Полный текст:
Задание 1. Осуществить интерполяцию с
помощью полинома Ньютона исходных данных из табл.1 и вычислить значение
интерполяционного полинома в точке х1.
Номер варианта выбирается по последней
цифре шифра. 10 точек берётся, если для решения задачи используется
какой-либо математический пакет. При ручном
счёте - выбрать первые четыре точки.
8-й вариант
X
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
У
4,48
4,95
5,47
5,99
6,05
6,68
6,909
7,38
8,166
9,025
Значение
x1
= 0,153
i
x
y
dy
d2y
d3y
d5y
d6y
d7y
d8y
d9y
d10y
x1-xi
i!
hi
i!*hi
0
0,15
4,48
0,003
1
0,16
4,95
0,47
-0,007
1
0,1
0,1
2
0,17
4,47
-0,48
-0,95
-0,017
2
0,01
0,02
3
0,18
5,99
1,52
2
2,95
-0,027
6
0,001
0,006
4
0,19
6,05
0,06
-1,46
-3,46
-6,41
-0,037
24
0,0001
0,0024
5
0,2
6,68
0,63
0,57
2,03
5,49
11,9
-0,047
120
1E-05
0,0012
6
0,21
6,909
0,229
-0,401
-0,971
-3,001
-8,491
-20,39
-0,057
720
1E-06
0,0007
7
0,22
7,38
0,471
0,242
0,643
1,614
4,615
13,106
33,497
-0,067
5040
1E-07
0,0005
8
0,23
8,166
0,786
0,315
0,073
-0,57
-2,184
-6,799
-19,91
-53,4
-0,077
40320
1E-08
0,0004
9
0,24
9,025
0,859
0,073
-0,242
-0,315
0,255
2,439
9,238
29,143
82,545
-0,087
362880
1E-09
0,0004
n=9
=4,4953
Задание 2.
Уточнить
значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность
вычисления. Номер варианта выбирается
по предпоследней цифре шифра из табл.2.
Номер
варианта
Уравнение
Интервал
2
3х3 – 7х2 + 2х – 5 =
0
[–1; 3]
Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением:
x=f(x)
Для уравнения x=f(x), что имеет единственное решение на промежутке
[а; b], выполняются условия:
f(x) определена и
дифференцирована на [-1;3];f(x) определена для всех xI[-1;3];подберем такое действительное q,
что для всех xI[-1; 3].
q=1/25
Начальное приближение x0=1,4
i
xi
xi+1
|xi-xi+1|
0
1,40
1,71
0,31
1
1,71
1,99
0,28
2
1,99
2,19
0,20
3
2,19
2,30
0,11
4
2,30
2,34
0,04
5
2,34
2,35
0,01
6
2,35
2,35
0,00
После
трех итераций
После
шести итераций
Задание 3.
Методами
прямоугольников, трапеций и Симпсона вычислить определённый интеграл. Номер варианта выбирается по предпоследней
цифре шифра.
Метод прямоугольников
Формула прямоугольников
i
xi
f(xi)
a
b
h
0
0
0,5
0
4
0,4
1
0,4
0,4167
2
0,8
0,3571
I=
1,1682
3
1,2
0,3125
4
1,6
0,2778
5
2
0,25
6
2,4
0,2273
7
2,8
0,2083
8
3,2
0,1923
9
3,6
0,1786
10
4
0,1667
Cумма
2,9206
Метод трапеций
Формула трапеций
i
xi
f(xi)
a
b
h
0
0
0,5
0
4
0,4
1
0,4
0,4167
2
0,8
0,3571
I=
1,1016
3
1,2
0,3125
4
1,6
0,2778
5
2
0,25
6
2,4
0,2273
7
2,8
0,2083
8
3,2
0,1923
9
3,6
0,1786
10
4
0,1667
2,4206
Метод Симпсона
Формула Симпсона
i
xi
f(xi)
a
b
h
0
0
0,5
0
4
0,4
1
0,4
0,4167
Сумма 1
1,3661
2
0,8
0,3571
Сумма 2
1,0545
3
1,2
0,3125
I=
1,0987
4
1,6
0,2778
5
2
0,25
6
2,4
0,2273
7
2,8
0,2083
8
3,2
0,1923
9
3,6
0,1786
10
4
0,1667
Задание 4.
Проинтегрировать
уравнение методом Эйлера на интервале [0,2 ; 1,2]. Во
всех вариантах начальное
условие: y(0,2)
= 0,25.
Вычисления выполнять с
четырьмя десятичными знаками и шагом
0,25. Номер варианта выбирается
по последней цифре шифра.
Метод Эйлера
x
y
h
y(0,2)
0,2
0,2500
0,25
0,25
0,45
0,3401
0,7
0,4544
0,95
0,6019
y=2,3149
1,2
0,7935
1,45
1,0427
1,7
1,3655
1,95
1,7817
2,2
2,3149
Задание 5. Данное задание состоит из двух задач. В первой из них требуется
вычислить сумму и разность комплексных чисел, а во второй - произведение и частное .
Вариант задания
выбирается по последней цифре шифра.
Задача 1. В задачах
1-10. вычислить сумму
и разность
комплексных чисел,
заданных в показательной форме,
переведя их в алгебраическую форму: построить операнды и
результаты на комплексной плоскости.
Задача 2. В задачах 11-20 вычислить произведение и частное комплексных чисел, операнды и результаты изобразить на комплексной
плоскости.
Задание 6.
Вычислить
производнимою функции f(z) в точке ZQ. Номер
задания выбрать по предпоследней цифре шифра.
Задание 7. Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая
обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования,
указать на рисунке особые точки. Номер
задания выбрать по последней цифре шифра.
Решение.
Особыми точками
подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения =0 = 0, т.е.
точки z=0 и z=–2
Кругу принадлежит только
одна из этих точек, точка z=0 . Эта точка - простой
полюс функции , т.к. она является простым нулем знаменателя.
Вычислим вычет в простом полюсе f (z):
Кругу принадлежит только
одна из этих точек, точка z=–2 . Эта точка - полюс
функции , найдем его порядок:
.
Полюс второго порядка. Вычислим вычет в полюсе второго порядка f (z):
Задание 8.
1. По заданной матрице
весов построить граф и найти кратчайший путь между вершинами Х1 и Х8 используя алгоритм
Дейкстры.
2. С
помощью алгоритма ближайшего
соседа определить минимальное остовное дерево в
рассматриваемом графе.
Вариант
задания выбирается по последней цифре шифра:
х1
х2
хз
х4
х5
х6
х7
х8
х1
0
4
6
21
х2
4
0
10
5
х3
6
0
9
5
х4
10
0
8
8
х5
9
0
6
4
6
х6
21
5
5
8
6
0
10
11
х7
4
10
0
5
х8
8
6
11
5
0
Алгоритм Дейкстры : Данный алгоритм
пошагово перебирает все вершины графа и назначает им метки, которые являются
известным минимальным расстоянием от вершины источника до конкретной
вершины.
Вершина 8 достижима из вершины 1 за 20
Достижимость вершин из вершины 1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
4
6
14
15
9
19
20
2. С
помощью алгоритма ближайшего
соседа определить минимальное остовное дерево в
рассматриваемом графе.
Шаг1.
Вершина 1. Ребро (1,2)с минимальнім весом =4
Шаг2.
Вершина 2. Ребро (2,6) с минимальнім весом =5
Шаг3.
Вершина 6. Ребро (6,3) с минимальнім весом=5
Шаг4.
Вершина 6. Ребро (6,5) с весом =6 (минимальній вес из (3,5) и (6,5))
Шаг4.
Вершина 6. Ребро (6,4) с весом =8 (минимальній вес из (6,4), (6,8) и (6,7))
Шаг5.
Вершина 5. Ребро (5,7) с минимальнім весом =4
Шаг6.
Вершина 7. Ребро (7,8) с минимальнім весом =5
Граф
имеет минимальное остовное дерево 4+5+5+6+8+4+5=37
Задание 9.
Для исходной
булевой функции, заданной таблицей найти сокращённую ДНФ методом Квайна.
Вариант задания
выбирается по последней цифре шифра
№
варианта
8
X
Y
Z
Значенияфункции
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Представим, что заданная функция представлена в СДНФ. Для осуществления первого
этапа преобразование проходит два действия:
Операция склеивания;Операция поглощения.
Операция склеивания сводится к
нахождению пар членов, соответствующих виду или , и преобразованию
их в следующие выражения: . Результаты склеивания теперь играют роль дополнительных членов.
Потом выполняется операция
поглощения. Она основана на равенстве (член
поглощает выражение ). Вследствие этого
действия из логического выражения вычёркиваются все члены, поглощаемые другими
переменными, результаты которых получены в операции склеивания.
Обе операции первого этапа могут
выполняться до тех пор, пока это может быть осуществимо.
СДНФ выглядит так:
Результат операции
склеивания нужен для преобразования функции на втором этапе (поглощения). Результат
склеивания выглядит так:
Член поглощает
первый и третий. Эти члены вычёркиваются. Член поглощает второй и четвертый, а член — третий и четвертый исходного
выражения.
Дальнейшее
проведение операций склеивания и поглощения оказывается невозможным, поэтому
данное выражение и является сокращённой
формой выражения заданной функции :
В итоге, мы
получили наиболее простое выражение, если сравнивать его с начальной версией —
СДНФ.
Переход от
сокращённой формы к минимальной осуществляется с помощью импликантной матрицы.
Члены СДНФ
заданной функции вписываются в столбцы, а в строки — простые импликанты, то
есть члены сокращённой формы. Отмечаются столбцы членов СДНФ, которые поглощаются
отдельными простыми импликантами. В следующей таблице простая импликанта поглощает члены и (в первом и в третьем столбцах поставлены
крестики).
Импликантная матрица
Простая импликанта
Вторая
импликанта поглощает второй и четвертый члены
СДНФ (указано крестиками) и импликанта поглощает третий и четвертый члены.
Импликанты, не подлежащие исключению, образуют ядро. Такие импликанты
определяются по вышеуказанной матрице. Для каждой из них имеется хотя бы один
столбец, перекрываемый только этой импликантой. То есть с одним крестиком в
столбце.
В нашем
примере ядро составляют импликанты и . Исключение
из сокращённой формы одновременно всех импликант, не входящих в ядро,
невозможно, так как исключение одной из импликант может превратить другую в уже
нелишний член.
Для получения
минимальной формы достаточно выбрать из импликантов, не входящих в ядро, такое
минимальное их число с минимальным количеством букв в каждом из этих импликант,
которое обеспечит перекрытие всех столбцов, не перекрытых членами ядра. В
рассматриваемом примере импликанты ядра перекрывают все столбцы матрицы.
Минимальная
дизъюнктивная нормальная форма (МДНФ) заданной функции: