Полный текст:
2.10. Найти объем тела, ограниченного .
Проекция на плоскость ху имеет вид
Поэтому, расставив пределы интегрирования, получим
3.10 найти производную скалярного поля в точке М(3,4,1) по
направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси ОХ.
Нормаль к поверхности в точке М будет
.
Тогда производная скалярного поля в точке М по
направлению нормали будет равна
.
Найдем , в точке М получим .
Тогда
4.10. найти угол между градиентами полей и в точке М(1,2,).
Найдем градиенты:
, .
Их значения в точке М будут равны
и .
Из определения скалярного произведения векторов получим
.
Следовательно, угол равен 180 градусов.
5.10. найти поток векторного поля через часть плоскости , расположенную в первом октанте.
Орт нормали к плоскости равен
.
Тогда
На плоскости хoу - z=0,
проекция плоскости на хоу имеет вид
Тогда получим
6.10. найти циркуляцию векторного поля вдоль контура
По определению циркуляция равна
.
Поскольку , то
.
Тогда получим, что
7.10. найти все значения корней
А)
Б)
Решение.
А) представим число z=-8 в показательной форме: .
Тогда, используя формулу , получим
.
Подставляя к=0, 1…n-1, получим значения
,
,
,
,
,
.
Б)
Аналогично представим число в показательной форме: .
Тогда, используя формулу , получим
.
Подставляя к=0, 1, 2, 3, получим значения:
,
,
,
.
8.10. восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию по
мнимой части , если .
Найдем частные производные:
Тогда воспользовавшись условиями Коши-Римана, получаем для U(x,y):
Интегрируем первое уравнение по у, получим
.
Дифференцируем по х, подставляем во второе уравнение, тогда
, откуда .
Следовательно, и
.
Условие даст С=0, так что
.
9.10. определить типы изолированных особых точек.
А)
Функция не является аналитической при , то есть при .
Запишем тангенс как отношение, .
Найдем для каждой функции порядок производной, не
обращающейся в ноль при . Для косинуса этот порядок равен 1, для синуса - ноль,
поэтому
- полюсы первого
порядка.
Б)
Представим в виде .
Отсюда легко видеть, что точки являются полюсами
первого порядка.
10.10. вычислить интегралы
А) .
Разложим функцию в ряд Лорана вблизи
точки z=0, которая
является единственной особой точкой для подынтегральной функции, получим
.
Очевидно, главная часть ряда Лорана содержит бесконечное
число членов, что значит, что
z=0
является существенной особой точкой.
Тогда вычет в ней равен
.
Следовательно,
Б)
У тангенса точки - полюсы первого
порядка.
Внутрь указанного контура попадает только один полюс , поэтому
.
Найдем: , следовательно,
.