Полный текст:
ЗАДАНИЕ
1.
Придумайте свой пример системы. Назовите ее элементы одного уровня
и разноуровневые. Каковы связи между ними (структура системы):
вертикальные – иерархические и горизонтальные – координационные?
Решение :
Биологическая система «пищевая пирамида» («пищевая
цепь»).
В основании системы лежат растения различных
видов – это элементы низшего (1-го) уровня. Травоядные животные,
употребляющие растения в пищу, составляют 2-й уровень системы. Ещё выше
в этой иерархии находятся плотоядные животные (хищники),
образующие 3-й уровень системы.
Приведенная структура состоит из элементов –
отдельных растений и животных, взаимодействующих между собой.
Действительно, если взять уровни или элементы этой системы изолированно, то их
поведение будет резко отличаться от поведения в рамках приведенной структуры:
травоядные погибнут без корма, а хищники – без своей добычи.
Горизонтальные связи (т.е. взаимодействия в пределах
одного уровня) проявляются, например, в виде конкуренции (между травоядными –
за участок пастбища, между хищниками – за добычу).
Графически схема пищевой системы можно изобразить в
виде цепи :
Растения -> Травоядные Животные -> Хищники.
Однако
более точным будет иерархическая схема :
ЗАДАНИЕ 2.
С какой скоростью движется Земля по своей
орбите? Орбиту Земли считать кругом радиусом 1,5 х1011 м.
Решение :
Уравнение линейной скорости для
равномерного движения запишем как
v
= s / t,
где s-
пройденный путь (в данном случае – длина окружности, которой является земная
орбита),
t
– время (в нашем случае это время, за которое Земля проходит путь s – т.е. один год).
Путь
- длина окружности с заданным радиусом - равен
s= 2?r = 2 * 3,14 * 1,5 *1011= 9,4 *1011
(м).
Время
одного оборота по окружности (орбите) – один год :
365 дней * 24 часа/день * 60 мин/час * 60 сек/мин = 31
536 000
? 3,2 *107 секунд.
Тогда искомая скорость
составит
9,4
*1011 м / 3,2 *107 с ? 3,0*104 м/с.
ЗАДАНИЕ 3.
Человек массой 70
кг поднимается в лифте а) с ускорением a = 2 м/с2;
б) с постоянной скоростью v = 2 м/с. Каков вес человека в каждом из
случаев? В каком случае человек испытает
невесомость?
Решение:
В расчётах для простоты будем
рассматривать все векторы взятыми по модулю
а) кабина и
находящийся в ней пассажир движутся с ускорением вверх. На человека здесь
действуют две силы – сила тяжести mg, направленная вниз, и сила реакции опоры
(пола кабины) R,
направленная вверх. Равнодействующая этих сил F =R – mg направлена также вверх – соответственно
направлению ускорения кабины и пассажира.
C
другой стороны, по II
–му Закону Ньютона равнодействующая
F
= am
- т.е.
(векторная) сумма сил, приложенных к пассажиру, равна ускорению пассажира на
его массу.
Тогда,
исключая из обоих формул F,
получим :
R-mg=am,
R=mg+ma
R=m(g+a).
Заметим, что
относительно пола кабины (т.е. относительно опоры) пассажир
неподвижен. Т.е. вес (сила действия человека на пол) по модулю равен силе
реакции опоры
R=P
Тогда
P= m(g+a).
P=70*(9,8+2,0)=826 (Н)
б) скорость
постоянна и её значение в принципе не важно – в случае равномерного
прямолинейного движения она может быть любой. На пассажира здесь действуют две
силы – сила тяжести со стороны Земли mg и сила реакции опоры R со стороны кабины лифта. Обе силы равны по модулю и
противоположно направлены, т.е. их равнодействующая равна
нулю (это как
раз условие равномерного движения). По III-му Закону Ньютона сила реакции опоры R со стороны кабины лифта равна по модулю силе P, с которой на опору (пол кабины) действует человек. Сила P – это и есть вес пассажира. Однако вес приложен к полу
кабины со стороны пассажира, а сила тяжести приложена к пассажиру со
стороны Земли. В этом случае вес численно равен силе тяжести человека и
также направлен вниз:
P=9,8*70 =686 (Н).
ЗАДАНИЕ 4.
Карусель вращается с постоянной угловой скоростью. На краю карусели
сидит кошка. Что и почему произойдет, если кошка перейдет в центр карусели? Трение
не учитывать.
Решение :
При переходе
кошки в центр карусель начнёт вращаться быстрее. Так происходит с любым вращающимся телом
постоянной массы, когда масса этого тела концентрируется ближе к оси вращения.
Так, например, фигурист замедляет своё вращение, отводя одну или обе руки в
стороны, и напротив – ускоряет – прижимая их ближе к туловищу.
ЗАДАНИЕ
5.
На сколько процентов медленнее течет время на верхнем этаже небоскреба
высотой 100 м
по сравнению с первым этажом (на уровне земли)? Сколько это составит в абсолютных
числах за 30 лет? Радиус Земли примерно равен 6 400 км.
Решение:
Обозначим точку – нижний этаж – как
А, верхнюю точку здания – В. r – радиус земли, h –
высота здания, t – время одного оборота земли вокруг своей оси (сутки, 24 ч * 60
мин/ч * 60 с/мин = 86 400с).
Тогда линейная скорость нижнего этажа
vА= 2 ?r/t,
линейная скорость верхнего этажа
vВ= 2 ?(r+h)/t.
Cогласно Общей теории
относительности, все процессы в движущихся системах замедляются в v(1-v2/c2) раз (v – скорость системы относительно неподвижного наблюдателя, с
– скорость света (3*108 м/с).
Тогда
отношение замедления времени в точке В к замедлению времени в точке
А
v(1-vB2/c2) =
1-(2 ?(r+h)/t) 2/c2 = t2c2 – (2 ?(r+h))2 =
v (1-vА2/c2) (1-2 ?r/t 2/c2) t2c2 – (2 ?r)2
= (86400*3*108)2
– (2 *3,14*(6 400 000+100))2
= 0
(86400*3*108)2 –
(2 *3,14*6 400 000)2
При величинах, имеющих значения, приведённые в этой
задаче, искомая разница будет практически равна нулю. Действительно,
скорости движения подножья и вершины небоскрёба, во-первых, не являются
релятивистскими, а во-вторых, разница в 100м. для суточного вращения Земли
совершенно несущественна.
ЗАДАНИЕ 6.
Проследите эволюционный путь звезды с начальной массой: а)
1.2 Мс; б) 2Мс; в) 12 Мс.
а) У звёзд, имеющих на начальной стадии массу ~ 1 массы
Солнца, температура ядра повышается до 120—140 млн. градусов и начинается
реакция превращения гелия в углерод; при ещё более высоких температурах
синтезируются и более тяжёлые ядра. Вследствие мощного выделения энергии ядро
звезды расширяется. Сбросив около половины массы, звезда превращается в белый
карлик.
б) звёзды с
массой ~ 2 масс Солнца, эволюционируя,
скачком превращаются в красных сверхгигантов. В их ядрах в результате
термоядерного синтеза образуются всё более тяжёлые элементы, вплоть до наиболее
плотно упакованного ядра атома железа. При дальнейшем повышении температуры
ядра железа превращаются в ядра др. элементов, но при этом энергия уже не
выделяется, а поглощается, и ядро звезды не нагревается при сжатии. Давление
такого газа не может уравновесить вес ядра, если его масса больше 1,4 массы
Солнца, и оно продолжает сжиматься до тех пор, пока плотность вещества в нём не
будет того же порядка, что и плотность атомных ядер. В это время под действием
огромного давления электроны объединяются с ядрами, образуя нейтроны. Так
образуется нейтронная звёзда, имеющая радиус около 10 км. Разновидностью
нейтронных звезд являются пульсары. Часть гравитационной энергии,
выделяющейся при сжатии, передаётся оболочке, которая выбрасывается со
скоростью несколько тыс. км/сек; происходит вспышка сверхновой звезды II
типа (сверхновые звёзды I типа образуются в конце эволюции звёзд меньшей
массы).
в) Если масса
ядра звезды превышает 2 массы Солнца, то в процессе развития звезды сжатие
вещества не останавливается даже при высокой плотности и происходит с
увеличивающейся скоростью. Когда скорость падения вещества к центру звезды
приближается к скорости света, звезда, в силу эффектов теории относительности
перестаёт излучать (происходит так называемый. гравитационный коллапс – процесс,
напоминающий резкое схлопывание). Обнаружить такую коллапсировавшую звезду
можно только по её гравитации или по излучению падающего на неё газа. Это
состояние звезды называется чёрная дыра.
ЗАДАНИЕ 7.
Сколько времени нужно, чтобы пересечь
нашу Галактику на ракете со
скоростью 0,8с, двигаясь вдоль ее плоскости?
Решение: поперечник Галактики составляет 100 000 св.лет. Световой
год – это расстояние, проходимое светом за один год. Если скорость света
обозначить с, то световой год можно записать как с*год.
Запишем выражение для времени, если известны скорость v и расстояние s, проходимое с этой скоростью :
t = s / v
t = с*год
/ 0,8c =(1/0,8)*год
= 1,25 года.
Ответ: потребуется время 1,25 года
ЗАДАНИЕ 8.
Используя соотношение неопределенностей
Гейзенберга, найти погрешность в измерении скорости электрона, зарегистрированного
в пузырьковой камере. Диаметр пузырька считать равным 1 мкм, а скорость электрона
107 м/с.
Решение:
если считать неопределенность координаты электрона (?x) равной диаметру пузырька, а неопределённость скорости
электрона (?v)
–равной погрешности её (скорости) измерения, то из соотношения Гейзенберга
(?p) (?x) = h/2
где
h
= h/2? = 1,05.10-34 Дж.с (постоянная Планка),
?p – неопределенность
импульса.
В
данной задаче электрон нерелятивистский (его скорость много меньше скорости
света), поэтому
?(mv)=
(m?v),
где
m – масса электрона 9·10-28 г
(m ?v) (?x) = h/2
?v = h / (2 ?x m)
?v
= 1,05.10-34 / (2* 1*10-6
* 9·10-31) =
0,056*103=58 м/с
ЗАДАНИЕ 9.
Найти длину волны де Бройля пешехода массой 70 кг, идущего со скоростью 5 км/ч.
Решение :
длина волны де Бройля
?
= h/p,
где h – постоянная Планка,
p – импульс частицы (роль «частицы» в данном случае
играет человек-пешеход).
p = m v,
m – масса частицы,
v- скорость частицы.
Тогда
? = h/(mv).
Приведём
данные к системе СИ:
h = 6,6.10-34 Дж.с
v =5 км/ч = 5 000 м / 3600 с = 1,4 м/с.
?
= h/(mv) = 6,6.10-34 / (70 * 1,4) = 6,7.10-36(м).
Заметим, что для макроскопических объектов волновые свойства,
действительно, выражены крайне незначительно.
ЗАДАНИЕ 10.
Как изменится энтропия окружающей
среды при охлаждении кирпичной печи массой
1,5 т от 80о до 20оС?
Каково соответствующее изменение
статистического веса системы?
Удельная теплоемкость кирпича
880 Дж/кг?К.
Решение :
В системе
СИ
m=1,5 т=1,5*103кг
T1=t1+273=(80+273)=353 К
T2=t2+273=(20+273)=293
К
Изменение энтропии при переходе от состояния 0 (абсолютный
нуль) к состоянию 1 (температура T1)
:
S1-S0 = ?Q1/T1=
(Q1-Q0)/T1 = Q1/T1
То же самое при переходе от состояния 0 (абсолютный нуль)
к состоянию 2 (температура T2)
:
S2-S0 = ?Q2/T2
= (Q2-Q0)/T2 = Q2/T2.
Тогда изменение энтропии при переходе от состояния 1 к
состоянию 2
S2 - S1 = (S2-S0) – (S1-S0)
= Q2/T2 - Q1/T1 .
Заметим, что количество теплоты в общем виде ?Q = С m ?T, т.е.
Q1=CmT1,
Q2=CmT2.
S2 - S1 = (S2-S0) – (S1-S0)
= Q2/T2 - Q1/T1 = CmT2 /Т2 -CmT1/Т1 = Cm =
=880 *1,5*103
=1 320 000 (Дж/К)
ЗАДАНИЕ 11
Какова
сила давления, оказываемого воздухом на вашу ладонь при
нормальных условиях? (Оценить ее площадь).
Решение
: Среднее атмосферное давление на уровне моря эквивалентно давлению
ртутного столба высотой в 760
мм или р=1 013,25 гПа.
Тогда силу
давления можно выразить произведением давления на площадь (на которую это давление
действует) :
F = p S.
При размерах ладони 8 см х 15 см => 0,08 * 0,15 м2=0,012 м2
сила
давления составит (1,013 *109) Па* (0,012) м2 = 1,2*107
(Н), что соответствует примерно 1,2 млн.кг. = 1,2 тыс.тонн.
Ответ : сила
давления составит 1,2*107 Н