Полный текст:
Содержание
Условие задачи. 3
1 Анализ корреляционной матрицы и частных коэффициентов корреляции 5
1.1 Расчет элементов корреляционной матрицы.. 5
1.2 Проверка значимости отличия от нуля элементов корреляционной матрицы 5
1.3 Расчет частных коэффициентов корреляции. 6
1.4 Проверка значимости отличия от нуля частных коэффициентов корреляции 6
1.5 Выводы по результатам расчетов. 7
2 Анализ регрессионной модели. 7
2.1 Расчет остаточной дисперсии и ковариационной матрицы.. 8
2.2 Расчет стандартных ошибок коэффициентов модели. Проверка значимости отличия коэффициентов модели от нуля. 9
2.3 Определение доверительного интервала. 10
2.4 Проверка гетероскедастичности остатков модели. 11
2.5 Проверка наличия автокорреляции. 12
Условие задачи
Требуется, в соответствии с данными своего варианта:
1. Провести анализ корреляционной матрицы и частных коэффициентов корреляции. Выводы по результатам расчетов
2. Провести анализ регрессионной модели Y = а0 + a1*t + а2*x(t)
2.1. Вычислить коэффициенты модели методом наименьших квадратов
2.2. Вычислить остаточную дисперсию и ковариационную матрицу. Является ли ковариационная матрица ортогональной?
2.3. Вычислить стандартные ошибки коэффициентов модели. Проверить значимость отличия коэффициентов модели от нуля по t - критерию при уровне значимости а = 0,05 и а = 0,01. Какова обоснованность вывода?
2.4. Последовательно проверить значимость отличия каждого из коэффициентов модели от нуля, при оптимальных значениях других коэффициентов по F - критерию Фишера (или критерию Хотеллинга) при уровне значимости = 0,05 и = 0,01
2.5. Определить доверительный интервал изменения среднего и конкретного значения прогнозной величины для данных 1972 и 1974 года
2.6. Проверить гетероскедастичность остатков модели по тесту ранговой корреляции Спирмена при уровне значимости а = 0,05 и а = 0,01
2.7. Проверить наличие автокорреляции остатков модели по критерию Дарбина-Уотсона при уровне значимости а = 0,05 (5%) 2.8 Выводы по результатам расчетов
3. Общие выводы
Таблица исходных данных
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2787
2768
2652
2737
2753
2742
2727
2722
2625
2747
53684
55754
56972
58278
59226
62367
62576
62485
64544
72214
1 АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ И ЧАСТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ
1.1 Расчет элементов корреляционной матрицы
Средние значения:
Элементы корреляционной матрицы
Ролучаем корреляционную матрицу
факторы
факторы
t
x
y
t
1
-0,384
0,942
x
-0,384
1
-0,230
1.2 Проверка значимости отличия от нуля элементов корреляционной матрицы
Проверка значимости отличия от нуля элементов корреляционной матрицы проводим по критерию Стьюдента. Уровень значимости =0,01.
Таким образом, при уровне значимости =0,01 установлена значимое отличие от нуля значимость отличия от нуля коэффициента и не выявлена значимость отличия от нуля коэффициентов корреляции и , но, поскольку они не равны нулю, то проведем анализ частных коэффициентов корреляции.
1.3 Расчет частных коэффициентов корреляции.
Частный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между t и у при исключении влияния х.
Частный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между х и у при исключении влияния t.
1.4 Проверка значимости отличия от нуля частных коэффициентов корреляции
Таким образом, при уровне значимости 0,01 установлено значимое отличие от нуля частных коэффициентов корреляции .
1.5 Выводы по результатам расчетов
Поскольку при уровне значимости 0,01 установлено значимое отличие от нуля частных коэффициентов и , в регрессионной модели необходимо учитывать как временную координату t, так и объем личных доходов х. Имеется прямая зависимость между изменением факторов t и х и изменениями расходов на табак (у), так как и .
2 Анализ регрессионной модели.
Коэффициенты модели могут быть определены решением системы уравнений
регрессионное уравнение имеет вид
у=-5032,77+1751,7t+16,28x(t)
Анализ уравнение показывает, что ежегодное увеличение расходов на табак составляет 1751,7 млн. ф.ст., а увеличение личных доходов на 1 млн. ф. ст. приводило к увеличению расходов на табак на 16,28 млн. ф. ст.
год
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
t
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
2787
2768
2652
2737
2753
2742
2727
2722
2625
2747
y
53684
55754
56972
58278
59226
62367
62576
62485
64544
72214
Y
53921
55363
55226
58362
60374
61946
63454
65124
65296
69035
e
237
-391
-1746
84
1148
-421
878
2639
752
-3179
2.1 Расчет остаточной дисперсии и ковариационной матрицы
Остаточная дисперсия характеризует точность модели и определяется как:
Ковариационная матрица
2.2 Расчет стандартных ошибок коэффициентов модели. Проверка значимости отличия коэффициентов модели от нуля
Стандартная ошибка j-го коэффициента модели определяется корнем квадратным из j-го диагонального коэффициент ковариационной матрицы.
При уровне значимости 0,01 и 0,05 коэффициента а0, а1, а2 значимо отличаются от нуля, что подтверждает значимость влияния на У входных факторов.
При a=0,05 F=4.347, T=13.040
При a=0,01 F=8,451, T=25,354
Результаты расчетов в таблице
Проверяемый коэффициент модели
а0
а1
а2
5032,77
-1751,70
-16,28
Расчетное значение критерия Хотеллинга, Т
11241,2
22482,3
33723,5
a=0,05
Значимо
Значимо
Значимо
a=0,01
Значимо
Значимо
Значимо
Таким образом, при уровне значимости 0,01 все коэффициенты значимо отличаются от нуля и не могут быть исключены из модели.
2.3 Определение доверительного интервала.
Прогноз на 1972 год при уровне значимости 0,05.
у(1972)
1
t
x
69035
4658,88
64376
73694
74349
1
11
2747
6,75
Прогноз на 1974 год при уровне значимости 0,05.
у(1974)
1
t
x
75413
7370,12
68043
82784
74349
1
13
2885
9,77
Анализ результатов показывает, что получена удовлетворительная точность прогноза, не превышающая 9,8%.
2.4 Проверка гетероскедастичности остатков модели.
Результат проверки по переменной t.
t
ранг t
ранг
D
D2
2
1
237
2
-1
1
3
2
391
3
-1
1
4
3
1746
8
-5
25
5
4
84
1
3
9
6
5
1148
7
-2
4
7
6
421
4
2
4
8
7
878
6
1
1
9
8
2639
9
-1
1
10
9
752
5
4
16
11
10
3179
10
0
0
62
Гипотеза отсутствия гетероскедастичности не отклоняется при уровне значимости 5% и 1%.
х
ранг х
ранг
D
D2
2787
10
237
2
8
64
2768
9
391
3
6
36
2652
2
1746
8
-6
36
2737
5
84
1
4
16
2753
8
1148
7
1
1
2742
6
421
4
2
4
2727
4
878
6
-2
4
2722
3
2639
9
-6
36
2625
1
752
5
-4
16
2747
7
3179
10
-3
9
222
Гипотеза отсутствия гетероскедастичности не отклоняется при уровне значимости 5% и 1%.
2.5 Проверка наличия автокорреляции.
Расчет сумм, необходимых для вычисления d-статистики.
i
ei
ei-1
ei- ei-1
(ei- ei-1)2
ei2
2
-391
655
-1046
1094159
152897
3
-1746
-391
-1355
1836787
3049571
4
84
-1746
1830
3348439
6984
5
1148
84
1064
1132636
1317504
6
-421
1148
-1568
2459954
176903
7
878
-421
1298
1685943
770603
8
2639
878
1761
3102115
6964966
9
752
2639
-1887
3560311
565871
10
-3179
752
-3932
15457517
10108337
33677860
23113636
Фактически найденное значение d=1,82 находится в пределах dн 4-dв. Так как выборка менее 15, то для рассматриваемого временного ряда на уровне 0,05 гипотеза об отсутствии автокорреляции возмущений не отвергается.