СОДЕРЖАНИЕ
1.
Квадратные
уравнения и способы их решения.
2.
Квадратичная
функция.
3.
Графическое
решение квадратичной функции.
4.
Способы решения
графической квадратичной функции.
5.
Графическое
решение неравенств второй степени.
Квадратные уравнения
Уравнения вида (1), где -
действительные числа, причем , х – переменная, называют
квадратным уравнением. если , то квадратное уравнение
называют приведенным. Если а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным.
Если , то квадратное уравнение называют
неприведенным. Числа носят следующие названия: а -
коэффициент первый, в - второй коэффициент, с - свободный член.
Корни уравнения находят по формуле
(2)
Выражение называют дискриминантом
квадратного уравнения (1)
1. Если , то
уравнение (1) не имеет действительных корней;
2. Если , то
уравнение (1) имеет один действительный корень;
3. Если , то
уравнение (1) имеет два действительных корня.
В случае, когда , иногда говорят, что квадратное уравнение
имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение , можно переписать формулу (2) в виде
Если , то формула (2) принимает вид:
Итак, , где (3)
Формула (3) особенно
удобна в тех случаях, когда - целое число, т.е.
коэффициент – четное число.
Пример. Решить уравнение .
Здесь = 2, = -5, = 2. Находим = . Так как , то
уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле(2): ;
Итак, ; ,
т.е. х1 =2, х2 = ½ - корни заданного уравнения.
Ответ: 2, ½
Пример. Решить уравнение х2 – 6х
+ 9 = 0. Здесь а = 1, в = -6, с = 9. Т.к. в = 6 – четное число, то
воспользуемся формулой (3). Находим , т.е. х = 3 – корень
уравнения. Ответ: х = 3
Пример. Решить уравнение 2х2 –
5х + 2 = 0
Здесь а = 2, в = -3, с =
5. Находим Д = в2 – 4ас = (-3)2 – 4*2*5 = 9 - 40 = - 31.
Так как Д 0 то уравнение не имеет действительных
корней.
Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении ах2
+ bх + с = 0 второй коэффициент в или
свободный член с равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.
Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не
пользоваться формулой корней квадратного уравнения – проще решить его методом
разложения его левой части на множители.
Пример. Решить уравнение 2х2 –
6х = 0
Имеем 2х(х – 3) = 0.
Значит, либо х = 0, либо х – 3 = 0, т.е. х = 3. Уравнение имеет два корня х =
0, х = 3.
Ответ: х = 0, х = 3.
Графическое решение квадратных
уравнений
На практике довольно
часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается
в следующем: для решения уравнения f(х) = 0 строят график функции y = f(х) и
находят абсциссы точек пересечения грфика с осью ОХ, эти абсциссы и являются
корнями уравнения. Так как для решения уравнения ах2 + bх + с = 0 достаточно построить график
квадратичной функции у = ах2 + bх + с и найти точки пересечения
этого графика с осью ОХ.
График квадратичной функции
Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать
формулой у = ах2 + bх + с, где а, в, с – любые действительные числа,
причем а. Графиком функции у = ах2 + bх +
с, где а, является парабола. Для ее построения
используют три способа.
Первый способ. Это способ отыскания координат вершины
параболы по формулам ;
Рассмотрим этот способ на примере.
Построим график функции у = 2х2 – 4х + 1.
Решение. Здесь а = 2, b = -4, с = 1. Значит,
Итак, (1, -1) – вершина параболы. Для построения графика надо
знать координаты еще нескольких точек
Отметив вершину параболы, полученные точки и точки,
симметричные им относительно оси параболы, строим требуемый график. Так как а =
20, то ветви параболы направлены вверх
(рис.1).
Заметим, что запоминать формулы координат вершины параболы не
следует. Достаточно воспользоваться тем, что если х0 – абсцисса
вершины параболы, то в этой точке у1(х0) = 0. Из
уравнения (ах2 + bх +
с) = 0, т.е. 2ах + b = 0, находим:
- абсцисса вершины параболы.
Рисунок 1.
У
7
6
5
4
3
2
1
-1 1 2 3
4 Х
Второй способ. Это способ построения параболы по точкам с
ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена ах2 + bх + с. Рассмотрим этот способ на примере.
Построим график функции у = х2 - 4х + 5.
Решение. Найдем точки графика, имеющие ординату, равную
свободному члену квадратного трехчлена, т.е. равную 5. Для этого решим
уравнение: х2 - 4х + 5 = 5. Имеем х2 – 4х = 0, х(х-4) =
0, откуда х1 = 0, х2 = 4.
Итак, мы нашли две точки графика А
(0; 5) и В (4; 5). Отметим их на координатной плоскости. Точки А, В лежат на
параболе и имеют одинаковую ординату. Значит, точки А, В симметричны
относительно оси параболы, а потому ось симметрии проходит перпендикулярно
отрезку АВ через его середину (рис. 2).
Так как абсцисса точки А равна нулю, а абсцисса точки В равна
4, то уравнение оси параболы: х = 2. Подставив значение х = 2 в формулу у = х2
- 4х + 5, получим у = 4 – 8 + 5 = 1. Значит, вершина параболы С имеет
координаты х0 = 2, у0 = 1. Отметив на координатной
плоскости точку С (2; 1) построим параболу, проходящую через три точки А, В, С.
Это и будет график функции у = х2 - 4х + 5.
Рисунок 2.
У
А В
4
3
2
1 С
0 1 2 3 4 х
Третий способ. Построение параболы по
корням квадратного трехчлена.
Пусть х1 и х2 –
корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с. Тогда парабола, служащая
графиком функции у = ах2 + bх + с пересекает ось абсцисс в точках А (х1, 0) и В (х2,
0), а ось симметрии проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину.
Зная абсциссу х0 вершины С параболы (точка С лежит на оси симметрии
параболы, поэтому ), найдем по формуле у = ах2
+ bх + с ее ординату, а затем построим параболу по трем точкам А, В, С.
Пример. Построить график функции у = -х2
+ 6х – 5
Решение. Из уравнения -х2
+ 6х – 5 = 0 находим х1 = 1, х2 = 5. Значит, мы знаем две
точки исходной параболы: А = (1, 0), В = (5, 0). Уравнение оси симметрии
параболы таково: х = 3. Подставив х = 3 в формулу у = -х2 + 6х – 5,
получим у = 4. Значит, вершиной параболы служит точка С (3, 4). По трем точкам
А, В, Строим параболу – график функции у = -х2 + 6х – 5 (рис. 3).
Рисунок
3.
у
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 х
Пример. Решить уравнение х2 – 4х
+ 2 = 0
Строим график функции f(x) = х2
– 4х + 2 (рис. 4).
Рисунок 4.
у
4
3
2
1
0,6 3,4 х
По графику функции определяем
Ответ: .
Решить уравнение х2 - /х/
- 2 = 0
Представим уравнение в виде х2
= /х/ + 2 и построим графики функций у = х2 и у = /х/ + 2 (рис. 5).
Рисунок 5.
у
2
1
-2 -1 0 1 2 х
По графику находим х1 и х2:
х1 = -2, х2 = 2. Подстановкой в уравнение убеждаемся,
что эти корни точные.
Ответ: х1 = -2, х2
= 2.
Пример. Решить графически уравнение х2
– х – 2 = 0
Представим уравнение в виде х2
= х + 2 и построим графики функций у = х2, у = х + 2 (рис. 6).
Рисунок 6.
у
2
1
-2 -1 0 1 2 х
По графику находим точки пересечения
графиков этих функций: х1 = -1, х2 = 2.
Ответ: -1, 2
При графическом решении уравнений
необходимо учитывать следующее:
1.
Корни, вообще
говоря, получаются приближенными, если учащийся подозревает, что данный корень может
быть вычислен точно, то он должен подтвердить это аналитически.
2.
Уравнения должны
подбираться так, чтобы учащийся имел возможность выбрать достаточно большой
масштаб для получения приближенного значения, и, в то же время, корни уравнения
не «ушли» бы за пределы чертежа.
При построении графиков функций
учащиеся знакомятся с изометрическими преобразованиями графиков.
II.
Неравенства второй степени
Здесь речь идет о неравенствах вида
ах2 + bх + с 0 или ах2 + bх + с 0,
где а 0
1.
Если дискриминант
Д квадратного трехчлена ах2 + bх + с отрицателен, а старший коэффициент а положителен, то
при всех значениях х выполняется неравенство ах2 + bх + с 0
2.
Д 0. Для решения неравенства ах2 + bх + с 0 (или ах2
+ bх + с 0) нужно
разложить квадратный трехчлен на множители по формуле ах2 + bх + с =
а(х – х1)(х – х2), затем разделить обе части неравенства
а(х – х1)(х – х2) 0 на а,
сохранив знак неравенства, если а 0, и изменив знак на
противоположный, если а 0.
Теперь перейдем к неравенству (х – х1)(х
– х2) 0 и воспользуемся тем, что произведение
двух чисел положительно (отрицательно), если сомножители имеют одинаковые
(разные) знаки.
Пример. Решить неравенство 2х2 +
5х + 2 0
Найдем корни трехчлена и получим
х1 = -2, х2 = -1/2. Разложим на множители:
2(х + 2)(х + ½) 0, далее (х + 2)(х + ½) 0, выражения (х + 2) и (х + ½)
имеют одинаковые знаки, отсюда имеем:
х + 2 0
х + ½ 0
или
х + 2 0.
х + ½ 0
Решая системы, находим х ½, х -2.
Графическое
решение неравенств второй степени
Графиком квадратичной функции у = ах2
+ bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а 0, и вниз, если а 0.
При этом возможны три случая: 1. парабола пересекает ось х (т.е. уравнение
имеет 2 корня), 2. парабола имеет вершину на оси ОХ ( уравнение ах2
+ bх + с = 0 имеет один корень), 3.
парабола не пересекает ось ОХ (уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней). Итого,
возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции у = ах2
+ bх + с относительно оси ОХ (рис. 1-6). Относительно этих графиков можно
решать квадратные неравенства.
1.
ах2 +
bх + с 0
Строим график функции у = ах2
+ bх + с (рис. 7).
Рисунок 7.
у
0 х
х1 х2
Решением неравенства будут все
значения х, при которых график функции находится над осью ОХ (-, х1) и (х2, +)
2.
–ах2 +
bх + с 0(рис. 8).
Рисунок 8.
у
0
х
х1 х2
Ответом для данного неравенства будет
отрезок (х1 х2)
3.
ах2 + bх + с 0 (рис. 9).
Рисунок 9.
у
0 х1 х2 х
Решением этого неравенства будет
отрезок (х1 х2).
4.
–ах2 +
bх + с 0 (рис.
10).
Рисунок 10.
у
0 х
-х1
х2
Решением неравенства будет две
интервала (-, х1) и (х2, +), т.е. все значения х, в которых график
функции расположен ниже оси ОХ.
5.
ах2 +
bх + с 0(рис. 11).
Рисунок 11.
у
х
Для этого неравенства решением будет
вся числовая ось ОХ. Для ах2 + bх + с 0 решений не существует.
6.
ах2 +
bх + с 0(рис. 12).
Рисунок 12.
у
х
0 х1
Решением будут два интервала (-, х1) и (х2, +), аналогично для а 0.
ах2 + bх + с 0 решения не имеет.
Примеры.
Графически решить неравенство 2х2
+ 5х + 2 0
Решение. Уравнение 2х2 +
5х + 2 = 0 имеет два корня: х1 = -2, х2 = -1/2. Строим
график функции у = 2х2 + 5х + 2 (рис. 13).
Рисунок 13.
у
-2 0
х
Решениями этого неравенства будет (-, -2[ и ]-1/2, +).
Пример. Решить графически неравенство
3х2 – 7х – 10
0.
Строим график функции у = 3х2
– 7х – 10 (рис. 14).
Рисунок 14.
у
-1
0 31/3
х
Решением этого неравенства будет
отрезок [-1, ].
Ответ: [-1, ].
Пример. Решить графически неравенство
-3х + х –5 0.
Строим график функции у = -3х + х – 5
(рис. 15).
Рисунок 15.
у
0
х
Д 0,
парабола расположена ниже оси ОХ
Решением неравенства будет вся ось ОХ
Ответ: (-,+).
Пример. Решить графически данное
неравенство:
х2
– 2х + 3 0 (рис. 16).
Рисунок 16.
у
0
х
Так как Д 0 и а 0, то график расположен
выше оси ОХ. Значит, наше неравенство не имеет решений.
Ответ: 0.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шевелев. « Графическое решение
квадратных уравнений».
2. Учебник школьный, 7-8 кл.
3. Математика « Справочный материал»
под ред. В. Гусева.