Полный текст:
1. В течение года три фирмы имеют возможность обанкротиться независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,02; 0,05; 0,04. Какова вероятность того, что в конце года все фирмы будут функционировать?
Дано:
;
;
.
Найти: P.
Решение:
- вероятность, что к концу года первая фирма не обанкротится.
- вероятность, что к концу года вторая фирма не обанкротится.
- вероятность, что к концу года третья фирма не обанкротится.
Искомая вероятность:
Ответ:
2. На наблюдательной станции установлены три радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели первым локатором равна 0,86; вторым – 0,7; третьим – 0,9. Оператор случайным образом включает один из локаторов и обнаруживает цель. Какова вероятность того, что был отключен второй локатор?
Решение:
Воспользуемся формулой Байеса, которая позволяет находить апостериорные вероятности. Формула Байеса:
,
Для нашей задачи:
n=3 (три радиолокатора),
(вероятность, что был включен первый локатор),
(вероятность, что был включен второй локатор),
(вероятность, что был включен третий локатор),
=0.86 (вероятность обнаружения цели первым локатором),
=0.7 (вероятность обнаружения цели вторым локатором),
=0.9 (вероятность обнаружения цели третьим локатором),
-вероятность, что в случае, когда цель обнаружена был включен второй локатор.
.
Искомая вероятность, что второй локатор был отключен, вычисляется по формуле:
Ответ:
3. Книга из 500 страниц имеет 40 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не более одной опечатки?
Дано:
S=500 (количество страниц);
n=40 (количество опечаток).
Найти: - вероятность, что на случайной странице опечаток не более одной.
Решение:
Количество различных комбинаций распределения n опечаток на S страницах:
.
Найдем количество состояний N(m=0) удовлетворяющих наличию на случайной странице ни одной опечатки. В этом случае все n опечаток должны находиться на оставшихся S-1 страницах. Число состояний:
.
Найдем количество состояний N(m=1) удовлетворяющих наличию на случайной странице одной опечатки. В этом случае оставшиеся n-1 опечатки должны находиться на оставшихся S-1 страницах. Число состояний:
.
Искомая вероятность рассчитывается по формуле:
.
Ответ:
4. Дана плотность распределения вероятности р(х).
Требуется: 1. определить значение параметра а;
2. найти функцию распределения F(x);
3. найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х);
4. построить графики р(х) и F(x).
Решение:
1. Параметр a определим из свойства плотности вероятности:
=>
=> .
2. Функция распределения:
3. Математическое ожидание:
.
Дисперсия:
.
4. Построим графики p(x) и F(x).
График плотности распределения вероятности p(x):
График функции распределения F(x):
Ответ:
1. ;
2.
3. ; .
5. СВ Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением .
Требуется:
1. записать , ;
2. найти ;
3. найти .
№ задачи
а
112
4,7
2,8
1,2
7,3
4,9
Решение:
1. При нормальном законе распределения плотность вероятности имеет вид:
.
В частности, при и :
Функция распределения при нормальном распределении:
.
В частности при и :
.
2. Найдем , то есть вероятность, что значение случайной величины окажется в интервале ; =1.2, =7.3.
= ,
где функция – интеграл ошибок (неаналитическая функция, значения которой определяются из таблиц).
Из таблицы ; .
Таким образом, .
3. Найдем , то есть вероятность, что значение случайной величины окажется в интервале ; , .
.
Ответ: ;