Полный текст:
1. найти сумму ряда
Представим ряд в виде суммы:
Теперь легко найти суммы этих рядов как сходящейся
геометрической прогрессии.
Получим, что
2. исследовать ряд на сходимость
А)
Этот ряд эквивалентен сходящемуся ряду , поскольку
Следовательно, исходный ряд также сходится.
Б)
Проверим выполнение необходимого условия сходимости, , получим
.
Условие сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.
3. исследовать ряд на сходимость
А)
Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница,
поскольку и .
Рассмотрим ряд из модулей .
Он эквивалентен ряду , поскольку .
Ряд же сходится как с p>1.
Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.
Б)
Необходимое условие сходимости, , выполняется.
Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница,
поскольку и .
Рассмотрим ряд из модулей, .
Исследуем сходимость ряда , каждый член которого меньше соответствующего слагаемого
ряда .
Ряд по интегральному
признаку Коши расходится, так как
.
Следовательно, ряд также расходится.
Исходный ряд сходится условно.
4. найти
По определению .
Получим
5. изменить порядок интегрирования
Построим область интегрирования (показана цветом):
При изменении порядка интегрирования получим сумму трех
слагаемых по областям, на которые разделена область интегрирования прямыми :
6. вычислить двойной интеграл по области,
ограниченной линиями х=0, х=2, у=0, у=-х.
Построим область:
Расставляя пределы интегрирования, получим