать равным нулю. В
конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека
J2’=
m2R2.
Подставим в формулу (2) найденные
выражения моментов инерции, а также выразим начальную угловую скорость ? вращения
платформы с человеком через частоту вращения п (? = = 2?п) и
конечную угловую скорость ?' — через линейную скорость v человека
относительно пола (?' = v/R):
Выразим v:
Ответ: v=0,9 м/с
37. Невесомый блок укреплен на
вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы 30° и 60°.
Гири А и В массой 2 кг
каждая соединены нитью, перекинутой через
блок. Найти ускорение, с которым движутся
гири, и силу натяжения нити. Считать нить невесомой и нерастяжимой, трением
пренебречь.
Дано: Решение
?=30°
?=60°
m=2 кг
g=9,81 м/с2
a – ?
T – ?
На первое тело действуют: сила тяжести mg, сила реакции опоры N1 и сила натяжения
нити T. Второй закон Ньютона в векторной форме примет вид:
(1)
где m
– масса тела, a – ускорение.
На
второе тело действуют: сила тяжести mg, сила реакции
опоры N2 и сила натяжения
нити T. Второй закон Ньютона в векторной форме примет вид:
(2)
Запишем
уравнение (1) в проекциях на ось x:
ma=T – mg sin?; (3)
Запишем уравнение (2) в проекциях на ось y:
ma=mg sin? – T; (4)
Сложим (3) и (4):
2ma=mg(sin ? – sin ?);
Приравняем правые части (3) и (4):
T – mg sin? = mg sin? –
T;
2T = mg (sin? + sin?);
Вычисления:
Ответ: a=1,8 м/с2, T=13,4Н
47. Маховик в виде диска массой т=100 кг и радиусом R=50 см находится в состоянии покоя. Какую работу А1
нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту вращения п = 12 с-1
? Какую работу А2 пришлось бы совершить, если бы при той же
массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?
Дано: Решение
т=100 кг Совершаемая
работа идет на изменение
R=0,5 м кинетической энергии:
п = 12 с-1
R’=2R
А1 – ? или
А2 – ?
где J – момент инерции маховика относительно оси вращения, ? –
угловая скорость маховика.
Момент
инерции диска
где m
– масса диска, R – радиус диска.
Угловая
скорость ? связана с частотой n вращения формулой
?=2?n.
Подставим выражения для J и ? в формулу для A1:
Для
второго случая
Вычисления
Ответ: А1
=71,1•103 Дж, А2=284,2•103
Дж
57. Скорость электрона v = 0,8с, где с - скорость
света в вакууме. Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах, определить
в тех же единицах кинетическую энергию W электрона.
Дано: Решение
v = 0,8с Кинетическую
энергию электрона найдем
E0=0,51МэВ из
выражения для полной энергии релятивистской частицы:
W – ?
E=E0+W,
где E0
– энергия покоя электрона, W
– кинетическая энергия электрона.
W=E–E0,
или
W=mc2–m0c2,
где m – релятивистская
масса, m0
– масса покоя, c – скорость
света.
Релятивистская масса m связана
с массой m0
покоя соотношением
где v – скорость электрона.
Подставив
в предыдущее выражение, получим
Ответ: W=0,34 МэВ
67. Материальная точка массой 40 г совершает гармонические колебания с
периодом 12 с. начальная фаза колебаний 10°. Через сколько времени от начала
движения смещение точки достигает половины амплитуды? Найти амплитуду,
максимальные скорость и ускорение точки, если полная энергия ее равна 10-2
Дж.
Дано: Решение
m=40•10-3 кг Для определения амплитуды A
T=12 с колебаний воспользуемся выражением
?0=10°
полной энергии точки:
E=10-2
Дж
t’ – ? где m
– масса частицы, – угловая
A – ? частота, T – период.
vmax – ?
amax – ?
Запишем уравнение
гармонического колебания точки:
x=Asin(?t+?0),
где ?0 – начальная фаза
колебаний.
Скорость есть первая производная
координаты по времени:
Максимальное значение v примет
при cos(?t+?0)=1:
vmax=A?,
или
Ускорение есть первая производная
скорости по времени:
Максимальное значение a примет
при sin(?t+?0)=1:
amax=A?2,
или
Определим, через сколько времени от
начала движения смещение точки достигнет половины амплитуды:
Вычисления:
Ответ: t’=0,67с,
A=1,35м, vmax=0,71
м/с, amax=0,37
м/с2