Полный текст:
Содержание
1) Вычислить
предел.…….……………………………………………………………………………………...1
2)
Определить множества …….…………………………………………………………………..……….……4
3) С помощью
определенного интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной
графиками
функций …………………………………………………………….................................................4
4) Найти
общее решение дифференциального уравнения………………………………………….…….......5
5) Найти
область сходимости степенного ряда …………………………...…………………………………..7
6) Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера……………………………….8
7) Найти
площадь треугольника со сторонами, совпадающими с векторами………………………………9
8) Найти
уравнение прямой, проходящей через точку … перпендикулярно плоскости … …………......9
9) С
целью изучения производительности труда токарей на предприятии было
проведено
10% выборочное обследование 100 рабочих мест методом случайного отбора …
Определить
дисперсию и среднее квадратическое отклонение………………………..………………......10
10)
Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную
функцию в
степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно………………………………………..10
Вычислить предел
Пусть универсальное
множество , , . Определить множества:
, , ,
С помощью определенного
интеграла найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Найти общее решение
дифференциального уравнения Найти область сходимости
степенного ряда.
Решить систему
линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Найти площадь треугольника
со сторонами, совпадающими с векторами и Найти уравнение прямой,
проходящей через точку перпендикулярно
плоскости . С целью изучения
производительности труда токарей на предприятии было проведено 10% выборочное
обследование 100 рабочих мест методом случайного отбора. В результате
обследования получены данные о затратах времени на обработку одной детали:
Время обработки одной детали, мин.
Число работающих
18-20
2
20-22
8
22-24
24
24-26
50
26-28
12
28-30
4
ИТОГО
Определить
дисперсию и среднее квадратическое отклонение
Вычислите определенный
интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд, а затем проинтегрировав его почленно.
Решение
1.
Для раскрытия
неопределенности вида умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное
выражение, получим
Получили
неопределенность вида ? для ее раскрытия
разделим числитель и знаменатель на х,
то есть на х с наибольшим показателем
степени числителя и знаменателя, и, используя теоремы о пределах, получим:
Ответ:
2.
,
,
,
Ответ: , , , .
3.
Сделаем чертеж.
Как видно из рисунка, искомая площадь заштрихованной фигуры определяется
как интеграл от разности двух функций ? "верхней" и
"нижней" на отрезке :
4.
Пусть
то есть ,
тогда
данное уравнение примет вид:
Таким
образом, перейдем к решению системы:
Найдем
сначала решение уравнения (1):
Решим
теперь уравнение (2):
Значит,
– общее решение
данного уравнения.
5.
Найдем радиус сходимости ряда:
то есть интервал сходимости ряда .
Теперь выясним сходимость ряда на концах полученного
интервала.
Пусть , тогда данный ряд примет вид
? это
знакочередующийся ряд, в котором члены убывают по абсолютной величине, т. е.
,
а предел его общего члена при равен нулю:
,
следовательно, по теореме Лейбница ряд сходится, а
? точка
сходимости.
При данный ряд
примет вид
? обобщенный
гармонический ряд, в котором
,
значит, ряд
расходится и
? точка
расходимости.
Таким образом, полуинтервал является
областью сходимости данного ряда.
? область
сходимости данного ряда.
6.
Вычислим
определитель системы :
Затем,
заменяя в определителе системы по очереди первый, второй и третий столбец на
столбец свободных членов вычислим определители каждой переменной:
Теперь, воспользовавшись формулами Крамера, найдем
значения переменных системы:
; ; .
7.
Площадь треугольника,
построенного на векторах и , равна половине длине их векторного произведения, то есть
,
где векторное произведение в
координатной форме
а длина его
.
Таким образом,
искомая площадь треугольника равна
Ответ:
8.
Искомая прямая l имеет направляющий вектор и представляется
симметричными уравнениями
или
.
Ответ:
9.
Дисперсию определим способом моментов по
формуле:
.
Для этого построим расчетную таблицу.
Время обработки одной детали, мин.
Число работающих (f)
Середина интервала (x)
X - A,
А=25
18-20
2
19
19-25
-6
-12
36
72
20-22
8
21
21-25
-4
-32
16
128
22-24
24
23
23-25
-2
-48
4
96
24-26
50
25
25-25
0
0
0
0
26-28
12
27
27-25
2
24
4
48
28-30
4
29
29-25
4
16
16
64
Итого:
100
24,48
-
0
-52
-
408
Следовательно,
Среднее квадратическое отклонение вычисляется
по формуле:
Ответ: ; .
10.
Воспользуемся известным разложением
,
в данном случае .
Тогда получим, что
,
следовательно,
Все
члены, начиная с 0,000732, можно отбросить, при этом погрешность вычислений не
превысит
0,001 (так в знакочередующемся ряде погрешность не превосходит по модулю
первого отброшенного члена).
Ответ: