Полный текст:
Московский Государственный Университет
им. М. В. Ломоносова
Курсовая работа
по дисциплине
«компьютерные методы физики»
на тему:
«Генератор с инерционной нелинейностью»
Студента 217 группы
Орлова Д. М.
Преподаватель
Черезова Т. Ю.
Москва 2003г.
Содержание
Введение…………………………………………………………………………2
Понятие инерционной и безынерционной нелинейностей…………………..2
Уравнение генератора с термистором…………………………………………3
Численный метод исчисления. Метод Рунге-Кутта…………………………..6
Изучение поведения системы
безосцилляционный случай…………………………………………....10
случай осцилляций……………………………………………………...12
случай изменения коэффициента ………………………………….14
случай изменения коэффициента b…………………………………….15
случай изменения коэффициента …………………………………...16
особенности энергетического баланса в ГИН………………………...19
Заключение…………………………………………………………………….20
Введение
Генераторами с инерционной нелинейностью являются многие типы лазеров. К этому классу относится большое число автоколебательных систем различной физической природы. Всем этим системам присущи одинаковые свойства, вызванные инерционностью нелинейного параметра системы. Для изучения этих свойств целесообразно остановиться на простейших радиотехнических моделях генераторов с инерционной нелинейностью.
Понятие инерционной и безынерционной нелинейностей
Инерционной считают такую зависимость какого-либо параметра системы от переменных, описывающих движение системы, при которой значение параметра не следует мгновенно за изменениями переменных. Напротив, если в рассматриваемом процессе можно пренебречь временем установления значения параметра, то такой параметр считают безынерционным.
Инерционность параметра проявляется тогда, когда характерное время его изменения не может считаться бесконечно малым по сравнению с характерными временами изменения переменных, описывающих движение системы. Применительно к колебательным процессам инерционность может проявляться в том, что некоторый параметр системы определяется не мгновенными значениями совершающей колебания переменной, а лишь амплитудой ее колебаний. Это случай является предельным и соответствует идеальной инерционности.
Существенной особенностью автоколебательных систем является нелинейное ограничение нарастания колебаний, т. е. возрастание потерь колебательной энергии на активных элементах системы с ростом размаха колебаний. Вводя термин «генератора с инерционной нелинейностью» (ГИН), имеют в виду инерционную зависимость активных потерь энергии автоколебаний от переменных, совершающих автоколебания.
Системы, в которых имеют место активные потери, т. е. процесс превращения энергии колебаний в тепловую, называют диссипативными. В радиофизических устройствах диссипация энергии имеет место на активных сопротивлениях R. Напротив, реактивные элементы системы способны накапливать энергию колебаний, без превращения ее в тепло. К таким элементам относятся катушки индуктивности L и конденсаторы C. В широком толковании к активным элементам радиофизического устройства следует отнести элементы, обладающие, как говорят, отрицательным сопротивлением. Аналогом таких элементов в лазерной физике является активная среда, усиливающая проходящую через нее электромагнитную волну (свет).
Итак, активные отрицательные сопротивления вызывают рост энергии автоколебаний. В реальных системах этот рост всегда сопровождается увеличением потерь, что эквивалентно уменьшению по абсолютной величине отрицательного сопротивления. Рассматривая ГИН, далее будет учитываться инерционность только этого отрицательного сопротивления и считаться, что реактивные параметры системы безынерционны.
Физическая природа ГИН, как впрочем и других автоколебательных систем, всегда разнообразна. Такими генераторами могут являться некоторые механические и электромеханические системы, как например, электронные часы с механическим маятником, радиотехнические генераторы, применяемые в радиопередающих и других устройствах, спиновые генераторы, действие которых основано на явлении ядерного резонанса. К модели автоколебаний в ГИН сводятся и некоторые химические (так называемые автоволновые) и биологические процессы. Как уже отмечалось, ГИН является большое число лазеров различных типов.
Все многообразие ГИН описывается идентичными уравнениями и обладает рядом характерных для ГИН любого типа свойств. Для выявления этих общих свойств достаточно рассмотреть простейшую модель радиотехнического ГИН.
Уравнение генератора с термистором
Первые работы по изучению автоколебательных систем с инерционной нелинейностью были выполнены профессором МГУ К.Ф. Теодорчиком в середине сороковых годов. В качестве модели такой системы К.Ф. Теодорчик выбрал радиотехнический генератор, содержащий в колебательном контуре термочувствительное сопротивление – термистор. Инерционность этой системы определяется тем, что сопротивление термистора R зависит от его температуры T , значения которой не могут мгновенно следовать за значениями тока, прогревающего термистор.
Принципиальная схема генератора с термистором приведена на рисунке. Она состоит из колебательного контура LC с последовательно включенным термистором R(T) , четырехполюсника У и цепи обратной связи, ток в которой I является током в выходной цепи У.
Для создания отрицательного сопротивления в систему введена положительная обратная связь за счет взаимоиндукции M между катушками L и L . Кроме того, четырехполюсник У является усилителем, снабженным источником питания. Этот источник на рисунке не изображен.
Энергия, поступающая от источника питания, автоматически преобразуется в автоколебательной системе в энергию колебаний. В середине 40-х годов в качестве усилительных элементов в радиофизике использовались электронные лампы. Для этого случая и были К. Ф. Теодорчиком составлены уравнения генератора. В настоящее время в качестве усилительных элементов применяют отдельные полупроводниковые приборы (транзисторы) или интегральные схемы.
В данную задачу не входит конкретизация схемы усилителя У . В зависимости от этой конкретизации уравнения генератора могут в деталях измениться, что приводит иногда к усложнению решения задачи. Однако при этом принципиальные особенности решения сохраняются. Поэтому целесообразно наделить четырехполюсник У такими свойствами, которые в максимальной степени облегчают решение задачи об автоколебаниях. В радиотехническом плане эти свойства всегда могут быть реализованы.
В свете сказанного положим, что входное сопротивление четырехполюсника У бесконечно велико, так что входным током I можно пренебречь. Будем считать, что выходное сопротивление также бесконечно, так что по выходной цепи четырехполюсник может рассматриваться как генератор тока. Это значит, что ток I определяется только напряжением на входе
(1)
Зависимость сопротивления термистора R(T) от температуры аппроксимируем формулой
(2)
где - температура термистора в отсутствии тока I , т.е. температура окружающей среды, - постоянный размерный коэффициент. Ограничимся случаем слабой зависимости сопротивления термистора от температуры T , т.е. предположим, что выполняется строгое неравенство
(3)
так что R(T) всегда положительно.
Зависимость R(T) представляет инерционную нелинейность системы, так как сопротивление R(T) за период колебаний практически не меняется. Увеличение сопротивления R(T) с ростом температуры, вызванным увеличением размаха автоколебаний в конечном итоге лимитирует это увеличение. В реальной системе такое ограничение может быть одновременно вызвано безынерционной нелинейностью. Для ее учета можно принять, что зависимость (1) аппроксимируется следующим полиномом третьей степени (кубическая характеристика):
(4)
где и - постоянные коэффициенты.
Пользуясь при сделанных оговорках правилом Кирхгофа, получим для LC – контура уравнение
(5)
где
(6)
или
Исключим из (5) переменные I и I . Для этого воспользуемся равенством (6) и соотношениями
Одновременно введем обозначения Тогда вместо (5) получим
(7)
Для удобства расчета и анализа решения введем безразмерное время и следующие обозначения:
(7а)
(7б)
(7в)
В результате уравнение (7) заменяется следующим
(8)
В этом уравнении множитель учитывает ограничение колебаний инерционной, а множитель - безынерционной нелинейностью системы. Полагая в (8) , т.е. пренебрегая безынерционной нелинейностью (считая четырехполюсник У линейным) получаем одно из уравнений генератора с инерционной нелинейностью. Для полного описания автоколебаний в этом генераторе надо составить второе уравнение, учитывающее процесс нагрева термистора током I , однозначно связанным с напряжением u . При этом надо учесть и естественное охлаждение термистора.
Итак, предположим, что рост амплитуды автоколебаний в генераторе, схема которого изображена на рисунке, ограничивается термистором при таких максимальных значениях u, для которых допустимо считать характеристику четырехполюсника У линейной. Это позволит считать Тогда уравнение (8) упрощается и принимает вид
(9)
Уравнение (9) содержит две переменные u и T, поэтому, к нему следует добавить уравнение, описывающее процесс нагревания и охлаждения термистора. Если принять что теплоотдача термистором подчиняется закону Ньютона, то уравнение теплового баланса можно записать в виде
(10)
Здесь m – масса вещества, из которого изготовлен термистор, q – удельная теплоемкость этого вещества, k – коэффициент теплоотдачи. Напомним, что принята аппроксимация
(2)
Первое слагаемое правой части (10) представляет тепловую энергию, поступающую в термистор при его нагреве за единицу времени, второе – потери терла за то же время.
Вводя безразмерное время учитывая, что и полагая для упрощения записи без нарушения общности , получим вместо (9)
, (11)
где точки означают дифференцирование по безразмерному времени Уравнения (9) и (11) составляют полную систему. Решение ее, однако, вызывает трудности. Поэтому ограничимся случаем выполнения неравенства
и пренебрежем вторым слагаемым правой части (11). Кроме того, введем обозначения
(12)
Тогда уравнения (9) и (11) заменяются следующей системой уравнений: (9a) и (11a)
В отличие от простейшего генератора с безынерционной нелинейностью – генератора Ван дер Поля, генератор с термистором описывается – двумя дифференциальными уравнениями, из которых одно (11a) является уравнением первого порядка. Это значит, что замена безынерционной нелинейности инерционной увеличивает число степеней свободы системы. Генератор с термистором является системой с двумя степенями свободы (переменные u и T ). Однако, учитывая, что уравнение (11a) является уравнением первого порядка и в тех случаях, когда инерционность велика и переменная T меняется медленно (бесконечно мало за период колебаний), такой простейший генератор с инерционной нелинейностью можно условно назвать системой с полутора степенями свободы.
Численный метод исчисления
Метод Рунге-Кутта
Этот метод позволяет строить схемы различного порядка точности. Схемы Рунге-Кутта сейчас являются наиболее употребительными в практических вычислениях.
Построим семейство схем второго порядка точности и на его примере разберем основные идеи метода. В качестве исходного выражения возьмем ряд Тейлора, удерживая в нем член , порядок которого равен предполагаемому порядку точности схемы. Чтобы избежать дифференцирования заменим производную разностью:
соответственно выбирая значения После такой замены второй член в ряде Тейлора можно формально объединить с первым, приведя ряд к следующему виду:
(13)
(поскольку это схема для расчета приближенного решения, снова употребляем обозначение вместо ). Здесь - параметры, значения которых следует определить. Рассматривая правую часть (13) как функцию от h, разложим ее в ряд по степеням шага
Выберем параметры так, чтобы это разложение было возможно более близко к ряду Тейлора. Очевидно, можно правильно передать два первых члена формулы Тейлора, если положить
Для определения четырех параметров получено только три уравнения, так что один параметр остается свободным. Выражая через остальные параметры и подставляя их в (13), получим однопараметрическое семейство двучленных схем Рунге-Кутта
(14)
Выбрать параметр так, чтобы схема (14) правильно передавала и третий член формулы Тейлора, невозможно.
Погрешность это схемы можно исследовать так же, как было сделано в п. 5 для схемы ломаных. При этом доказывается следующий результат. Если непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то решение, полученное по схеме (14), равномерно сходиться к точному решению с погрешностью т. е. двучленная схема Рунге-Кутта имеет второй порядок точности.
Формула (14) имеет неплохую точность и нередко используется в численных расчетах. При этом обычно полагают либо либо В первом случае получается схема особенно простого вида
(15)
Ее смысл поясняется рис.1
Сначала делаем половинный шаг по схеме ломаных, находя Затем в найденной точке определяем наклон интегральной кривой По этому наклону определяем приращение функции на целом шаге
Геометрическая интерпретация второго случая
(16)
изображена на соседнем рисунке. Здесь мы сначала грубо вычисляем по схеме ломаных значение функции и наклон интегральной кривой в новой точке. Затем находим средний наклон на шаге и по нему уточняем значение Схемы подобного типа нередко называют «предиктор – корректор».
Методом Рунге-Кутта можно строить схемы различного порядка точности. Например, схема ломаных есть схема Рунге-Кутта первого порядка точности. Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем. Приведем без вывода ту из них, которая записана в большинстве стандартных программ ЭВМ:
(17)
(при величинах и шаге h следует также ставить индекс сетки n, но для простоты записи его опускают).
Формулы более высокого порядка точности практически не употребляются. Пятичленные формулы имеют всего лишь четвертый порядок точности; шестичленные имеют шестой порядок, но слишком громоздки. Кроме того, высокий порядок реализуется лишь при наличии у правой части непрерывных производных соответствующего порядка.
Схемы Рунге-Кутта имеют ряд важных достоинств. 1) Все они (кроме схемы ломаных) имеют хорошую точность. 2) Они являются явными, т. е. значение вычисляется по ранее найденным значениям за определенное число действий по определенным формулам. 3) Все схемы допускают расчет переменным шагом; значит, нетрудно уменьшить шаг там, где функция быстро меняется, и увеличить его в обратном случае. 4) Для начала расчета достаточно выбрать сетку и задать значение далее вычисления идут по одним и тем же формулам. Все эти свойства схем очень ценны при расчетах на ЭВМ.
На случай систем уравнений схемы Рунге-Кутта легко переносятся. Например, для системы двух уравнений
(18)
обозначая через приближенные значения функции u(x), v(x), запишем аналогичную (17) четырехчленную схему следующим образом:
(19)
где
(20)
Далее приводится сведение исследуемой системы к виду удобному для использования метода Рунге-Кутта. Сделаем в 9(а) замену и рассмотрим систему:
(21)
Для решения этой системы используется схема для решения системы двух дифференциальных уравнений. Найденные за цикл значения A и u подставляют в схему для решения одного дифференциального уравнения:
, (22)
Таким образом, решение сводится к использованию метода Рунге-Кутта два раза. Сперва – схема для системы, потом использование результатов для решения одного уравнения.
Изучение поведения системы
Инерционность генератора с термистором характеризуется коэффициентом . Эта инерционность велика при условии, что нормированное значение (12) существенно меньше нормированного значения собственной частоты колебательного контура генератора, т. е.
(23)
В результате укорочения системы уравнений (9а) и (11а), например, методом усреднения получим
(9б) и (11б)
В процессе операции укорочения при выполнении условия (23) переменная T может считаться медленной. Поэтому в (9а) неизвестным остается множитель bT , а при укорочении (11а) достаточно вычислить среднее за период значение
равное (23б)
Определяемые при условиях и из (11б) и (23б) стационарные значения и выражаются
(24)
(25)
Исследуя эти значения на устойчивость по Ляпунову, т. е. полагая
(26)
где - малые отклонения от и , подставляя (26) в (9б) и (11б) и линеаризируя полученные уравнения, отбрасывая члены второго порядка малости, найдем окончательно, что
(27)
Аналогичный вид имеет уравнение для
Полагая решение (27) в виде получим характеристическое уравнение
(28)
корни которого
(29)
Анализ корней (29) позволяет выделить два варианта устойчивости стационарных значений (24) и (25).
1) При выполнении неравенства
(30)
подкоренное выражение (29) положительно и корни вещественны и отрицательны. Это значит, что стационарные значения и устойчивы и возвращение к ним после случайных малых отклонений происходит без осцилляций. Из (7а) видно, что для уменьшения значения нужно стремить начальное сопротивление цепи к величине , которая характеризует исследуемую цепь. Другими словами, это условие достигается когда активное сопротивление лишь на малую величину меньше отрицательного сопротивления, обусловленного положительной обратной связью. Также это условие может быть реализована при стремлении R к бесконечности, т. е. когда
становиться отрицательным либо просто равным нулю.
На Графике реализована первая ситуация, когда активное и отрицательное сопротивления сравнимы т. е. - мало, но положительно и удовлетворяет условию (30). Очевидно отсутствие осцилляций. Значение напряжения стремится к постоянной величине обусловленной устойчивостью . На Графике 1 величина а это иллюстрирует случай затухающих колебаний. При значения и нулевые. Значит и самовозбуждений не будет, - устойчиво.
На Графике 1 видно безосциляционное стремление температуры к значению , которое так же является устойчивым здесь. И далее приведена временная зависимость температуры для случая самовозбуждения.
Теперь рассмотрим второй вариант устойчивости стационарных значений:
2) Напротив, при выполнении неравенства
(31)
т. е. при достаточно малых значениях и большой инерционности нелинейности корни (29) комплексны и могут быть записаны как
(32)
где
(33)
Вещественная часть корней (32) отрицательна, что указывает на устойчивость и также и при выполнении неравенства (31). Однако мнимая часть показывает, что возвращение к стационарным значениям и после случайных малых отклонений происходит через осцилляции A и T. Круговая квазичистота этих осцилляций определяется формулой (33). Прослеживая аналогию с характером решения уравнений для лазера, назовем частоту частотой релаксационных колебаний.
Далее следует привести графические зависимости как напряжения, так и температуры, на которых можно будет пронаблюдать частоту релаксационных колебаний.
По этим данным, очевидно, что и температура и амплитуда напряжения вточности с теорией стремятся к постоянным значениям через осцилляции.
Рассматривая два варианта устойчивости стационарных значений и , были показаны случаи соответствующие разным значениям , но все они касались либо малых значений, либо отрицательных. Пробуя проанализировать состояние системы при больших , видно, что предельным случаем является сверхпроводимость т. к. этот коэффициент в той или иной степени есть строгая функция от , то по (7а) максимально значение достигает при .
Следует проследить динамику преобразований с увеличением . Налицо изменение частоты релаксационных колебаний.
Теперь перейдем к рассмотрению вариантов связанных с изменением коэффициента b.
Из Графиков 7 и 8 видно, что параметр b являет собой ограничивающий колебания. С увеличением его происходит постепенное уменьшение максимальных значений, пределов изменений, исследуемых параметров. Коэффициент b является функцией от постоянного размерного коэффициента , связывающего сопротивление с температурой. Чем больше этот коэффициент, а следовательно и b, тем сильнее зависимость сопротивления системы от температуры. А значит, система резче реагирует на изменение температуры.
Далее нужно обратить внимание на поведение системы при варьировании инерционности генератора, коэффициента С уменьшением коэффициента инерционность системы увеличивается, а при увеличении коэффициента – инерционность уменьшается.
Очевидно, что даже незначительное изменение коэффициента ведет за собой ощутимое изменение инерционности системы. Если инерционность возрастает, значит увеличивается время осцилляций, если убывает – то время осцилляций соответственно уменьшается. Исходя из (12) - функция коэффициента теплоотдачи k. Этот коэффициент отвечает за интенсивность охлаждения термистора.
Рассмотрим на примере генератора с термистором особенности энергетического баланса в ГИН. В силу медленности изменения переменной T коэффициент при в уравнении (9a) в течение периода колебаний практически не меняется и для стационарных значений и равен нулю
Это значит, что в стационарном режиме генерации ГИН в определенном приближении эквивалентен линейному осциллятору без трения.
Это, однако, не дает основания считать форму автоколебаний в ГИН строго гармонической. Как бы велика ни была инерционность нелинейности генератора, коэффициент при в (9a) лишь в среднем за период колебаний равен нулю. Строгое равенство нулю этого коэффициента может иметь место лишь при бесконечной инерционности нелинейности, т.е. при . Но в этом случае переходные процесс установления автоколебаний в ГИН будут длиться бесконечно долго. Таким образом, не проводя детального анализа, мы можем лишь заключить, что отклонения коэффициента в течение периода колебаний от нуля существенно меньше, чем аналогичные отклонения в генераторе с безынерционной нелинейностью и что по этой причине форма автоколебаний в ГИН ближе к гармонической, чем в генераторе с безынерционной нелинейностью.
Заключение
Меньшее содержание гармоник в стационарных автоколебаниях ГИН, чем в безынерционном генераторе впервые отметил К. Ф. Теодорчик. Он, однако, не обратил внимание на то обстоятельство, что при увеличении инерционности ГИН увеличиваются времена установления стационарных колебаний и переходные процессы сопровождаются резкими выбросами амплитуды автоколебаний, получившими в лазерной физике название пичкового режима. Это свойство ГИН следует рассматривать как отрицательное в тех случаях, когда речь идет о создании генераторов сигналов почти гармонической формы. В то же время оно может быть использовано при необходимости генерации коротких радиоимпульсов, пиковая мощность которых на несколько порядков превышает среднюю мощность колебаний. Именно это свойство ГИН лежит в основе широко известных режимов работы лазеров, получивших название режимов генерации гигантских импульсов.
ГИН с термочувствительными сопротивлениями нашли применение при создании радиотехнических генераторов электрических колебаний различных диапазонов частот. В таких генераторах, однако, трудно регулировать инерционность нелинейности, задаваемой значением .
Литература
1. Капцов Л. Н. Дополнительные главы курса «Колебания и волны». Динамический хаос в радиогенераторах и лазерах. М.: Издательство московского университета, 1990.
2. Ландсберг Г. С. Оптика. М.: Наука, 1976.
3. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980.
4. Андронов А. А. , Витт А. А. , Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.
5. Мигулин В. В. , Медведев В. И. , Мустель Е. Р. , Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1986.