Полный текст:
Задача 1
Имеются следующие отчетные данные 23 заводов одной
из отраслей промышленности:
Номер завода
Среднегодовая
стоимость основных производственных фондов, млн. руб. @ (@=1,6)
Валовая
продукция в сопоставимых ценах, млн. руб.
1
20,32
16,6
2
11,04
7,6
3
11,68
11,2
4
4,64
3,2
5
7,2
4,9
6
20,48
15,0
7
12,48
12,0
8
1,28
0,7
9
6,56
5,3
10
6,88
4,8
11
8,8
5,7
12
6,88
4,8
13
14,56
10,9
14
2,24
1,2
15
12,16
8,6
16
5,76
3,6
17
7,04
6,7
18
11,04
8,4
19
7,36
6,9
20
9,28
6,7
21
18,72
17,9
22
11,84
10,4
23
17,44
15,5
24
6,24
6,3
25
17,6
14,1
С
целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных
производственных фондов и выпуском валовой продукции произведите группировку
заводов по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре
группы заводов с равными интервалами. По каждой группе и совокупности заводов
посчитайте:
1) число заводов;
2) среднегодовую стоимость основных
производственных фондов всего и в среднем на один завод;
3) стоимость валовой продукции всего и в среднем
на один завод;
4)
размер валовой продукции на один рубль основных производственных фондов
(фондоотдачу).
Результаты представьте в виде групповой таблицы. Напишите краткие
выводы.
Решение
Для
группировок с равными интервалами величина интервала:
i =( xмах – xмiн) / n,
где
xмах, xмiн – наибольшее
и наименьшее значения признака,
п – число
групп.
Нам
требуется произвести группировку с равными интервалами по данным об уровне
среднегодовой стоимости основных производственных фондов, который колеблется в
пределах от 1,2 до 19,05 млн. руб., и необходимо при этом выделить 4 группы.
Следовательно, величина интервала составит, млн. руб.:
i = (20,48 –1,28)
/4 = 4,8.
Таблица 1
Группировка заводов по среднегодовой стоимости основных производственных
фондов
Группы
заводов по размеру ОПФ, млн. руб.
Число
заводов
Среднегодовая
стоимость ОПФ, млн. руб.
Стоимость
валовой продукции, млн. руб.
Размер
валовой продукции на 1 руб. ОПФ
(фондоотдача)
всего
в
среднем на один завод
всего
в
среднем на один завод
1,28-6,08
4
13,05
3,263
8,7
2,175
0,67
6,08-10,88
9
62,10
6,900
52,1
5,789
0,84
10,88-15,68
7
79,50
11,357
69,1
9,871
0,87
15,68-20,48
5
88,65
17,730
79,1
15,820
0,89
Итого:
25
243,30
-
209,0
-
-
Таким
образом, основная масса заводов имеет ОПФ на сумму от 5,7 до 14,7 млн.руб.
(64%). На их долю приходится 58,2% всей среднегодовой стоимости ОПФ и 58%
стоимости всей валовой продукции по отрасли.
Задача 2
Имеются следующие данные о численности рабочих в
бригадах в двух отраслях народного хозяйства двух областей за отчетный год:
Область
Промышленность
Строительство
@ (@=1,5)
чел. в 1
бригаде
число
бригад
чел. в 1
бригаде
чел. в
бригадах
А
15
1200
29
14250
Б
18
1500
35
27600
Вычислите
среднюю численность рабочих одной бригады:
в промышленности;в строительстве.
Укажите,
какой вид средней надо применять для вычисления этих показателей. Сравните
полученные средние.
Решение
Для
нахождения средней численности рабочих одной бригады в промышленности используем
среднюю арифметическую взвешенную, т.к. даны величины признаков и их частоты.
Средняя
арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин х1, х2,
…, хп, вычисляется по
формуле:
где f1,
f2,
…, fп
– веса (частоты повторения одинаковых признаков);
?хf
– сумма произведений величины признаков на их частоты;
?f – общая численность
единиц совокупности.
Таким
образом, средняя численность рабочих в промышленности составит:
хар
= (15*1200+18*1500)/(1200+1500) = 45000/2700 ? 17 чел.
Для
нахождения средней численности рабочих одной бригады в строительстве используем
среднюю гармоническую взвешенную.
Расчет
средней гармонической взвешенной производится по формуле:
Таким
образом, средняя численность рабочих одной бригады в строительстве составит:
хгар
= (14250+27600)/(14250/29+27600/35) = 41850/1280 ? 33 чел.
Таким
образом, средняя численность рабочих в бригаде в строительстве почти в два раза
выше численности рабочих в бригаде в промышленности.
Задача 3
В
целях изучения дневной выработки рабочими завода проведена 10-процентная случайная
бесповторная выборка, в результате которой получено следующее
распределение рабочих:
Группы рабочих с дневной выработкой изделий, шт.
Число рабочих,
чел. @
До 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
свыше 50
8
15
60
33
12
Итого
128
На
основе этих данных вычислите:
1) среднедневную выработку изделий;
2)
средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение;
3) коэффициент вариации;
4)
с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней, возможные границы, в
которых ожидается среднедневная выработка изделий всеми рабочими завода;
5)
с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса
рабочих с дневной выработкой от 40 до 50 изделий.
Решение
1) При
расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых
вычислений от интервалов переходят к их серединам. При этом величины открытых
интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам
интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого
середины интервалов будут следующими: 15; 25; 35; 45; 55.
Используя
среднюю арифметическую взвешенную, определим среднедневную
выработку изделий:
где f1,
f2,
…, fп
– частоты повторения одинаковых признаков;
?xf –
сумма произведений величины признаков на их частоты;
?f – общая численность единиц совокупности
хар
= (15*8+25*15+35*60+45*33+55*12)/(8+15+60+33+12) = 4740/128 ?
37 шт.
2)
Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от
их средней величины. В нашем случае она вычисляется по формуле взвешенной
дисперсии для вариационного ряда:
Таблица 2
Распределение рабочих по числу выработанных изделий
и расчетные значения для исчисления показателей вариации
Группы рабочих с дневной выработкой изделий, шт.
Число рабочих,
чел.
f
Середина интервала
х
Расчетные значения
xf
(x-x)
(x-x)2
(x-x)2f
x2f
До 20
8
15
120
-22
484
3872
1800
20 - 30
15
25
375
-12
144
2160
9375
30 - 40
60
35
2100
-2
4
240
73500
40 - 50
33
45
1485
8
64
2112
66825
свыше 50
12
55
660
18
324
3888
36300
Итого
128
-
-
-
-
12272
-
Рассчитаем
дисперсию признака:
?2
= 12272/128 = 95,875.
Найдем
среднее квадратическое отклонение:
?
= v?2 = v95,875 = 9,79.
3)
Определим коэффициент вариации, %:
V = .
Таким
образом, данная группа рабочих достаточно однородна по дневной выработке
изделий, поскольку вариация признака составляет менее 50%.
4) Предельную
ошибку выборочной средней определяем по формуле случайного бесповторного
отбора:
n/N = 0,1 или 10% - по условию.
Для
определения предельной ошибки х по данным Ф(t) для вероятности 0,954
находим t=2.
Тогда
шт.
Предельная
относительная ошибка выборки, %:
?%
= ?х/х *100 = 1,64/37*100 = 4,44.
Тогда
интегральная оценка генеральной средней равна:
а с учетом полученных значений:
37-4,44 ? х
? 37+4,44,
32,56 ? х ?
41,44,
33 ? x ? 42.
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно
утверждать, что средняя дневная выработка изделий находится в пределах от 33 до
42 ед.
5) Предельную
ошибку выборочной доли определяем по формуле случайного бесповторного отбора:
Выборочная доля равна:
w =
33/128 = 0,26.
n/N = 0,1 или 10%.
Для
вероятности 0,954 находим t=2.
Предельная
относительная ошибка выборки, %:
?%
= ?w/w *100 = 0,00271/0,26*100 = 1,04.
Тогда
доверительные пределы генеральной доли равны:
а с учетом полученных значений:
0,26-0,00271
? w ? 0,26+0,00271,
0,25729 ? w ? 0,26271,
25,73% ? w ? 26,27%.
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что
удельный вес рабочих с дневной выработкой от 40 до 50 изделий среди всех
рабочих составляет от 25,7 до 26,3%.
Задача 4
Производство
продукции предприятия характеризуется следующими данными:
Месяцы
Производство продукции, тыс.руб.
Январь
1100
Февраль
1200
Март
1300
Апрель
1350
Май
1500
Июнь
1600
Для
анализа данного ряда динамики вычислите:
1)
среднемесячное производство продукции;
2)
базисный темп роста с помощью взаимосвязи цепных темпов роста;
3)
среднемесячный темп роста и прироста.
Результаты
представьте в таблице.
Изобразите
динамику производства продукции на графике. Сделайте выводы.
Решение
1)
Вычислим среднемесячный уровень производства продукции:
среднемесячный уровень =
(1100+1200+1300+1350+1500+1600)/6 = 8050/6 = = 1341,67 тыс. руб.
2)
Представим расчет цепных и базисных абсолютных приростов, темпов роста, темпов
прироста в табл.3.
Таблица 3
Статистические показатели динамики
t
уt,
тыс. руб.
Абсолютный прирост, млн. руб.
Темп роста, %
Темп прироста, %
цепной
базисный
цепной
базисный
цепной
базисный
уt-уt-1
уt-уt-б
уt/уt-1*100%
уt/уt-б*100%
Тt-100%
Тtб-100%
Январь
1100
-
-
-
-
-
-
Февраль
1200
100
100
109,09
109,09
9,09
9,09
Март
1300
100
200
108,33
118,18
8,33
18,18
Апрель
1350
50
250
103,85
122,73
3,85
22,73
Май
1500
150
400
111,11
136,36
11,11
36,36
Июнь
1600
100
500
106,67
145,46
6,67
45,46
Произведение
последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста
за весь период:
Коэф.
роста базисный = 1,0909*1,0833*1,0385*1,1111*1,0667 = 1,4546.
3)
Среднемесячный темп роста определим по формуле:
т.е. в среднем ежемесячно производство продукции составляло
102,37% от уровня предыдущего месяца.
Тогда
средний темп прироста составит:
Тпр
= Тр – 100 = 102,37-100 = 2,37%.
Для наглядного представления динамику производства
продукции изображают в виде графика (рис. 1).
Рис.1. Производство
продукции предприятия
Анализ
данных и рис.1 позволяет сделать следующие выводы:
производство продукции ежемесячно растет;среднемесячный темп роста производства
продукции составляет 102,37%;наименьшим уровнем производства продукции
характеризуется январь (82%), а наибольшей – июнь (119%).
Задача 5
Имеются
следующие данные о товарных запасах непродовольственных товаров торговой
организации:
1
января
1
апреля
1
июля
1
октября
1
января
Остатки
товара, млн. руб.
4,5
4,6
4,8
4,5
4,2
Вычислите
средние товарные запасы торговой организации:
1)
за 1-е полугодие;
2)
за 2-е полугодие;
3)
за год.
Поясните,
почему методы расчета средних уровней рядов динамики в задачах 4, 5 различны.
Решение
Для
моментных рядов динамики с равноотстоящими во времени уровнями средний уровень
(т.н. средняя хронологическая) находится по формуле:
где у1, у2,
…, уп – уровни ряда динамики;
п – число
уровней или длина ряда.
млн.руб.,
млн.руб.,
млн.руб.
Таким
образом, в первом квартале уровень остатков товара в розничном предприятии был больше,
а во втором квартале – меньше, чем в среднем за год.
Методы
расчета средних уровней рядов динамики в задачах 4, 5 различны, т.к. нам
представлены два вида динамических рядов: в задаче 4 – интервальный
(периодический) ряд – его уровни характеризуют размер явления за конкретный
период времени, а в задаче 5 – моментный ряд – его уровни характеризуют
состояние явления на определенные даты (моменты времени). Соответственно и
формулы для расчета средней у них различны.
Задача 6
Динамика
себестоимости и объема производства продукции характеризуется следующими
данными:
Вид продукции
Выработано
продукции,
тыс.ед.
Себестоимость
единицы продукции, тыс.руб. @
Базисный
период
Отчетный
период
Базисный
период
Отчетный
период
Завод № 1
ЛР-34
2,7
2,7
4,8
4,65
АВ-50
4,0
4,8
2,25
2,25
Завод № 2
АВ-50
2,0
1,2
2,1
1,95
На
основании имеющихся данных вычислите:
1.
Для завода № 1 (по двум видам продукции вместе):
а) общий индекс затрат на производство
продукции;
б) общий индекс себестоимости продукции;
в)
общий индекс физического объема производства продукции.
Определите
в отчетном периоде изменение суммы затрат на производство продукции, разложите
по факторам (За счет изменения себестоимости и объема выработанной продукции).
Покажите
взаимосвязь между исчисленными индексами.
2.
Для двух заводов вместе (по продукции АБ-50) :
а) индекс себестоимости переменного состава;
б) индекс себестоимости постоянного состава;
в)
индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней
себестоимости.
Объясните
разницу между величинами индексов постоянного и переменного состава.
Решение
1.
Для завода № 1 (по двум видам продукции вместе):
а) общий индекс затрат на производство
продукции:
?zq = 23,355-21,960 = 1,395 тыс.руб.
б) общий индекс себестоимости продукции:
?z = 23,355-23,760 =
-0,405 тыс.руб.
в)
общий индекс физического объема производства продукции.
?q = 23,760-21,960 = 1,800
тыс.руб.
Взаимосвязь
между исчисленными индексами:
Izq
= Iz
* Iq,
1,0636 = 0,9830*1,0820
1,0636 = 1,0636
Таким
образом, сумма затрат на производство продукции возросла на 1,395 тыс.руб., при
этом за счет увеличения объема производства – возросла на 1,800 тыс.руб., а за
счет снижения себестоимости – сократилась на 0,405 тыс.руб.
2.
Для двух заводов вместе (по продукции АВ-50):
а)
индекс себестоимости переменного состава представляет собой отношение двух
взвешенных средних с переменными весами, показывающее изменение индексируемой
средней величины:
, или 99,5%.
б)
индекс себестоимости постоянного состава представляет собой динамику средней
величины при одной и той же фиксированной структуре совокупности:
, или 98,6%.
Следовательно,
средняя себестоимость продукции БМ-40 по данным двух заводов в отчетном периоде
по сравнению с базисным периодом сократилась на 0,9% в результате изменения только
одного фактора – самой себестоимости по каждому заводу.
в)
Вычислим индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику
средней себестоимости на основе индекса структурных сдвигов:
, или 100,9%.
Разница
между величинами индексов постоянного и переменного состава заключается в том,
что индекс переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных
средних с изменяющимися весами, а индекс постоянного состава характеризует
динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре
совокупности.
Задача 7
Имеются
следующие данные о товарообороте магазина:
Товарная группа
Продано
товаров в фактических ценах, тыс.руб.
@
Базисный
год
Отчетный
год
Картофель
843,75
1006,35
Фрукты
и цитрусовые
522,3
677,4
В
отчетном году по сравнению с базисным годом цены на картофель повысились на 7%,
а на фрукты и цитрусовые – остались без изменения. Вычислите:
1)
общий индекс товарооборота в фактических ценах;
2)
общий индекс цен и сумму дополнительных расходов населения вследствие изменения
цен в отчетном году при покупке товаров в данном магазине;
3) общий индекс физического объема товарооборота, используя взаимосвязь
индексов.
Решение
1. Рассчитаем общий индекс товарооборота в фактических ценах:
Если по картофелю цена возросла на 7%, то индивидуальный индекс
цены этого товара составляет 107%, или 1,07.
или 118,15%.
Таким образом, товарооборот увеличился на 18,2%.
2. Рассчитаем общий индекс цен:
или 104,32%.
?р
= 1425,11-1366,05 = 59,06 тыс.руб.
Таким образом, цены в
среднем повысились на 4,3%, а сумма дополнительных расходов населения составила
59060 руб.
3. Используя взаимосвязь индексов найдем общий индекс
физического объема товарооборота:
Ipq=Ip*Iq,
Iq= Ipq/Ip,
следовательно,
Iq=1,1815/1,0432
= 1,1326, или 113,3%.
Таким образом, товарооборот возрос на 18,2% в основном за счет
увеличения продаж (на 13,3%), и лишь на 4,3% за счет роста цен.
Задача 8
Для изучения тесноты связи между выпуском валовой продукции на
один завод (результативный признак - у) и оснащенностью заводов основными
производственными фондами (факторный признак - х) по данным задачи 1 вычислите
коэффициент детерминации и корреляционное отношение. Поясните их значение.
Решение
В
основе зависимости в данных конкретных условиях лежит прямолинейная связь,
которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:
у = а0 + а1х,
где у – теоретические расчетные значения результативного
признака, полученные по уравнению регрессии; а0, а1 –
неизвестные параметры уравнения регрессии; х – среднегодовая стоимость ОПФ,
млн.руб.
Пользуясь расчетными
значениями (табл.5), исчислим параметры для данного уравнения регрессии:
Следовательно,
регрессионная модель распределения валовой продукции по стоимости ОПФ может
быть записана в виде конкретного простого уравнения регрессии:
у = 0,0002+ 0,859х.
Это
уравнение характеризует зависимость среднего уровня валовой продукции от
среднегодовой стоимости ОПФ. Расчетные значения у, найденные по данному
уравнению, приведены в табл.4.
Для
исчисления коэффициента детерминации и корреляционного
отношения рассчитаем вспомогательную табл.5.
Подкоренное
выражение корреляционного отношения представляет собой коэффициент детерминации
(?2 = 0,94). Коэффициент детерминации показывает долю вариации
валовой продукции под влиянием среднегодовой стоимости ОПФ.
Корреляционное
отношение же измеряет тесноту связи между уровнем валовой продукции и уровнем
среднегодовой стоимости ОПФ. Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем связь
между признаками теснее. Данную связь можно охарактеризовать как очень тесную.
Таблица 4
Распределение валовой продукции по среднегодовой стоимости ОПФ
Номер завода
Среднегодовая
стоимость ОПФ, млн. руб. @ (@=1,5) х
Валовая продукция в сопоставимых ценах, млн. руб. у
х2
у2
ху
у
1
19,05
16,6
362,90
275,56
316,23
16,36
2
10,35
7,6
107,12
57,76
78,66
8,89
3
10,95
11,2
119,90
125,44
122,64
9,41
4
4,35
3,2
18,92
10,24
13,92
3,74
5
6,75
4,9
45,56
24,01
33,075
5,80
6
19,2
15
368,64
225
288
16,49
7
11,7
12
136,89
144
140,4
10,05
8
1,2
0,7
1,44
0,49
0,84
1,03
9
6,15
5,3
37,82
28,09
32,595
5,28
10
6,45
4,8
41,60
23,04
30,96
5,54
11
8,25
5,7
68,06
32,49
47,025
7,09
12
6,45
4,8
41,60
23,04
30,96
5,54
13
13,65
10,9
186,32
118,81
148,785
11,73
14
2,1
1,2
4,41
1,44
2,52
1,80
15
11,4
8,6
129,96
73,96
98,04
9,79
16
5,4
3,6
29,16
12,96
19,44
4,64
17
6,6
6,7
43,56
44,89
44,22
5,67
18
10,35
8,4
107,12
70,56
86,94
8,89
19
6,9
6,9
47,61
47,61
47,61
5,93
20
8,7
6,7
75,69
44,89
58,29
7,47
21
17,55
17,9
308,00
320,41
314,145
15,08
22
11,1
10,4
123,21
108,16
115,44
9,54
23
16,35
15,5
267,32
240,25
253,425
14,04
24
5,85
6,3
34,22
39,69
36,855
5,03
25
16,5
14,1
272,25
198,81
232,65
14,17
Итого
243,3
209
59194,89
43681
50849,7
209,00
Таблица 5
Расчетные значения, необходимые для исчисления
корреляционного отношения
у-у
(у-у)2
у-у
(у-у)2
у-у
(у-у)2
8,24
67,90
8,00
64,00
0,24
0,06
-0,76
0,58
0,53
0,28
-1,29
1,66
2,84
8,07
1,05
1,10
1,79
3,20
-5,16
26,63
-4,62
21,34
-0,54
0,29
-3,46
11,97
-2,56
6,55
-0,9
0,81
6,64
44,09
8,13
66,10
-1,49
2,22
3,64
13,25
1,69
2,86
1,95
3,80
-7,66
58,68
-7,33
53,73
-0,33
0,11
-3,06
9,36
-3,08
9,49
0,02
0,00
-3,56
12,67
-2,82
7,95
-0,74
0,55
-2,66
7,08
-1,27
1,61
-1,39
1,93
-3,56
12,67
-2,82
7,95
-0,74
0,55
2,54
6,45
3,37
11,36
-0,83
0,69
-7,16
51,27
-6,56
43,03
-0,6
0,36
0,24
0,06
1,43
2,04
-1,19
1,42
-4,76
22,66
-3,72
13,84
-1,04
1,08
-1,66
2,76
-2,69
7,24
1,03
1,06
0,04
0,00
0,53
0,28
-0,49
0,24
-1,46
2,13
-2,43
5,90
0,97
0,94
-1,66
2,76
-0,89
0,79
-0,77
0,59
9,54
91,01
6,72
45,16
2,82
7,95
2,04
4,16
1,18
1,39
0,86
0,74
7,14
50,98
5,68
32,26
1,46
2,13
-2,06
4,24
-3,33
11,09
1,27
1,61
5,74
32,95
5,81
33,76
-0,07
0,00
Итого
544,36
-
451,10
-
34,01
Список
используемой литературы:
Гусаров В.М. Статистика. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.Статистика / Под ред. В.С. Мхитаряна. – М.:
Экономистъ, 2005.