Полный текст:
Задание 1. Ряды распределения и их характеристики.
Ряд распределения –
это группировка, в которой для характеристики групп (упорядоченно расположенных
по значению признака) применяется один показатель – численность группы. Другими
словами, это ряд чисел, показывающий, как распределяются единицы некоторой
совокупности по изучаемому признаку.
Ряды, построенные по атрибутивному признаку, называются атрибутивными
рядами распределения. Ряды распределения, построенные по количественному
признаку, называются вариационными рядами.
Примером атрибутивных рядов могут служить распределения
населения по полу, занятости, национальности, профессии и т.д. Примером
вариационного ряда распределения могут служить распределения населения по
возрасту, рабочих – по стажу работы, заработной плате и т.д.
Вариационные ряды распределения состоят их двух элементов:
вариантов и частот.
Вариантами называются числовые
значения количественного признака в ряду распределения, они могут быть
положительными и отрицательными, абсолютными и относительными.
Частоты – это численности отдельных
вариантов или каждой группы вариационного ряда. Сумма всех частот называется
объемом совокупности и определяет число элементов всей совокупности.
Вариационные ряды в зависимости от характера вариации
подразделяются на дискретные и интервальные.
В дискретных рядах распределения варианты
признака имеют значения целых чисел, т.е. между ними не может быть никаких
промежуточных значений. Например, распределение рабочих по тарифному разряду,
когда группировочный признак в каждой группе
конкретное число 2 разряд, 3, 4, 5, 6. В интервальных же рядах распределения группировочный признак может
принимать любые значения в некотором промежутке.
Непрерывно
варьирующий признак изображается графически при помощи гистограммы. Дискретный же ряд
распределения графически представляется в виде полигона распределения.
Далее
рассмотрим характеристики рядов распределения.
Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический
уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице
совокупности.
Средние величины делятся на два больших класса: степенные
средние, структурные средние. К степенным
средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как
средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая. В
качестве структурных средних
рассматриваются мода и медиана.
Степенные средние в зависимости от представления исходных
данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя арифметическая
рассчитывается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:
где xi – варианта
(значение) осредняемого признака; n – число вариант.
Взвешенная средняя
считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:
,
где fi
– частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.
Информация о
средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для
глубокого анализа изучаемого процесса или явления. Необходимо учитывать и разброс
или вариацию значений отдельных единиц, которая является важной характеристикой
изучаемой совокупности. Каждое индивидуальное значение признака складывается
под совместным воздействием многих факторов. Социально-экономические явления,
как правило, обладают большой вариацией. Причины этой вариации содержатся в
сущности явления.
Показатели
вариации определяют, как группируются значения признака вокруг средней
величины. Они используются для характеристики рядов распределения. В наибольшей
степени вариации подвержены курсы акций, объёмы спроса и предложения,
процентные ставки в разные периоды и в разных местах.
По смыслу определения вариация
измеряется степенью колеблемости вариантов признака от уровня их средней
величины. На использовании отклонений от средней построено большинство
показателей применяемых в статистике для измерения вариаций значений признака в
совокупности.
Самым
простейшим абсолютным показателем вариации является размах вариации: . Размах вариации выражается в тех же единицах измерения,
что и Х. Он зависит только от двух крайних значений признака и, поэтому,
недостаточно характеризует колеблемость признака.
Среднее линейное отклонение является
средней величиной из абсолютных значений отклонений от средней арифметической
величины.
Простое: . Взвешенное: .
Среднее
линейное отклонение имеет единицы
измерения как у признака.
Дисперсия (средний квадрат отклонения) –
это средняя арифметическая из квадратов отклонений значений варьирующего признака
от средней арифметической.
– простая; – взвешенная.
Дисперсию в
отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле, представляющей собой
алгебраическое преобразование предыдущих формул:
, где или .
Наиболее
удобным и широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение(s).
Оно определяется как квадратный корень из дисперсии.
Абсолютные
показатели вариации зависят от единиц измерения признака и затрудняют сравнение
двух или нескольких различных вариационных рядов.
Относительные
показатели вариации вычисляются как отношение различных абсолютных показателей
вариации к средней арифметической. Наиболее распространённым из них является коэффициент вариации. Его формула:
.
Коэффициент
вариации характеризует колеблемость признака внутри средней. Самые лучшие
значения его до 10%, неплохие до 50%, плохие - свыше 50%. Если коэффициент
вариации не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно
считать однородной.
Задание 2.
Имеются
данные о доходах 100 семей района области:
Группы
рабочих по выработке тканей за смену одним рабочим, м
Численность
рабочих, чел.
до 50
12
50 - 60
15
60 - 70
14
70 - 80
10
80 - 90
20
90 - 100
17
свыше 100
12
Итого
100
Определить:
1. Среднесменную
выработку тканей одним рабочим.
2. Показатели
вариации.
3. Средние
структурные величины: моду и медиану.
Решение.
Для расчета
всех показателей проведем необходимые вычисления:
Группы рабочих по выработке тканей за смену одним
рабочим, м
Середина интервалов
Число рабочих
до 50
8
12
96
-12,88
165,89
1990,73
50 - 60
12
15
180
-8,88
78,85
1182,82
60 - 70
16
14
224
-4,88
23,81
333,40
70 - 80
20
10
200
-0,88
0,77
7,74
80 - 90
24
20
480
3,12
9,73
194,69
90 - 100
28
17
476
7,12
50,69
861,80
свыше 100
36
12
432
15,12
228,61
2743,37
Итого
x
100
2088
x
558,38
7314,56
1. Определим среднесменную
выработку тканей одним рабочим:
(м).
2. Рассчитаем показатели
вариации:
Дисперсия: ;
Среднее квадратическое отклонение:
(м).
Полученная
величина свидетельствует о том, что в целом среднесменная выработка отклоняется
от среднего значения (20,88м) в среднем на 8,55м.
Коэффициент
вариации:
.
Вычисленный
коэффициент вариации превосходит 33%. Это свидетельствует о большой
колеблемости величины среднесменной выработки тканей одним рабочим.
Совокупность по рассматриваемому признаку нельзя считать однородной.
3. Определим моду. Интервал с границами 80 - 90 является модальным, т.к. он имеет
наибольшую частоту.
Отсюда мода:
(м).
Рассчитаем
медиану. Определим медианный интервал (интервал, в котором накопленная частота
превысит 50):
Интервал
Накопленная частота
до 50
12
50 - 60
27
60 - 70
41
70 - 80
51
Таким образом,
медианным является интервал с границами 70 – 80. Определяем медиану:
(м).
Задание 3.
Производство
телевизоров характеризуется следующими данными:
Годы
1991
1992
1993
1994
Производство
продукции, тыс.шт.
900
860
880
940
Исчислите
абсолютные, относительные и средние показатели рядов динамики. Сделайте выводы.
Решение.
Вычислим цепные и
базисные темпы роста и занесем полученные значения в таблицу:
Годы
1991
1992
1993
1994
Производство продукции, тыс.шт.
900
860
880
940
Абсолютные приросты, тыс.шт.
цепные
-
-40,0
20,0
60,0
базисные
0,0
-40,0
-20,0
40,0
Темпы роста, %
цепные
-
95,6
102,3
106,8
базисные
100,0
95,6
97,8
104,4
Темпы прироста, %
цепные
-
-4,4
2,3
6,8
базисные
0,0
-4,4
-2,2
4,4
Вычислим
средний уровень ряда:
(тыс.шт.);
Вычислим
средний абсолютный прирост:
(тыс.шт.);
Вычислим
средний темп роста:
;
Средний темп прироста:
.
По
результатам расчетов можно видеть, что производство телевизоров в 1992г. снизилось
по сравнению с 1991г, в последующие годы происходил рост производства
телевизоров. В целом же произошел рост производства телевизоров на 4,4% или 40
тыс.шт. В среднем за рассматриваемый период производство телевизоров
увеличивалось на 1,46% или 13,33 тыс.шт. в год.
Наибольший
относительный прирост производства телевизоров произошел в 1994г.: по сравнению
с 1993г. выпуск вырос на 60 тыс.шт. или 6,8%.
В среднем за
рассматриваемый период производилось 895 тыс.шт. телевизоров в год.
Задание 4.
По
строительной организации имеются следующие данные за май:
Отработано
96000 чел.дн. Неявки составили: очередные отпуска: 14000 чел.дн., по болезни:
8000 чел.дн., декретные отпуска: 1370 чел.дн., с разрешения администрации: 180
чел.дн., прогулы: 20 чел.дн, выходные и праздничные дни: 35300 чел.дн.
Число дней
работы за месяц - 20. Определите среднесписочную численность работников и
среднее явочное число работников за месяц.
Решение.
Среднесписочную
численность работников вычислим как отношение календарного фонда времени к
числу дней работы за месяц.
При этом календарный фонд рабочего времени –
это сумма числа дней явок и неявок на
работу, а также праздничных и выходных дней:
(чел.-дней).
Отсюда:
(чел.).
Cреднее явочное число
работников вычислим как отношение числа человеко-дней явок (отработанных в
течение месяца человеко-дней) к числу дней работы за месяц:
(чел.).
Задание 5.
Имеются
следующие данные о работе ткацкой фабрики:
Показатели
Базисный
период
Отчетный
период
1. Выработано хлопчатобумажной ткани, тыс.м
350000
550000
2. Отработано рабочими, чел.час.
26,0
24,5
Определите
абсолютный прирост продукции в целом, в том числе: а) за счет увеличения
численности рабочих; б) за счет изменения производительности труда. Сделайте
вывод.
Решение.
Для расчета
прироста выработки продукции рассчитаем производительность труда в каждый
период:
Показатели
Базисный период
Отчетный период
Выработано хлопчатобумажной
ткани, тыс.м (Q)
350000
550000
Отработано рабочими,
чел.час. (Т)
26,0
24,5
Производительность труда,
тыс.м / чел.час. (W)
13461,5
22449,0
Таким образом,
в отчетном году численность работников снизилась, а производительность труда
выросла.
1. Определим абсолютный
прирост выработки продукции:
(тыс.м).
Т.е. в
базисный период было выработано на 200000 тыс.м хлопчатобумажной ткани больше.
2. Определим
абсолютное изменение выработки продукции за счет изменения численности
работников:
Т.е. в
результате снижения численности работников выработка продукции снизилась на
20192,31 тыс.м.
3. Определим
абсолютный прирост выработки продукции за счет увеличения производительности
труда:
(тыс.м).
Т.е. в
результате увеличения производительности труда выработка продукции увеличилась
на 220192,31 тыс.м.
Задание 6.
Первоначальная сумма долга равна 4 млн.руб.
Определите сумму долга через 2 года, 1 год, 3 мес. при использовании простой и
сложной ставок процентов в размере 80% годовых. Сделайте выводы
Решение.
Вычислим сумму
долга при использовании простой ставки процентов.
Через 2 года:
(млн.руб.).
Через 1 год:
(млн.руб.).
Через 3
месяца:
(млн.руб.).
Вычислим сумму
долга при использовании сложной ставки процентов.
Через 2 года:
(млн.руб.).
Через 1 год:
(млн.руб.).
Через 3 месяца:
(млн.руб.).
Можно видеть, что при n = 1 получаем одинаковую
сумму долга при начислении простых и сложных процентов. При n = 3 (для n > 1) большая сумма долга при
начислении сложных процентов, а для n < 1 сумма долга больше при
начислении простых процентов.