Полный текст:
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Вариант №1
Решить системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
№1
Решение:
Составим расширенную матрицу системы:
.
С помощью элементарных алгебраических преобразований приведем её к ступенчатому виду:
Четвертой строке последней матрицы соответствует уравнение (значение неизвестной ). Подставим это значение в первые три уравнения системы, после чего переменная исчезнет, т.е. получим нули в четвертом столбце в первой, второй и третьей строках:
Получаем , подставляем это значение в первые две строки:
,
отсюда , подставляем это значение в первую строку.
,
.
Записав последнюю матрицу в виде уравнений, получим: , , , . Система имеет единственное решение: .
Ответ: единственное решение: .
№2
Решение:
Составим расширенную матрицу системы:
.
Поменяем местами первую и вторую строки:
С помощью элементарных алгебраических преобразований приведем полученную матрицу к ступенчатому виду:
.
Третьей строке последней матрицы соответствует уравнению: , которое не имеет решения. Значит и система не имеет решения.
Ответ: система не имеет решения.
№3
Решение:
Составим расширенную матрицу системы:
.
С помощью элементарных алгебраических преобразований приведем её к ступенчатому виду:
.
В последней матрице имеются три одинаковые строки, удалим две из них:
.
Запишем систему, соответствующую последней матрице:
Последняя система описывает общее решение исходной системы. В этом решении неизвестные и могут принимать любые значения, поэтому система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений. Если придать и конкретные значения, то получится частное решение, например, , , тогда , .
Ответ: бесконечное множество решений, общее решение