Полный текст:
Задание 1
Условие:
На полке стоит N
книг, из них n по
теории вероятности. Какова вероятность того, что из взятых наугад m книг k книг окажутся по теории вероятности.
Решение:
34
10
6
4
Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов,
которыми можно извлечь 6 книг из 34, т.е. числу сочетаний из 34 элементов по 6
элементов (С634).
Определяем число исходов, благоприятствующих событию А – «среди 6 взятых
наугад книг 4 книги окажутся по теории вероятности». Четыре книги по теории
вероятности из 10 книг по теории вероятности можно взять С410
способами, при этом остальные 6-4=2 книги должны быть не по теории вероятности;
взять же 2 книги не по теории вероятности из 34-10=24 книг можно С224
способами. Следовательно число благоприятных исходов равно С410*
С224.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих
событию, к числу всех элементарных исходов:
Задание 2
Условие:
В урне находится n
шаров, среди которых k
шаров красного цвета. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m шаров будут красного цвета.
Решение:
28
10
3
Общее число элементарных
исходов данного опыта равно числу сочетаний из 28 по 3, т.е.
Число благоприятных
исходов равно:
Искомая вероятность
определяется формулой:
Задание 3
Условие:
На сборочное предприятие
поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: с первого завода, со второго завода, с третьего завода. Вероятность качественного
изготовления изделий на первом заводе , на
втором , на
третьем .
- Какова вероятность
того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?
- Взятое случайным
образом изделие качественное. Какова вероятность того, что изделие было
изготовлено на заводе?
Решение:
n1
p1
n2
p2
n3
p3
m
40
0,8
20
0,8
40
0,9
1
- Вероятность события А (изделие
качественное) равна отношению числа всех качественных к общему числу изготовленных на трех заводах
изделий
-
Обозначим через Н1 событие, состоящее в том, что взятое изделие изготовлено
на первом заводе, Н2 – на втором заводе, а Н3 – на
третьем заводе, тогда
Р(Н1)
= 40/100 = 0,4;
Р(Н2)
= 20/100 = 0,2;
Р(Н3)
= 40/100 = 0,4.
Пусть А
– событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие оказалось качественным.
По условию
Р(А/Н1)
=0,8;
Р(А/Н2)
=0,8;
Р(А/Н3)
=0,9;
В
соответствии с формулой
в случае n=3 получаем
Задание 4
Условие:
Дано распределение дискретной случайной величины X. Найти математическое
ожидание и среднее квадратичное отклонение.
Решение:
Числовые данные
–3
–1
3
5
0,4
0,3
0,1
0,2
Математическим
ожиданием случайной дискретной величины Х называется сумма произведений ее
значений на их соответствующие вероятности:
М(Х) = х1р1+ х2р2+…+
хnрn.
М(Х) = (-3)*0,4+(-1)*0,3+3*0,1+5*0,2=-0,2.
Запишем закон распределения случайной
величины (Х-М(Х))2:
(Х-М(Х))2
(-3+0,2)2
(-1+0,2)2
(3+0,2)2
(5+0,2)2
Р
0,4
0,3
0,1
0,2
и найдем дисперсию случайной величины
Х по формуле:
D(x)=7,84*0,4+0,64*0,3+10,24*0,1+27,04*0,2=9,76.
В соответствии с формулой
находим среднее квадратическое
отклонение:
Задание 5
Условие:
Стрелок делает N
выстрелов. Вероятность промаха при каждом выстреле одинакова и равна p. Составить
закон распределения числа промахов по мишени.
Решение:
2
0,16
Пусть k – наивероятнейшее число появления события А.
пр+р=6*0,16+0,16=1,12
– не целое число, следовательно,
k=[1,12]=1
Р6(1)=С16*(0,16)1*0,845=6!*0,16*0,418=48,15.
Задание 6
Условие:
Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение.
Ее математическое ожидание равно , среднее
квадратичное отклонение равно . Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (а, b).
Решение:
54
3
53
56
Из условия следует, что а=54,
В соответствии с формулой
,
находим:
При чем значения Ф(х) были найдены с
помощью таблицы значений Лапласа.