Полный текст:
Содержание
1) Линия задана уравнением в
полярной системе координат. Требуется построить
линию по точкам, начиная от .. до ..,
придавая значения через промежуток ...
……………………………1
2) Линия задана параметрически. Требуется построить линию
в прямоугольной
декартовой
системе координат …….………………………………………………………………………….…………..…3
3) Вычислить предел функции (не используя правило
Лопиталя)………………………..……………….....4
4) Вычислить производные следующих функций ………….………………………………………………...5
5) Найти первую и вторую
производные данных функций ………………………………………………….7
6) Исследовать
функции и методами дифференциального исчисления и построить их графики …….…..8
7) Вычислить неопределенные
интегралы и результаты интегрирования
проверить дифференцированием…………………………………………………………………………..….16
8) Вычислить определенные интегралы……………………………………………………………................18
9) Вычислить
площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Выполнить чертеж ………...…..…19
Задание 1
Линия задана уравнением в полярной
системе координат. Требуется построить линию по точкам, начиная от до , придавая значения через промежуток .
Решение
Построим линию по точкам,
предварительно заполнив таблицу значений и :
1
0
1
5
1,6
2
?/12
0,966
4,932
1,622
3
?/6
0,866
4,732
1,691
4
?/4
0,707
4,414
1,812
5
?/3
0,5
4
2
6
5?/12
0,259
3,518
2,274
7
?/2
0
3
2,667
8
7?/12
?0,259
2,482
3,223
9
2?/3
?0,5
2
4
10
3?/4
?0,707
1,586
5,044
11
5?/6
?0,866
1,268
6,309
12
11?/12
?0,966
1,068
7,491
13
?
?1
1
8
14
13?/12
?0,966
1,068
7,491
15
7?/6
?0,866
1,268
6,309
16
5?/4
?0,707
1,586
5,044
17
4?/3
?0,5
2
4
18
17?/12
?0,259
2,482
3,223
19
3?/2
0
3
2,667
20
19?/12
0,259
3,518
2,274
21
5?/3
0,5
4
2
22
7?/4
0,707
4,414
1,812
23
11?/6
0,866
4,732
1,691
24
23?/12
0,966
4,932
1,622
25
2?
1
5
1,6
Используя
данные таблицы, строим линию:
Полученная линия – эллипс.
Задание 2
Линия задана параметрически:
Требуется построить линию в
прямоугольной
декартовой системе координат.
Решение
Данная линия представляет собой
циклоиду с радиусом . Для построения этой линии в
прямоугольной
декартовой системе координат найдем сначала ее уравнение, исключив
параметр t, в виде
:
Тогда из
первого уравнения получаем:
Получилась перевернутая циклоида, сдвинутая на ?:
Задание 3
Вычислить предел функции (не
используя правило Лопиталя):
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
Решение
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответ: а) б) в)
г) д) е)
Задание 4
Вычислить производные следующих
функций:
а) ;
б) ;
в) г) .
Решение
а)
б)
в)
г)
Ответ: а) б)
в) г)
Задание №6
Найти первую и вторую производные
данных функций:
а) б)
Решение
а)
б) В данном случае функция задана
параметрически, поэтому для нахождения первой и второй производных используем
формулы
и :
;
.
Ответ: а) ,
б) , .
Задание №6
Исследовать функции и методами дифференциального исчисления и
построить их графики:
а) б)
Решение
Воспользуемся общей схемой
исследования функции.
а) 1. Область определения
2. Четность-нечетность
Функция общего вида – ни четная, ни нечетная, так как
3. Асимптоты
Вертикальных асимптот нет,
так как функция определена при всех действительных значениях х.
Поскольку
и
следовательно,
горизонтальных и наклонных асимптот функция тоже не имеет;
4. Экстремумы
и интервалы монотонности
Сначала
вычислим первую производную данной функции. Пусть , тогда
Затем
находим критические точки функции:
т. е.
.
Таким
образом, у нашей функции две критические точки:
Исследуем
знак производной слева и справа от каждой критической точки:
+ ?
+
0 х
Теперь из выше приведенной схемы
становится очевидным, что в критической точке данная функция имеет локальный максимум:
,
а в точке – локальный минимум:
;
5. Интервалы выпуклости функции и точки перегиба
Для этого поступаем так.
а) Вычислим вторую производную данной функции:
б)
Найдем внутренние точки области определения исходной функции, в которых ее
вторая производная равна нулю или не существует, т. е.
или
, откуда
Нанесем на числовую ось точку и найдем знаки второй производной на каждом из
получившихся интервалов.
?
+
Таким образом, функция выпукла вверх на
интервале и выпукла вниз на интервале , а точка ? точка перегиба. Найдем значение функции в
этой точке:
;
6. Точки
пересечения графика функции с осями координат
Точка
пересечения графика с осью абсцисс ОХ:
или , откуда
,
то есть график данной функции пересекает ось
абсцисс в точках А и В.
Для
нахождения точки пересечения с осью ординат OY подставим в уравнение, задающее функцию, :
.
Значит,
график данной функции пересекает ось ординат тоже в точке
7. Построим
график заданной функции
б) 1. Область определения
2. Четность-нечетность
Функция общего вида – ни четная, ни нечетная, так как и
3. Асимптоты
Вертикальных асимптот нет,
так как функция определена и непрерывна на всем
множестве действительных
чисел.
Поведение функции в бесконечности:
Следовательно,
прямая (ось абсцисс) является правосторонней
горизонтальной асимптотой.
Поскольку
то функция может иметь наклонную
асимптоту. Выясним ее наличие.
Уравнение
наклонной асимптоты графика функции имеет вид , где , а .
Но
так как
то
наклонных асимптот данная функция не имеет;
4. Экстремумы
и интервалы монотонности
Пусть
, то первая производная данной функции
равна:
Находим критические точки функции:
или
, откуда
Таким
образом, у нашей функции две критические точки и .
Исследуем знак производной слева и справа от критической точки:
+ ?
+
х
Теперь
из выше приведенной схемы становится очевидным, что в критической точке данная функция имеет локальный максимум:
,
а в точке – локальный минимум:
;
5. Интервалы
выпуклости функции и точки перегиба
Найдем
вторую производную данной функции:
Найдем
внутренние точки области определения исходной функции, в которых ее вторая
производная равна нулю или не существует, т. е.
Нанесем на числовую ось точки и , найдем знаки второй производной на
каждом из получившихся интервалов.
+ ?
+
х
Таким образом, функция выпукла вверх на
интервале и выпукла вниз на интервалах и , а и ? точки перегиба. Значение функции в этих
точках:
,
;
6. Точки
пересечения графика функции с осями координат
Точки
пересечения графика с осью абсцисс ОХ:
или
откуда
,
то есть точки
А и В.
Для
нахождения точки пересечения с осью ординат OY подставим в уравнение, задающее функцию, :
.
Значит,
график данной функции пересекает ось ординат в точке С
7. Построим
график заданной функции
Задание №7
Вычислить неопределенные интегралы
и результаты интегрирования проверить дифференцированием:
а) б) в) г)
Решение
а)
Проверка:
б)
Проверка:
в)
Проверка:
г) Сначала разобьем на сумму двух интегралов, путем выделения в
числителе производной от трехчлена, стоящего в знаменателе. А затем, выделив
полный квадрат в квадратном трехчлене, вычислим полученный интеграл:
Проверка:
Ответ: а)
б)
в)
г)
Задание №8
Вычислить определенные интегралы:
а) б)
Решение
а)
б)
Ответ: а)
б)
Задание №9
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной графиками функций и . Выполнить чертеж:
и
Решение
Определяем точки пересечения
параболы с прямой , их две – :
Как видно из рисунка, искомая
площадь заштрихованной фигуры определяется как интеграл от разности двух
функций ? "верхней" и "нижней" на отрезке :
Ответ: