Вариант
8
Задача 8.1 Груз силой тяжести G=350 Н удерживается тросом, перекинутым
через блок А, ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы
реакции в стержнях, если углы на рис. 8.1 равны, соответственно:
α=60º, β=15º, γ=30º. Рисунок не выдержан в
масштабе.
Дано:
G=350 Н
α=60º
β=15º
γ=30
RA,
RB - ?
T=G, т.к. трение в блоке отсутствует
Запишем уравнение
равновесия для стержней. В качестве объекта равновесия примем точку А.
Изобразим действующие на нее силы.
ΣFx=0
-Tsin30-RCsin60-RBsin75=0
ΣFy=0
-G+Tcos30-RBcos75-RCcos60=0
Получили два уравнения с
двумя
Неизвестными. Для
упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.
-350sin30-RСsin60-RBsin75=-175-0,866RС-0.966RB=0
-49,6-0,259RB-0.5(-202,1-1,1RB)=51,9+0,291RB=0
RB=-51,9/0.291=-178,35
Н
RC=-202,1-1,1(-178,35)=-5,92 Н
Знак «-» указывает на то,
что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.
Ответ: RB=-178,35 Н
RC=-5,92 Н
Задача 8.2 По заданному графику проекции
скорости точки (рис. 8.2), движущейся прямолинейно, построить графики ее
перемещения и ускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном
расстоянии от исходного положения она находилась в процессе движения? На каком
расстоянии от исходного положения она находится в конце движения?
Для построения графиков
перемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждом
участке представленного графика.
Участок 1. t от 0 до 10 с
V1=const=10 м/с
Участок 2. t от 10 до 20 с
V2=2t-10
Участок 3. t от 20 до 30 с
V3=const=30 м/с
Участок 4. t от 30 до 40 с
V4=120-3t м/с
Для построения графиков
перемещений проинтегрируем уравнения полученные выше
Найдем константу С. S(0)=0=10·0+C → C=0
S1=10t
S1(10)=10·10=100
S2(10)=102-10·10+C
→ C=100
S2(20)=202-20·10+100=300
S3(20)=20·30+C=300
→ C=-300
S3(30)=30·30-300=600
S4(30)=120·3-302+C=600 → C=-1590
Для построения графиков
ускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках
a1=
a2=2
м/с2
a3=0
a4=-3 м/с2
График
зависимости перемещения от времени
График
зависимости ускорения от времени
Путь пройденный точкой
численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени
S=10·10+(10·10+0,5·10·20)+10·30+0,5·10·30=750
v
В данном случае
максимальное расстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце
движения будет находится также на расстоянии 750 м.
Задача 8.3 В механизме качающегося грохота
(рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О2В=3r и скорость ползуна D при вертикальном положении кривошипа
O1A, если АВ=CD=2r. Отношение BC/CO2=3/5, угловая скорость кривошипа О1А
равна ω=6 рад/с, углы α=60º, β=45º. Длина кривошипа O1A равна r=0.1м.
Дано:
O1A=r=0,1
м
AB=CD=2r=0,2 м
O2B=3r=0,3
м
ωOA1=6 рад/с
α=60º
β=45º
ωO2B,
VD - ?
Построим положение
механизма в соответствии с данными условиями задачи.
Для определения
необходимых нам скоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.
Определим скорость VA
VA=ωO1A·r/2=6·0,1=0,6 м.с (VA┴O1A)
Скорость VA определяем с помощью теоремы о
проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую соединяющую эти
точки (прямая АВ).
VA=VBcos30
→ VB=0.6/cos30=0,69 м/c2
Построим мгновенный центр
скоростей (МЦС) – точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам VA и VB
ωO2B= рад/с
Определяем VD. Точка D принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль
направляющих поступательно и стержню CD. Поэтому чтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь
другой точки этого стержня и направление VD.
Величину VC найдем из пропорции
VC= (VC┴СМЦС)
Скорость VD определяем с помощью теоремы о
проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).
VDcos45=VCcos15 → VD=0,5·cos15/cos45=0,68 м/c2
Ответ: ωO2B= рад/с; VD=0,68 м/c2
Задача 8.4 Доска длиной l=6м, свободно положенная на две
разновысокие опоры А и В, получив начальную скорость v0=0.5м/с,
соскальзывает с опор вниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между
доской и опорами f=0.6,
а размеры на рис.8.4: a=0.3l, b=0.5l, h=0.14l.
Дано:
l=6м
v0=0.5м/с
f=0.6
a=0.3l
b=0.5l
h=0.14l
s - ?
Запишем сразу уравнение
равновесия для доски находящейся в покое
ΣFx=0 -FтрА+Qcosα-FтрB=0
FтрА=FтрВ=f·N=f·Qsinα (Ra=Rb=N)
отсюда
Qcosα-2f·Qsinα=0
Запишем 3-й закон Ньютона
для доски начавшей движение
m=mg(cosα-2fsinα)
=g(cosα-2fsinα)
Проинтегрируем полученное уравнение
=Vx=g(cosα-2fsinα)t+C1
x=g(cosα-2fsinα)t+C1t+C2
Найдем неизвестные cosα и sinα
sin2α+cos2α=1
Найдем постоянные С1
и С2
При t=0 Vx(0)=0.5 м/с → С1=0,5
При t=0 x(0)=0 → С2=0
Окончательно уравнение
движения доски примет вид
V=9.8(0.28-2·0.6·0.96)t+0,5=-8,55t+0,5
x=-4.27t2+0.5t
Найдем время, когда доска
остановится
V=0 → t=0.5/8.55=0.06 c
Путь пройденный доской за
это время
x=-4.27·0.062+0.5·0.06=0.015
м
Для того чтобы доска
упала она должна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В
нашем случае это не происходит, следовательно доска не упадет.
Задача 8.5 На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка
силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе,
наматывающемся на барабан d=0.1l, груз силой
тяжести Q=12кН с ускорением а=3м/с2.
Определить нагрузки на опоры А и В, если b=0.4l, c=0.2l. Массу троса не учитывать.
Дано:
m=3т
G=25кН
d=0.1l
Q=12кН
а=3м/с2
b=0.4l
c=0.2l
RA,
RB - ?
Запишем уравнения
равновесия
ΣFx=0 RAx=0
ΣFy=0 RAy-G-Q--Mg+RBy=0
ΣMA=0 –Gb-Qz-
где
Получили два уравнения с
двумя неизвестными, найдем искомые реакции
RBy= кН
RAy=G+Q+25+12+3.67-23=17,67 кН
Ответ: RBy=23 кН, RAy=17,67 кН