Полный текст:
2.3 Дан треугольник АВС с вершинами А(5;3), В(-10;0) и С(0; -5). Найти:
а) точку В1 симметричную точке В относительно точки А
б) точку О1 симметричную точке В относительно прямой ВС
в) точку Р пересечения медиан
г) длину высоты, опущенной из вершины А
д) площадь треугольника АВС
е) систему неравенств, задающую внутренность треугольника АВС, и сделать чертеж
Решение
а) Точка В1 является серединой отрезка АВ. Ее координаты определим как координаты середины отрезка
б) О2 – середина стороны ВС и ОО1. Находим координаты точки О2
Для О1
в) точка пересечения медиан
г) длина высоты есть расстояние от точки А до прямой ВС
д) площадь треугольника вычисляется по формуле
г) система неравенств
для этого необходимо вначале определить граничные прямые
АВ
АС
ВС
Система неравенств
2.4 Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F (0:5) к расстоянию до прямой x=-10 равно Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.
Решение
Пусть точка М (х;у) принадлежит искомой кривой. Согласно условию расстояние FM равно:
Точка О (-10;у) принадлежит прямой х=-10, тогда расстояние ОМ равно
По условию
Полученное уравнение представляет собой кривую – гиперболу
2.5 Дан треугольник АВС с вершинами А(5;0;10), В (10; 0;0), С (6; -1;11). Найти:
а)уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С
б) расстояние от начала координат до плоскости АВС
в) уравнение прямой, перпендикулярной плоскости АВС и проходящей через точку А.
Решение
а)
б) расстояние от начала координат до плоскости АВС есть длина перпендикуляра
в)
3.1.1 Найти пределы последовательностей и функций
А)
Б)
=
г)
3.2.2 Найти наименьшее и наибольшее значение функции
Решение
Находим первую производную и критические точки данной функции
Критические точки
Находим вторую производную и определяем ее знак в критических точках
Вторая производная в т. Х1=-5 отрицательна – это точка максимума
Вторая производная в т. Х2=10 положительна – это точка минимума
3.2.3 Сооружается бассейн с квадратным дном 403м3Найти наименьшее значение площади облицовываемой поверхности и соответствующие ей размеры бассейна.
Решение
Пусть х- сторона квадрата основания
Н-высота бассейнв
V=403=х2Н
S=4xH+x2
Теперь находим вторую производную
Значит в точке х=80 м–площадь принимает наименьшее значение
Тогда высота бассейна
м
Таким образом, чтобы площадь облицовываемой поверхности была наименьшей необходимо, чтобы высота бассейна была равна половине его ширины или длины.