Полный текст:
Задача 1.
Объем пирамиды , где DH – высота
пирамиды, проведенная к основанию ABC, – площадь этого
основания. Поэтому будем искать первую величину в несколько действий:
1) Высота DH – расстояние от точки D до плоскости ABC. Составим сначала уравнение плоскости по трем точкам,
а затем воспользуемся формулой расстояния.
Уравнение плоскости по трем точкам (ABC) имеет вид:
Вычисляя определитель,
получаем
Найдем высоту:
? где (x,y,z) – координаты точки D.
2) Площадь основания пирамиды
(площадь плоскости ABC) находится следующим образом:
3) Объем пирамиды:
4) Уравнение плоскости,
проходящей через точки B, C, D:
или
Задача 2.
Для решения системы линейных
алгебраических уравнений запишем расширенную матрицу коэффициентов системы:
Тогда по правилу Крамера:
Если , то эта система имеет единственное решение, которое может
быть найдено по следующим формулам:
,
где – определитель матрицы
коэффициентов,
– определитель матрицы, в которой первый
столбец заменен на столбец свободных членов,
– определитель
матрицы, в которой третий столбец заменен на столбец свободных членов,
– определитель матрицы, в которой третий
столбец заменен на столбец свободных членов.
Задача 3.
Точка , ее проекция на плоскость и симметричная
относительно данной плоскости лежат на
одной прямой, которую можно задать вектором, перпендикулярным плоскости, и
точкой P:
Вектор, перпендикулярный
данной плоскости имеет следующие координаты .
Тогда прямая задается
следующими уравнениями:
Тогда Q – проекция
точки P на плоскость
найдется из следующей системы:
. Параллельным переносом на этот вектор получаем точку – симметричную точки P относительно
данной плоскости.
Задача 4.
(получили делением на
старшую степень)
(получили, используя 1
замечательный предел )
Задача 5.
Задача 6.
1) Область определения данной
функции
2) Эта функция ни четная, ни
нечетная, т.к. .
3) при ,
при не определена.
4) Точки разрыва: исследуем
на разрыв
Тогда – точка разрыва II рода, так как оба предела бесконечны.
5) Асимптоты:
– вертикальная
асимптота;
узнаем, есть ли наклонная
асимптота (если есть, то в виде , где ):
– наклонная асимптота.
6) Найдем экстремумы функции:
Решений в у уравнения нет, а
точка является точкой
разрыва. Значит, точек экстремума у функции нет.
7) Найдем вторую производную:
не является точкой
перегиба, так как не существует.
8) График функции:
1) Область определения данной
функции
(множество
действительных значений.
2) Эта функция ни четная, ни
нечетная, т.к. .
3) при ,
при и .
Таким образом, график этой
функции пересекает начало координат.
4) Точек разрыва нет.
5) Асимптоты:
вертикальной асимптоты нет;
узнаем, есть ли наклонная
асимптота (если есть, то в виде , где ):
– наклонная асимптота.
6) Найдем экстремумы функции:
Точки экстремума:
Тогда точка – точка максимума.
7) Найдем вторую производную:
при , т.е. точки:
– точка перегиба
– точка разрыва.
8) График функции:
Задача 7.
Найдем частные производные
первого порядка:
Тогда получаем систему
Значит точка – подозрительная на
экстремум. Проверим достаточное условие экстремума:
Найдем частные производные
2-го порядка:
Тогда
Если , то точка – точка экстремума,
если , то точка не является точкой экстремума,
если , то с помощью достаточного условия нельзя сказать является
ли точка точкой экстремума или нет.
У нас . Следовательно экстремумов у данной функции двух переменных
нет.
Задача 8
Мы не можем найти экстремум
функции в обычном виде. Представим и подставив в функцию,
получим функцию от одной переменной
Тогда
Найдем
1 уравнение не имеет решений.
Остается случай , при котором не существует. Не
нашли стационарных точек. Значит у данной функции нет экстремумов.
Задача 9
Задача 10
Построим графики этих
функций:
Найдем пределы интегрирования:
Тогда пределы интегрирования .
Теперь ищем площадь в виде:
Задача 11
Кривая
Длина дуги кривой при заданном интервале изменения параметра
вычисляется по формуле:
, где – границы заданного
интервала.
Задача 12
Первые три члена имеют вид:
Для исследования ряда на
сходимость найдем
, тогда по необходимому признаку сходимости числовых рядов
этот ряд сходится.
Задача 13
Степенной ряд имеет вид
Найдем из нашего ряда
Теперь найдем интервал
сходимости в виде (-R; R), где
Ищем
Значит, интервал сходимости
(-4; 4).
Исследуем на сходимость на
концах интервала:
- знакочередующийся
ряд (о нем известно, что он расходится).
- ряд, состоящий из
положительных членов, он так же расходится.
Значит, на концах интервала
ряд расходится.
Задача 14
Найдем область определения:
(находится из решения )
Функция определена в точке и имеет в ней
производные всех порядков.
Тогда разложение данной
функции в степенной ряд будет иметь вид: