Полный текст:
Задача 1.1 На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции Пi (i=1,n). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, P2, P3. Размеры прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход i-го ресурса ( i = 1,3 ) на единицу продукции j- го вида составляет aij ед. Цена единицы продукции j-го вида равна cj ед. Сформулировать в экономических терминах двойственную задачу и составить ее математическую модель. Раскрыть экономический смысл всех переменных, участвующих в решении задачи. Требуется: 1) симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход; 2) используя решение исходной задачи и соответствие между двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной задачи – двойственные оценки ресурсов yi* (i = 1,3); 3) указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется; 4) с помощью двойственных оценок yi* обосновать эффективность оптимального плана, сопоставив оценку израсходованных ресурсов .min и максимальный доход Zmax от реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно; 5) оценить целесообразность приобретения .bk единиц ресурса Pk по цене ck; 6) установить, целесообразно ли выпускать новую продукцию Пl, на единицу которой ресурсы Р1, P2, P3 расходуются в количестве a11, a21, a31, а цена единицы готовой продукции составляет р1. Решение: Составим математическую модель прямой задачи: Пусть х1 – план выпуска П1, х2 – П2, х3 – П3. Необходимо найти такой план, который максимизирует прибыль при ограничениях на ресурсы: . . .. . .. .. . .. . .. . . . . . 0 2 5 244 3 3 210 4 2 180 10 14 12 max 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 i x x x xx x xx x x x x x Сформулируем двойственную задачу: Какова должна быть оценка единицы каждого ресурса yi, чтобы при заданных параметрах bj, ci, aij минимизировать общую оценку затрат на все ресурсы. Пусть y1 – оценка стоимости ресурса Р1, y2 – P2, y3 – P3. Целевая функция – оценка стоимости всех ресурсов. Каждое ограничение – условие, что оценка ресурсов не меньше, чем их цена. Тогда математическая модель двойственной задачи имеет вид: . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . 0 3 5 12 2 2 14 4 3 10 180 210 244 min 1 2 31 2 31 2 3 1 2 3 i y y y yy y yy y y y y y 1) симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход; Приведем математическую модель прямой задачи к стандартному виду. Введем дополнительные переменные S1, S2, S3 – величины неиспользованных ресурсов для замены ограничений-неравенств ограничениями равенствами и заменим максимизацию на минимизацию (домножением на -1): . . .. . .. . . . . . .. . . .. . . .. . . . 0, 0 2 5 244 3 3 210 4 2 180 10 14 12 min 1 2 3 31 2 3 21 2 3 11 2 3 i i x s x x x sx x x sx x x sx x x Составляем начальную симплекс-таблицу: Базис Значение x1 x2 x3 s1 s2 s3 s1 180 4 2 1 1 0 0 s2 210 3 1 3 0 1 0 s3 244 1 2 5 0 0 1 -z 0 -10 -14 -12 0 0 0 Нижняя строка содержит отрицательные значения, значит, план не оптимален. Минимальное значение -14, следовательно, переменную х2 следует ввести в базис. Определим переменную, которую нужно вывести из базиса: min.90,210,122. 90 2 , 244 1 , 210 2 min 180 . . ... ... , что соответствует первой строке таблицы, т.е. переменную S1 выводим из базиса. Составим новую симплекс-таблицу, осуществив пересчет по формулам: Для ведущей строки (строка, соответствующая переменной, выводимой из базиса, в нашем случае первая): ks ij ij aa a . , где ks a - коэффициент, стоящий на пересечении ведущей строки и ведущего столбца (столбец, соответствующий переменной, вводимой в базис). Т.е. новые значения получаются делением старых на ks a . Для всех остальных строк (включая строку –Z): ks is kj ij ij a a a a a . . . - так называемое правило прямоугольника. Получаем новую таблицу: Базис Значение x1 x2 x3 s1 s2 s3 x2 90 2 1 1/2 1/2 0 0 s2 120 1 0 2 1/2 - 1/2 1 0 s3 64 -3 0 4 -1 0 1 -z 1260 18 0 -5 7 0 0 Полученный план не является оптимальным. Отрицательное значение находится в столбце, соответствующем переменной х3, поэтому вводим х3 в базис. Определим переменную для вывода из базиса: min.180,48,16. 16 4 , 64 2 min 90 ,12021 2 1. . . .. . . .. . . Таким образом, из базиса следует вывести переменную S3. Составляем новую симплекс-таблицу по соответствующим формулам: Базис Значение x1 x2 x3 s1 s2 s3 x2 82 2 3/8 1 0 5/8 0 - 1/8 s2 80 2 7/8 0 0 1/8 1 - 5/8 x3 16 - 3/4 0 1 - 1/4 0 1/4 -z 1340 14 1/4 0 0 5 3/4 0 1 1/4 Нижняя строка не содержит отрицательных значений, следовательно, получившийся план оптимален. План выпуска продукции: П1 – 0 единиц, П2 – 82 единицы, П3 – 16 единиц. При этом суммарная стоимость произведенной продукции составит 1340 ден.ед. 2) используя решение исходной задачи и соответствие между двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной задачи – двойственные оценки ресурсов yi (i = 1,3) Двойственные оценки y1, y2, y3 получим из нижней строчки последней симплекс-таблицы: 4 , 0, 11 45 3 1 2 3 y . y . y . . 3) указать наиболее дефицитный и недефицитный (избыточный) ресурс, если он имеется Первый и третий ресурс использованы полностью (S1 и S3 равны 0), второй оказался избыточен (S2=80). Наиболее дефицитный – первый ресурс (оценка у1 максимальна), недефицитный – второй. 4) с помощью двойственных оценок yi обосновать эффективность оптимального плана, сопоставив оценку израсходованных ресурсов .min и максимальный доход Zmax от реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно Проверим эффективность производства каждого вида продукции: П1: 10 424 1 423 0 11 43 0 1 11 44 .5 3 . . . . . . . . . П2: 14 14 20 2 1 2111 41 0 2 11 42 .5 3 . . . . . . . . . П3: 12 12 40 6 1 45 3 43 0 5 11 41. 5 3 . . . . . . . . . Оценки ресурсов при производстве П2 и П3 равна стоимости, следовательно, П2 и П3 производить выгодно. Оценка ресурсов при производстве П1 больше стоимости, значит, П1 производить невыгодно. 5) оценить целесообразность приобретения 7 единиц ресурса 1 по цене 5; Т.к. оценка первого ресурса 4 5 3 1 y . больше предлагаемой цены 5, то приобретение целесообразно. 6) установить, целесообразно ли выпускать новую продукцию П4, на единицу которой ресурсы Р1, P2, P3 расходуются в количестве 4, 5, 8, а цена единицы готовой продукции составляет 30. Проверим эффективность производства П4: 23 0 10 33 45 0 8 11 44 .5 3 . . . . . . . . Получившаяся оценка 33 больше цены единицы готовой продукции 30, следовательно, производство П4 нецелесообразно.