Полный текст:
Дифференциальные уравнения
Зад.1 Общее решение дифференц.уравнения
Сначала ищем решение однородного уравнения xy'-2y=0 Разделяем переменные
Dy/y=2dx/x Интегрируем обе части равенства
Ln|y|=2ln|x|+C1 вносим С1 как множитель под знак log
Y=Cx2
Решение исходного неоднородного уравнения ищем методом вариации постоянных,
Т.е в виде y=C(x)x2 Дифференцируя имеем y’=C’x2 +2Cx
Подставив в исходное уравнение имеем
Откуда C’=-1/x или интегрируя С(x)=-ln(|x|)+C1=-ln(|C2*x|)
Получим общее решение исходного уравнения в виде
Зад.11
Общее решение дифференциального уравнения 2 порядка (1)
Замена переменных z=y' (1) переходит в уравнение:
Z’xlnx-z=0 (2)
Разделяем переменные :
Интегрируем обе части равенства:
lnZ=ln(lnx+C1)=ln(Clnx) после потенцирования: получим
z=Clnx или исходное уравнение свелось к
y'=Clnx (3)
или dy=Clnx*dx (4)
интеграл берём интегрированием по частям
u=lnx dv=dx откуда du=dx/x v=x
Подставив в (4) получим окончательное решение
Y=C(x-1)lnx+C1 (5)
Зад.31
Частное решение дифференц.уравнения y''-3y'-4y=17sinx Начальн.усл. y(0)=4 y’(0)=0
А)ищем общее решение однородного дифференц.уравнения в виде Yo=Cept
После подстановки однородное дифференци.уравнение сводится к характеристическому:
P2-3p-4=0 или (p-4)(p+1)=0
P1=4, p2=-1 Общее решение однородного уравнения:
Yo(t)=C1*exp(p1t)+C2*exp(p2t)=C1*exp(4t)+C2*exp(-t)
Частное решение исходного уравнения ищем в виде
Y(t)=A1cosx+A2sinx Y’=A2cosx-A1sinx Y’’=-A1cosx-A2sinx
Подставляя эти выражения в исходное уравнение после приравнивая коэффициентов при sinx к 17
И при cosx к 0 получим систему 2 линейных уравнений:
-A1 -3A2-4A1=0 или 5A1=-3A2 A1=-0.6A2 (*)
-A2 +3A1-4A2=3A1-5A2=17 (**)
Исключая A1 из (**) имеем: -1.8A2-5A2=-6.8A2=17 A2=-17/6.8=-2.5
A1=-0.6A2=(-0.6)(-2.5)=1.5
Частное решение Yч=1.5cosx-2.5sinx
Общее решение – сумма 2 найденных решений:
Y(x)=Yч(ч)+Yo(x)= 1.5cosx-2.5sinx + C1*exp(4t)+C2*exp(-t)
Зад.41
Система уравнений
Dx/dt=x-3y dy/dt=3x+y
1)определение общего решения:
Матрица коэффициентов
В матричном виде уравнение имеет вид:
где вектор
Характеристическая матрица:
Определяем корни характеристического уравнения (собственные частоты) приравняв определитель к 0:
0=Det=(p-1)2+3*3==(p-1)2+9
Корни уравнения комплексные
Общее решение имеет вид где Ci,Dj – комплексные или
- возрастающие по амплитуде колебания
Зад.51
Уравнение кривой у которого отрезок касательной делится пополам и проходящей через т.(3;1)
Обозначем P(x1,y1) – текущую точку кривой
По условию, касательная проходит также через точку A(x0,y0) где x0=0, y0=0.5y1
Коэффициент наклона касательной =производной а также определяется по ф-ле аналитической геометрии:
Освобождаясь от индекса 1 получаем дифференциальное уравнение кривой:
разделяя переменные, получим:
Dy/y=-0.5dx/x
Интегрируя обе части имеем:
Ln(y)=-0.5lnx+C1=
Откуда
C определим из начального условия y(3)=1 или откуда
Ответ
Зад.61
Исследование сходимости рядов
А)
Член ряда An>=Bn=1/n ряд Bn – гармонический он расходится например, согласно интегральному признаку т.к
Следовательно и исходный ряд расходится
Б)
Это знакопеременный ряд покажем что . При n>10 имеем
Член ряда меньше члена геометрической прогресс, у которой член ряда стремится к 0
Следовательно и наш ряд – знакопеременный и его члены стремятся к 0. По признаку Лейбница исходный ряд сходится.
Зад.71
Область сходимости степенного ряда
Обозначим q=(x-2)/2
Исходный ряд – геометрическая прогрессия с знаменателем q. Область сходимости любой прогрессии –интервал (-1 <q<1) (На концах не сходится – нет убывания).
Решая неравенство -1 <q=(x-2)/2 <1 получим ответ 0<x<4
Зад.81
Вычислить с помощью рядов:
А)
Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=1.
Интервал для целей задачи (1-0.3, 1+0.3)
где
Остаточный член ряда Тейлора:
Для x=1,3 (1)
Отсюда получим оценку остаточного члена ряда Тейлора
Подберём число членов ряда n из условия |Sn|<eps=0.001
Т.к производная при увеличении порядка в т.x=1меняет знак, то {bn } – знакопеременная
И требуемая точность будет достигнута при том n когда bn <0.001
cчитаем частичные суммы и {bn } рекуррентно:
S0=b0=1 y’(1)= 0.5 b1=0.5*0.3/1!=0.15 S1=S0+b1=1+0.15=1.15
b2= b1*(-0.5)(0.3)/2=0.15*(-0.15)/2=-0.01125 S2=S1+b2=1.15-0.00125=1.13875
b3=b2*(-0.5)(0.3)/3=(-0.01125) *(-0.05)=0.00056 S3=S2+b3=1.13875-0.00056 = 1.1382
при n=3 b3 <eps=0.001 и требуемая точность достигнута
Б)
Разложим cos(x) в ряд Тейлора в точке x=0
(1)
т.к производная любого порядка то остаточный член для интервала (0; 0.2)
(2)
чтобы получить подинтегральное выражение умножим ряд (1) на получим ряд
(3)
а новый остаточный член
погрешность интегрирования dIn=Sn*0.2=
S1<=So*0.2/1=0.08944*0.2=0.0179 S2<=S1*0.2/2=0.0179*0.1=0.00179
S3<=S2*0.2/3= 0.00179*0.2/3=0.00012 <eps=0.001
При n=3 требуемая точность достигнута
Интегрируем сумму 3 членов ряда 3
=0.05963-0.00051+0.000001=0.059
Т.к ряд знакопеременный, требуемая точность была достигнута уже при n=2
Зад.91
K=3 первых членов разложения в степенной ряд решения уравнения
y(0)=0.5 (1)
Берём 1-е 4 члена разложения в ряд решения:
Y=a0+a1x+a2x2+a3x3 (2)
Y’=a1+2a2x+3a3x2 (3)
Из начального условия: y(0)=0.5=a0
Подставив (2), (3) в (1) имеем
3a3x2 + 2a2x +a1 =x3+( a0+a1x+a2x2+a3x3)2 =
(отбрасываем члены с x4 )
=x3(1+2a1a2)+x2(a12+2a0a2)+x2a0a1+a02
приравнивая коэффициенты при свободном члене и 1 степени x в левой и правой части имеем
a1=a02=0.52=0.25
2a2=2a0a1=a1 откуда a2=0.5a1=0.5*0.25=0.125
итак, Y=0.5+0.25x+0.125 x2+…
Зад.101
Разложение в ряд Фурье на интервале (-п,п) периодической c T=2п функции y=x2
Ряд фурье для функции с периодом 2п
(1)
Наша функция –чётная поэтому bk=0
(2)
находим интеграл I интегрированием по частям
где u=x2 dv=cos(kx)dx
du=2xdx v=-sin(kx)/k
(3)
интеграл I1 также находим интегрированием по частям
u=x dv=sin(kx)dx откуда
du=dx v=-cos(kx)/k
(4)
подставив (4) в (3) получим
значение определённого интеграла
(если k нечётное)
и =0 если к – чётное
соответственно (если k нечётное)
ak=0 если к чётное