Полный текст:
Контрольная работа № 1
Элементы линейной алгебры
7. Даны матрицы и . Найти и .
, .
Решение:
;
17. Дана система линейных уравнений. Требуется решить систему:
1) по формулам Крамера;
2) методом Гаусса;
3) средствами матричного исчисления, т.е. используя обратную матрицу.
Решение:
1) Решаем систему по формулам Крамера:
.
Найдём главный определитель системы :
Найдём вспомогательные определители:
Найдём решение системы, используя формулы Крамера:
2) Решаем эту же систему методом Гаусса.
Запишем расширенную матрицу системы:
Первую строку переписываем без изменений. Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 3. Из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 2. Этим мы добились того, что под элементом первой строки и первого столбца стоят нули.
Матрицу перепишем в виде:
Первую строку переписываем также без изменений. Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на 5.
Из третьей строки вычитаем вторую:
Привели матрицу к ступенчатому виду. По полученной матрице записываем систему уравнений:
Из третьего уравнения системы получим . Подставляя найденное значение во второе уравнение, находим :
Подставляя найденные значения в первое уравнение, находим :
3) Решаем систему матричным способом.
Введём матрицы:
Систему можем записать в матричном виде , откуда .
Найдем обратную матрицу к матрице .
Определитель матрицы матрица имеет обратную матрицу . Для нахождения присоединенной матрицы вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .
Запишем алгебраические дополнения для элементов первой строки матрицы :
Запишем алгебраические дополнения для элементов второй строки матрицы :
Запишем алгебраические дополнения для элементов третьей строки матрицы :
Тогда присоединенная матрица
Обратная матрица .
.
Таким образом, решение системы
27. Дана система линейных уравнений:
Требуется найти все решения системы методом Гаусса.
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы:
Первую строку переписываем без изменений. Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 3. Из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 4. Из четвертой строки вычитаем первую, умноженную на 2. Этим мы добились того, что под элементом первой строки и первого столбца стоят нули.
Записываем систему уравнений, при этом третье и четвертое уравнения можно отбросить:
Число уравнений (два) меньше числа неизвестных (четыре), значит, система уравнений совместна, но имеет бесконечное множество решений.
Пусть - свободные переменные, т.е. принимают любые значения. Выразим через :
Пусть . Тогда .
- одно из решений.
37. Дана система линейных уравнений:
Требуется найти все решения системы методом Гаусса или доказать её несовместность, решая методом Гаусса.
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы:
Первую строку переписываем без изменений. Из второй строки вычитаем первую, умноженную на 3. Из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 2. Этим мы добились того, что под элементом первой строки и первого столбца стоят нули.
Из третьей строки вычитаем вторую:
По полученной матрице записываем систему уравнений:
Третье уравнение системы не имеет смысла. Таким образом, система не имеет решений, т.е. несовместна.
Ответ: система несовместна.
Контрольная работа № 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
47. Даны координаты точки и уравнение прямой .
Требуется:
1) составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
2) составить уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно прямой ;
3) изобразить на чертеже точку и прямые , , .
Решение:
1) Составим уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой .
Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Прямая , значит, . Для составления уравнения прямой используем уравнение , где точка принадлежит прямой , .
Уравнение прямой :
или
2) Составим уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Прямая , поэтому .
Используя уравнение , составим уравнение прямой :
3) Сделаем чертёж:
x
0
2
y
-3
0
прямая
прямая :
x
0
1
y
-4,5
-3
Прямая :
x
-1
1
y
-3
57. Даны координаты вершин треугольника .
Требуется:
1) найти угла между прямыми и , используя угловые коэффициенты прямых;
2) составить уравнение высоты и найти её длину;
3) составить уравнение медианы ;
4) сделать чертёж в декартовой системе координат(высоту и медиану строить по двум точкам).
Решение:
1) угла между прямыми находится по формуле:
,
где -угол между прямыми и .
Найдем коэффициенты .
Для составления уравнений прямых и воспользуемся уравнением .
Составим уравнение прямой , проходящей через точку и точку .
Уравнение прямой :
.
Окончательно,
Запишем уравнение в угловых коэффициентах: ,
Аналогично составляем уравнение прямой , проходящей через точку и точку .
Уравнение прямой :
.
Окончательно,
Уравнение в угловых коэффициентах: ,
2) Составим уравнение высоты как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Уравнение высоты будет иметь вид:
, где - координаты точки , - угловой коэффициент прямой .
Уравнение высоты :
.
Длину высоты найдем как расстояние от точки до прямой по формуле ,
.
3) Для составления уравнения медианы найдем точку как середину отрезка :
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки, и :
.
Уравнение
.
4) Построим треугольник
высоту
x
0
2
y
-2
2
медиану
x
-4
-2
y
0
-7
67. Привести уравнения кривых к каноническому виду:
а)
б)
в)
Найти координаты центра и параметры для эллипса и гиперболы; координаты вершины и параметр для параболы. Сделать чертёж в декартовой системе координат (без переноса осей координат).
Решение:
а) Разделим обе части на 16:
.
Это эллипс с центром в точке и полуосями .
б)
Обе части разделим на 36:
- гипербола с центром
в)
Сгруппируем члены, содержащие :
- парабола с центром в точке .
77. На трёх векторах , исходящих из общего начала, построена пирамида. Требуется найти:
1) проекцию вектора на направление вектора ;
2) площадь грани, построенной на векторах и (площадь треугольника);
3) объем пирамиды, построенной на векторах ;
4) длину медианы треугольника, построенного на векторах и , исходящей из общего начала векторов.
Решение:
1)
2) Грань, построенная на векторах и - это треугольник, площадь его равна площади параллелограмма, площадь параллелограмма же равна модулю векторного произведения и :
(кв.ед.).
(кв.ед.).
3) Объем пирамиды, построенной на векторах равен половине объема параллелепипеда, построенного на векторах :
87. Задана прямая ( ): и точка . Требуется составить:
а) канонические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
б) общее уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Решение:
а) Уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой , имеет вид:
;
б) Плоскость, проходящая через точку и перпендикулярная к прямой ( ): имеет нормальный вектор и представляется уравнением
Контрольная работа № 3
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
97. Требуется вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя и не используя эквивалентные бесконечно малые.
а) ,
б) ,
в) ,
г) ,
д) .
Решение:
а)
Имеем неопределенность вида . Для раскрытия неопределенностей вида следует каждое слагаемое числителя и каждое слагаемое знаменателя разделить на наибольшую степень многочленов, стоящих в числителе и знаменателе. Разделим на :
так как
б)
Числитель и знаменатель данной дроби обращается в нуль при , т.е. имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо разложить числитель и знаменатель на линейные множители по формуле:
и сократить на бесконечно малый, но отличный от нуля, множитель .
Следовательно,
.
в)
Неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, умножим числитель и знаменатель на выражение , сопряженное знаменателю:
г)
Так как мы имеем неопределенность вида и тригонометрические функции, то можем использовать первый замечательный предел:
или
д)
Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела:
.
107. Требуется исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва, указать характер разрыва. Сделать схематический чертеж.
Решение:
- точки разрыва.
Исследуем характер разрыва:
- точка разрыва 1 рода
- точка разрыва 2 рода
117. Требуется найти производные функции:
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
Решение:
а)
Воспользуемся формулой
;
б)
Воспользуемся формулами:
;
в)
Воспользуемся формулами:
;
г)
Воспользуемся формулами:
127. Требуется найти производные неявной и параметрической функций.
а) ;
б) .
Решение:
а)
Данное равенство задаёт как неявную функцию от . Чтобы найти производную неявной функции , продифференцируем равенство, рассматривая как функцию от , получим:
Из полученного уравнения найдём :
.
б) .
Найдем производную первого порядка по формуле :
137. Требуется вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.
.
Решение: