Репетиторские услуги и помощь студентам!
Помощь в написании студенческих учебных работ любого уровня сложности

Тема: Методика изучения параллельности прямых на плоскости и в пространстве

Вид работы:

Курсовая работа (п) по теме: Методика изучения параллельности прямых на плоскости и в пространстве
Предмет:

Другое
Когда добавили:

27.03.2012 12:50:25
Тип файлов:

MS WORD
Проверка на вирусы:

Проверено - Антивирус Касперского

Другие экслюзивные материалы по теме

Полный текст:

Методика изучения параллельности прямых на плоскости и в пространстве

План: Стр.

Введение

Глава 1. Теория параллельности прямых

1.1. Параллельность прямых на плоскости

1.2. Параллельность прямых в пространстве

Глава 2. Методика изучения параллельности прямых

2.1. Изучение параллельности прямых (5-6 классы)

2.2. Изучение параллельности прямых (7-9 классы)

2.3. Изучение параллельности прямых (10-11 классы)

2.4. Конспект урока по теме: Аксиома параллельных прямых

Заключение

Литература

Введение

Рассмотрение в школьном курсе геометрии вопроса о взаимном расположении прямых на плоскости и в пространстве имеет очень большое значение. Знания о взаимном расположении прямых лежат в основе изучения свойств геометрических фигур как в планиметрии, так и в стереометрии. Действительно, параллельность прямых на плоскости является необходимым материалом для изучения свойств многоугольников и окружности; без знания взаимного расположения прямых в пространстве невозможно изучение свойств многогранных углов, многогранников и круглых тел.

Разделы о взаимном расположении прямых изучается сразу же после введения основных понятий геометрии на плоскости и в пространстве, которые используются при доказательстве первых предложений и решении задач. Это позволяет систематически вести работу по развитию логического мышления учащихся, а также способствует прочному и сознательному усвоению ими основных понятий и аксиом и постепенному раскрытию их роли в школьном курсе геометрии.

Изучение взаимного расположения прямых сопровождается решением большого количества задач, среди которых особое место занимают задачи на доказательство и задачи конструктивного характера. Конструктивные задачи трехмерного пространства требуют как формально-логического подхода при их решении, так и знания проекционного чертежа (параллельного проектирования и его свойств). В процессе решения задач у учащихся развиваются пространственные представления, конструктивные навыки, в частности навыки изображения фигур на плоскости, навыки выполнения рисунков, их правильного восприятия и чтения.

Все выше сказанное и обусловило выбор темы курсовой работы: "Методика изучения параллельности прямых на плоскости и в пространстве".

Глава I. Теория параллельности прямых в

школьном курсе

1.Параллельность прямых на плоскости

Учение о параллельности прямых в курсе планиметрии можно разделить на следующие части:

- определение параллельных прямых;

- существование параллельных прямых;

- построение параллельных прямых;

- аксиома параллельных;

- свойства параллельных прямых;

- признаки параллельности прямых;

- применение изученной теории к решению задач.

Резко очерченных границ между выделенными частями не может быть, последний раздел, безусловно, присутствует во всех предыдущих.

Формулировки определений параллельных прямых в учебных пособиях, так же как и подходы к их изучению, различны.

В учебном пособии по геометрии А.В. Погорелова [18] и в пробном учебнике Л.С. Атанасяна [2] рассматриваются только два случая взаимного расположения прямых на плоскости: прямые пересекаются (имеют только одну общую точку) и прямые не пересекаются (совсем не имеют общих точек). Поэтому и определения параллельных прямых в этих пособиях даются соответствующим образом:

Опр. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.[18]

Опр. Прямые на плоскости не имеющие общих точек называются параллельными.[2]

Эти определения параллельных прямых на плоскости эквивалентны друг другу.

В учебном пособии по геометрии под редакцией А.Н. Колмогорова[13] рассматриваются три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

- прямые имеют только одну общую точку;

- прямые совпадают (все точки общие);

- прямые совсем не имеют общих точек.

Два последних случая входят в определение параллельных прямых в этом учебнике.

В процессе работы над определением параллельных прямых следует особо выделить, что они лежат в одной плоскости, и требовать этого постоянно от учащихся; такая работа поможет избежать нежелательных ошибок в дальнейшем при изучении соответствующих вопросов в курсе стереометрии. В качестве контр примера полезно наглядно показать прямые пространства, которые не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек и не являются параллельными (скрещивающиеся прямые).

Учитывая приведенное замечание, определение параллельных прямых следует записать в тетради, выделив четко в записи видовые отличия.(Таблица-1)

Таблица-1.

Видовые отличия.

Две прямые называются параллельными, если они:

1) лежат в одной

плоскости;

2) не пересекаются.

1) лежат в одной плоскости;

2) не имеют общих точек.

1) лежат в одной

плоскости;

2) не имеют общих точек.

Вопрос о существовании параллельных прямых также решается неодинаково в имеющихся учебных пособиях. К примеру в учебнике А.В. Погорелова "Геометрия7-11" этот вопрос рассматривается следующим образом: рассматривается аксиома параллельных, а затем доказывается теорема, показывающая существование таких прямых [18].

Аксиома. Через точку не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. [18]

Существование параллельных прямых обосновывается в школе двумя путями, а именно на основе центральной симметрии [13] или на основе свойств углов, образованных при пересечении двух прямых третьей [2], [18].

Доказательство теоремы везде ведется методом от противного, однако предложения, на основе которых делается окончательный вывод, различны: в одних случаях это свойство двух различных прямых не иметь двух и более различных общих точек; в других случаях это свойство внешнего угла треугольника не быть меньшим или равным внутреннему углу этого треугольника, не смежному с ним. Доказательство теоремы опирается на представление учащихся о неограниченности и бесконечности прямой, что сопряжено с большими трудностями, связанными с потерей наглядности чертежа, противоречием правильным интуитивным представлениям учащихся.

Вследствие этого чертежу желательно уделить особое внимание при доказательстве теоремы, при изображении точки пересечения прямых желательно не делать изломов.

Теоремы - признаки параллельности прямых требуют тщательной методической разработки, их доказательство надо сопровождать соответствующими записями. В качестве примера рассмотрю соответствующую теорему по учебному пособию под редакцией А.Н. Колмогорова[13]:

Теорема. "Если две прямые симметричны относительно некоторого центра, то они параллельны".

Запись этой теоремы с ее доказательством может

выглядеть следующим образом:

Признак параллельности прямых.

Дано: прямые а и b, b=Z0(a).

Доказать: а││b.

Доказательство(метод от противного)

1. Пусть а и b различны и

непараллельные, т.е. а и b имеют

общую точку С.

2. С отлична от O, так как b и

Z0(b)=a различны.

3. С и Z0(C)=C1 различны, так как С не совпадает с О.

4. C1 принадлежит прямым а и b, так как С принадлежит этим прямым.

5. Прямые а и b имеют две различные общие точки С и C1, что

невозможно.

6. Предположение, что а и b непараллельные, неверно. Значит, а и b параллельны.

7. Если а и b центрально-симметричны и совпадают, то они параллельны по определению.

Раздел об углах, образующихся

при пересечении двух прямых третьей, как

показывает опыт, педагогов, не вызывает

особых затруднений.

Рисунок к введению этих понятий

не должен отражать частных случаев: две

прямые не должны изображаться параллельными,

а секущая не должна быть к ним перпендикулярной (рис-2).

Прямые а и b разбивают плоскость на три части: две внешние и одну внутреннюю.

Из восьми углов, образующихся при пересечении прямых а и b прямой с, некоторые лежат по одну сторону от прямой с, другие – по разные стороны от прямой с. Некоторые из углов, расположенных по разные стороны от прямой с, получили название накрест лежащих;

некоторые углы, расположенные по одну сторону от прямой с, получили название или односторонних или соответственных. В зависимости от того, в каких из названных частей расположены углы, различают внутренние и внешние накрест лежащие углы (3 и 6, 4 и 5, 1 и 8, 2 и 7), внутренние или внешние односторонние углы (4 и 6, 3 и 5, 1 и 7, 2 и 8), соответственные углы (2 и 6, 1 и 5, 4 и 8, 3 и 7).

Большую роль в изучении параллельных прямых играет аксиома параллельных прямых.

В имеющейся учебной литературе приведены различные формулировки аксиомы параллельных:

1.Аксиома. Через данную точку проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой. [13]

2.Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной [18].

3.Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной [2],[12].

Требование, чтобы точка не лежала на данной прямой, связано с тем, что в этих учебных пособиях совпадающие прямые не считаются параллельными и вообще не рассматриваются. Надо отметить, что в третьем случае аксиома является более сильной, чем в первом и во втором случае. Утверждение, что через точку проходит только одна прямая, параллельная данной прямой, в первом случае можно доказать:

"Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной" - на основе аксиомы;

"Через данную точку можно провести одну прямую, параллельную данной" - на основе теоремы существования и построения.

Следовательно, через данную точку проходит только одна прямая, параллельная данной прямой. Эти рассуждения приводятся не во всех учебных пособиях для средней школы.

В процессе изучения параллельности прямых весьма важно обращать внимание на раскрытие роли аксиомы параллельности при построении темы. При доказательстве соответствующих теорем, где явно используется аксиома параллельных, этот пункт доказательства

желательно особо выделить.

Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. [134].

Дано: а, b и с - прямые, а││с и b││с.

Доказать: а││b.

Доказательство (рис. 3).

1. Пусть прямые а и b не параллельны, т.е. а и b пересекаются в некоторой точке С.

2. Через точку С проходят две прямые а и b, параллельные прямой С, что противоречит аксиоме параллельных.

3. Предположение, что прямые а и b не параллельны, неверно. Значит, а││b. Ч.т.д.

При изложении курса геометрии большое значение имеют как

теоремы - признаки параллельности, так и теоремы, им обратные.

Достаточно доказать один из признаков параллельности прямых, основанных на углах, образованных при пересечении двух прямых третьей, а остальные признаки параллельности свести к уже доказанному.

Особый интерес представляет методика работы над теоремами - признаками параллельности прямых в соответствии с учебным пособием по геометрии А.В. Погорелова [18] и пробным учебником по геометрии Л.С. Атанасяна [2] (Рис-4):

Дано: с - секущая для прямых а и b;

угол 1 и угол 2 - внутренние накрест лежащие; Ð1=Ð2.

Доказать: а││b.

Доказательство: (метод от противного).(Таблица-2)

Таблица-2.

Доказательства признака параллельности прямых

По учебному пособию

А.В. Погорелова

По пробному учебнику

Л.С. Атанасяна

1. Пусть а и b не параллельны,

т.е. пересекаются в точке с.

2. Построим AD=BC и некоторую

Точку Е на прямой b.

3. ∆ВАD=∆АВС по первому признаку

равенства треугольников.

4. ÐABD=ÐBAC, так как

∆BAD=∆ABC.

5. ÐABE=ÐBAC, так как Ð1=Ð2.

6. ÐABD=ÐABE как равные одному и тому же ÐВАС.

7. Лучи BD и BE совпадают, так как ÐABD=ÐABE (аксиома откладывания углов)

8. D принадлежит прямой b, так как лучи BD и BE совпадают.

9. Прямые а и b имеют две различные общие точки D и С, что невозможно.

10. Предположение, что а и b

пересекаются, неверно. Значит, а││b.

1. Пусть а и b не параллельны,

т.е. имеют общую точку С.

2. Ð2 внутренний в ∆АВС, а

Ð1 внешний в ∆АВС.

Ð1>Ð2 по теореме о внешнем

угле треугольника.

Это противоречит условию

Теоремы.

4. Предположение, что а и b

не параллельны, неверно.

Значит, а││b.

Перед доказательством признаков параллельности прямых необходима специальная работа по организации повторения тех вопросов, которые составляют основу доказательства, а именно: Организация повторения вопросов которые составляют основу доказательства признака параллельных прямых.(Таблица-3)

Таблица-3.

Организация повторения вопросов которые составляют основу доказательства признака параллельных прямых

По учебному пособию

А.В. Погорелова

По учебному пособию

Л.С. Атанасяна

а) признаки равенства

треугольников и определение

равных треугольников;

б)аксиома откладывания углов;

в) углы, образуемые при пересечении двух прямых третьей;

г) свойство смежных углов.

а) углы, образуемые при пересечении двух прямых третьей;

б) нахождение на рисунке внутренних углов треугольника и внешних его углов;

в) нахождение на рисунке внутренних углов треугольника, не смежных с данным внешним его углом;

г) свойства внешнего угла треугольника.

Повторение проводится по рисункам, при этом предполагается их варьирование во избежание частных случаев.

По содержанию задачи по этой теме можно разделить на три группы:

1) Задачи на прямое применение аксиомы параллельности:

"Доказать, что две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны";

2) Задачи на применение признаков параллельности прямых:

"Доказать, что биссектрисы соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, параллельны";

3) Задачи на применение теорем, обратных признакам

параллельности прямых: "Через вершину А треугольника АВС проведена

прямая, параллельная противоположной стороне его. Зная углы треугольника, вычислить углы, образовавшиеся при вершине А".

2. Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые

Учение о параллельности прямых в курсе стереометрии можно разделить на следующие части.

- Определение параллельных и скрещивающихся прямых;

- Теорема о параллельных прямых;

- Признак параллельных прямых;

- Применение изученной теории к решению задач.

Так как данная геометрическая линия более подробно мной рассмотрена во второй главе в третьем пункте данной работы, то ограничусь в своем рассуждении в данном пункте, сравнением двух учебников: учебник "Геометрия 7-11" под редакцией А.В. Погорелова [18] и учебником "Геометрия 10-11" под редакцией Л.С. Атанасяна. [2]

Определения параллельных и скрещивающихся прямых в обоих учебниках звучат одинаково и являются ключевыми во всей теме, но вводятся они по разному (Таблица-4 ). В учебнике А.В. Погорелова определение параллельных и скрещивающихся прямых дается сразу в течении первого урока, а в учебнике Л.С. Атанасяна на первом уроке дается определение параллельных прямых и только после того как пройдет изучение признака параллельных прямых дается понятие скрещивающихся прямых в виде небольшой темы.

Таблица-4.

Определение параллельных и скрещивающихся прямых

"Геометрия 7-11" под редакцией

А.В. Погорелова

"Геометрия 10-11" под редакцией

Л.С. Атанасяна

Опр. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Опр. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Теорема о параллельных прямых и ее доказательство в обоих

учебниках рассматривается на первом занятии и представляется в

следующем виде (Таблица-5):

Таблица-5 .

Теорема о параллельных прямых и ее доказательство

"Геометрия 7-11" редакцией

А.В. Погорелова

"Геометрия 10-11" под редакцией Л.С. Атанасяна

Теорема

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну

Через любую точку пространства,

не лежащую на данной прямой,

ходит прямая, параллельная данной и притом только одна

Доказательство

1) Пусть а - данная прямая и А - точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую а и точку А плоскость z. Проведем через точку А в плоскости z прямую а1, параллельную а. Докажем, что прямая а1, параллельная а, единственна. Рис-а

2) Допустим, что существует другая прямая а2, проходящая через точку А и параллельная прямой а. Через прямые а и а2 можно провести плоскость z2.

3) Плоскость z2 проходит через прямую а и точку А; следовательно, по теореме (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну) она совпадает с z

4) Теперь по аксиоме параллельных прямые а1 и а2 совпадают. ч.т.д.

1) Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой. Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость буквой z.

2) Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. должна лежать в плоскости z.

3) Но в плоскости z, как известно из курса планиметрии через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рис-б эта прямая обозначена буквой b.

4) Итак, b-единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой

ч.т.д.

В учебнике Л.С. Атанасяна разбирается такое понятие, как параллельность трех прямых. И выдается следующие утверждение в виде леммы.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Признак параллельных прямых и его доказательство в обоих учебниках рассматривается на втором занятии и представляется в следующем виде (Таблица-6):

Таблица-6. Признак параллельных прямых.
Геометрия 7-11" под редакцией А.В. Погорелова	"Геометрия 10-11" под редакцией Л.С. Атанасяна.
Теорема
Две прямые, параллельные третей прямой, параллельны.	Если две прямые параллельны третей прямой, то они параллельны.
Доказательство
1)Пусть z - плоскость, в которой Лежат прямые а и b, а v – плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости z и v различны.(Рис-в) 2)Отметим на прямой b какую ни будь точку В и и проведем плоскость v1 через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость z по прямой b1. Прямая b1 не пересекает плоскость v. 3)Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как прямая b1 лежит в плоскости z. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая b1 лежит в плоскости v1. Но прямые а и с как параллельные не пересекаются. Так как прямая b1 лежит в плоскости z и не пересекает прямую а, то она параллельна а, а значит совпада-ет с b по аксиоме параллельных. 4)Таким образом, прямая b, совпадя с прямой b1, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости v1) и не пересекает ее. Значит, прямые b и с параллельны. ч.т.д.	Пусть а││с и b││c. Докажем, что а││b. Для этого нужно доказать, что прямые а и b: 1) лежат в одной плоскости и 2)не пересекаются. 1) Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой z плоскость, проходящую через прямую а и точку К (рис-г). Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость z, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также пересекает плоскость z. Но так как с││а, то и прямая а пересекает плоскость z что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости z. 2) Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные прямой с, что невозможно. ч.т.д.

Не безынтересно в конце данной геометрической линии провести сравнение на плоскости и в пространстве прямых, не имеющих общих точек. (Схема-1) [5]

Применение изученной теории к решению задач смотреть во второй главе в третьем пункте.

Глава II. Методика изучения параллельности

прямых

Изучение взаимного расположения прямых в школьном курсе математики можно разделить на три этапа:

1)Подготовительная (пропедевтическая) работа по ознакомлению

учащихся со взаимным расположением прямых на плоскости в I-V классах;

2) Систематическое изучение взаимного расположения прямых на

плоскости VI-VIII классах;

3)Систематическое изучение взаимного расположения прямых

пространстве в IX-Х классах.

1. Изучение параллельности прямых в 5-6

классе

Знакомство со взаимным расположением прямых начинается с

первого появления геометрического материала в курсе математики средней школы. Уже в подготовительном курсе геометрии, в I-V классах, изучаются на наглядно-оперативном уровне такие вопросы, как пересечение двух прямых на плоскости, перпендикулярность двух прямых на плоскости, параллельность прямых. Об изучении строгой теории на этой поре обучения не может быть и речи. Здесь даются определения перпендикулярных и параллельных прямых, формируются навыки изображения каждого из названных случаев на плоскости, развиваются умения пользоваться чертежными инструментами - линейкой, угольником, транспортиром, циркулем. Рассмотренные случаи взаимного расположения прямых на плоскости используются при решении простейших задач.

Основой для введения различных случаев взаимного

расположения прямых является беседа о возможном числе общих

точек у двух прямых на плоскости, где используются интуиция и

жизненный опыт учащихся. Изучение этого материала проводится на различных рисунках, как готовых, так и выполненных учащимися.

Подготовительный этап в изучении взаимного расположения прямых на плоскости играет важную роль в обогащении жизненного опыта учащихся, в накоплении необходимого фактически - наглядного материала, который может служить надежной базой для успешного систематического изучения этих вопросов на последующем этапе обучения.

На этой ступени обучения учащиеся должны знать:

- что две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, и уметь изобразить пересекающиеся прямые с помощью линейки;

- что две перпендикулярные прямые являются пересекающимися, и уметь построить такие прямые с помощью линейки и угольника, линейки и транспортира;

- что две параллельные прямые совсем не имеют общих точек, и уметь построить параллельные прямые с помощью линейки и угольника. [5]

2. Изучение параллельности прямых в 7-9 классе

Особые трудности вызывают первые уроки систематического курса планиметрии, на которых систематизируются полученные ранее знания о взаимном расположении прямых на плоскости, поэтому разработка методики их проведения требует особого внимания. Это обусловлено целым рядом причин: психическими особенностями учащихся этого возраста, выделением курса геометрии в отдельную учебную дисциплину и новизной его структуры, резким повышением уровня строгости логических рассуждений, введением большого числа новых понятий, терминов, новой символики, повышением уровня абстрактности изучаемого материала, новым содержанием заданного материала, недостаточной развитостью

Пространственных представлений и пространственного воображения

учащихся, несформированностью умений и навыков обобщения,

абстрагирования. Методика преподавания первых разделов курса

планиметрии предполагает постепенный, плавный переход от конкретного к общему, постоянное обращение к окружающей действительности и другим видам наглядности, пристальное внимание обучению учащихся умению логически рассуждать, обосновывать, доказывать высказываемые предложения, ориентироваться в изучаемых математических предложениях -аксиомах, определениях, теоремах, которые для них являются новыми. С самых первых этапов изучения геометрии необходимо в единую систему

увязать рассказ учителя, текст учебника, соответствующие записи на доске и в тетради с рисунками, являющиеся опорой для учащихся при самостоятельной работе. На первом уроке геометрии необходимо учащихся познакомить с историей возникновения геометрии.

Геометрические объекты, с которых начинается изучение систематического курса планиметрии, уже знакомы учащимся, однако они предстают перед ними в новом виде. Точка и прямая рассматриваются как основные понятия, свойства которых раскрываются в аксиомах. Это находит соответствующее отражение в записях, которые носят характер опорных схем: в них дается изображение точек и прямых, их обозначение на плоскости.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Прямые a и b имеют

только одну общую точку А: a и b пересекаются

У прямых a и b все

точки общие: a и b

совпадают

Прямые a и b не имеют

общих точек: a и b

параллельны

рис-5

В начале изучения взаимного расположения прямых на плоскости целесообразно дать учащимся общую картину взаимного расположения двух прямых на плоскости.(Рис-5 ) Это позволит им сразу охватить основные отношения между двумя прямыми: две прямые имеют только одну общую точку; все точки двух прямых общие - две прямые совпадают; две прямые на плоскости совсем не имеют общих точек - две прямые параллельны.

Учитель с этой целью может провести с учащимися класса беседу по вопросам, ответы на которые требуют знания уже введенных аксиом:

1. Могут ли две прямые на плоскости иметь только две общие

точки?

2. Могут ли две прямые на плоскости иметь только одну общую точку?

3. Могут ли две прямые на плоскости совсем не иметь общих точек?

Ответ на первый вопрос приводит к случаю, когда у двух прямых все точки общие, т.е. прямые совпадают. Ответ на второй вопрос приводит к случаю пересекающихся прямых на плоскости, имеющих только одну общую точку.

Ответ на третий вопрос дает возможность ввести понятие

параллельности прямых на плоскости.

Особо следует остановиться на том случае, когда все точки двух прямых общие, т. е. прямые сливаются. Дальнейшее отношение учителя к этому случаю зависит от той системы изложения, которой он придерживается. Поэтому возможны два подхода:

1) случай совпадения двух прямых не рассматривать в

дальнейшем, как не представляющий интереса; если речь идет о двух

прямых, то их всегда надо представлять себе различными; этот подход имеет место в учебном пособии по геометрии А.В. Погорелова [18], в пробном учебнике Л.С. Атанасяна и др. [2], в учебнике по геометрии А.П. Киселева [12];

2) две совпадающие прямые считают параллельными, а следовательно, параллельные прямые или совсем не имеют общих точек, или совпадают; этот подход имеет место в учебном пособии по геометрии под редакцией А.Н. Колмогорова [13].

Второй подход дает возможность на определенном этапе изучения геометрии в школе показать учащимся, что параллельность прямых входит в класс эквивалентности, однако само восприятие понятия параллельности прямых в этом случае для учащихся с чисто психологической точки зрения более затруднительно.

Подход рассмотрения вопроса о существовании параллельных

Прямых в учебнике А.В. Погорелова "Геометрия 7-11" (Когда рассматривается аксиома параллельных, а затем доказывается теорема, показывающая существование таких прямых.) может породить трудности, которые помешают убедить учащихся в необходимости доказательства существования параллельных прямых, поскольку целый ряд рассуждений проводится на основе предположения, что такие прямые на самом деле есть. Об этом следует помнить учителю при изучении этого раздела и в нужном месте при изучении соответствующей теоремы сообщить, что построение параллельных прямых, аксиома параллельных и некоторые свойства параллельных рассматривались с учетом предположения, что параллельные прямые реально существуют.

Перед доказательством теоремы, признак параллельности двух прямых, необходимо воспроизвести в памяти учащихся отдельные составные части доказательства теоремы в виде задач:

а) если центрально – симметричные

прямые различны, то центр симметрии не

принадлежит ни одной из этих прямых;

б) если точка не совпадает с

центром симметрии, то ее образ при

центральной симметрии отличен от нее.

В практике школы большое

распространение получили обоснования

признаков параллельности прямых на основе сравнения углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей.

Для лучшего запоминания углов названные части, на которые разбивают плоскость прямые а и b, надо закрасить на рисунке-6 различные цвета, а именно: внутреннюю часть закрасить одним цветом, а внешние части другим цветом. В итоге произвести соответствующие

записи: 3 и 6, 4 и 5 - внутренние накрест лежащие углы;

1 и 8, 2 и 7 - внешние накрест лежащие углы;

3 и 5, 4 и 6 - внутренние односторонние углы;

2 и 6, 1 и 5, 4 и 8, 3 и 7 - соответственные углы;

1 и 7, 2 и 8 - внешние односторонние углы.

Доказательство признака параллельности прямых (Таблица-6), приведенного в учебном пособии А.В. Погорелова, несомненно, вызовет определенные трудности у учащихся, так как оно сложное по структуре, дополнительные построения на чертеже носят искусственный характер. Все это говорит о необходимости специальной подготовки учащихся к его восприятию: отдельные фрагменты доказательства целесообразно рассмотреть предварительно как задачи. [5]

Задача 1. Известно, что накрест лежащие углы одной пары равны между собой. Докажите, что остальные накрест лежащие углы также попарно равны.

Задача 2. Известно, что ∆АВС=∆PQM. Назовите равные углы и равные стороны этих треугольников.

Задача 3. Известно, что ∠ABD=∠ABE. Докажите, что лучи BD и BE совпадают.

Задача 4. Что значит, что прямые а и b непараллельные?

Доказательство признака, связанного с односторонними углами,

сводится к уже рассмотренному признаку параллельности прямых.

Дано: с - секущая для прямых а и b; Ð2+Ð5=180º.

Доказать: а∥b (рис-7).

Доказательство:

1. Ð2+Ð5=180º - по условию,

Ð2+Ð3=180º - смежные углы.

2. Ð5=180º-Ð2, Ð3=180º-Ð2, следовательно, Ð3=Ð5

3. а∥b, так как накрест лежащие

углы равны.

а) Ð1+Ð6=180º, Ð3=Ð5

б) Ð4=Ð6, Ð3=Ð5

в) Ð2=Ð6, Ð3=Ð5'

Эти задачи можно использовать в качестве домашних заданий, включать их в классные самостоятельные работы, предлагать учащимся во время устного опроса.

Рассуждения и доказательства теорем, обратных признакам

параллельности прямых, аналогичны между собой, что облегчает их усвоение учащимися. Необходимо учителю совместно с учащимися четко провести рассуждения при доказательстве одной из этих теорем и записать их, чтобы на них полностью опираться при обучении учащихся самостоятельному доказательству остальных теорем.

Большую роль в усвоении материала о параллельных прямых на

плоскости играют задачи. Задачи могут быть использованы при формировании понятий темы, при подготовке учащихся к доказательству теорем, при использовании изученных теорем, в доказательстве новых фактов. Особо следует выделить задачи на построение параллельных прямых с использованием различных конструктивных инструментов.[5]

3. Изучение параллельности прямых в 10-11 классе

Разберу этот этап обучения по следующей схеме :

Задание 1. Логико-математический анализ темы: "Параллельные

прямые в пространстве".

Задание 2. Цели обучения темы: "Параллельные прямые в

пространстве".

Задание 3. Образец постановки дифференцированных учебных

задач, направленных на диагностику достижения

дифференцированных учебных целей в теме:

"Параллельные прямые в пространстве".

Задание 4. Методика введения понятия параллельных и

скрещивающихся прямых в теме: "Параллельные прямые в

пространстве". .

Задание 5. Методика изучения теоремы "признак параллельности

прямых".

Задание 6. Основные типы математических задач в теме:

"Параллельные прямые в пространстве". .

Задание 7. Решить геометрическую задачу на вычисление.

Задание 8. Методика обучения решению геометрических задач на

вычисление.

Задание 9. Организация выполнения коррекционной работы по теме:

"Параллельные прямые в пространстве".

Задание N1.

Логико-математический анализ темы: "Параллельность прямых в

пространстве".

Анализ проведен по учебнику А.В. Погорелоава "Геометрия 7-11".

Непосредственное изучение темы: "Параллельность прямых в

пространстве" проходит в программе десятого класса. Данная тема включает в себя три урока : 1 урок. Параллельность прямых.

2 урок. Признак параллельности

прямых.

3 урок. Урок контроля.

В дальнейшем знания по этой теме будут востребованы учебной

программой 10-11 класса.

Эта тема узловая по своему значению для развития

пространственных представлений учащихся. Ее изложение выстраивается вокруг основного, "стержневого" вопроса: каково может быть взаимное расположение прямых в пространстве?

Сначала перечисляются все логические возможности. (Например, две различные прямые либо лежат в одной плоскости, либо не лежат; во втором случае они называются скрещивающимися. В первом же случае есть следующие две возможности: прямые либо пересекаются (имеют общие точки), либо не пересекаются; во втором из этих случаев (когда прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются), т.е. не имеют общих точек) прямые называются параллельными, а в первом согласно аксиоме (Через любые две точки можно провести прямую и только одну) они имеют только одну общую точку, и тогда они называются пересекающимися - в геометрическом смысле.)

Основное отношение в этой теме - параллельность, так что

вопрос сводится к существованию параллельных прямых (a∥b).

Обсуждается и так или иначе решается вопрос о единственности

параллельных.

С начала первого урока начинается и далее продолжается

планомерное повторение самого необходимого планиметрического

материала. Хотя в теме по-прежнему превалируют задачи на доказательство, уже со второго урока появляются вычислительные задачи. И итогом первых уроков на третьем уроке выступает контрольная работа.

Основные математические понятия:

- Параллельными прямыми в пространстве называются прямые

которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

- Скрещивающимися прямыми называются прямые которые не

пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Основные математические предложения темы:.

Теорема о параллельных прямых

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Теорема (Признак параллельности прямых).

Две прямые, параллельные третей прямой, параллельны.

Теорема (Признак скрещивающихся прямых).

Если одна из двух непересекающихся прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость, то прямые скрещиваются.

Ранее изученный

материал, необходимый

для изучения темы

Теоретический

материал темы.

Применение изученного

материала.

- Аксиома

параллельных прямых;

- Признаки

параллельности прямых на плоскости;

- Теорема Фалеса;

- Параллелограмм;

- Признаки параллелограмма

- Признаки подобия

треугольников.

1. В продолжении темы

"Параллельность прямых и плоскостей";

2. В теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей";

3. Движение в пространстве;

4. Параллельный перенос в пространстве;

5. Угол между скрещивающимися прямыми;

6. В теме "Многогранники";

7. В теме "Тела вращения";

Задание N2.

Цели обучения геометрической темы: "Параллельные прямые в пространстве"

Обучающие - рассмотреть возможные случаи взаимного

расположения двух прямых в пространстве, ввести понятия параллельности и скрещивания прямых, разобрать признак параллельности прямых в пространстве, признак скрещивающихся прямых и теорему о параллельных прямых. Формировать умения применять признак параллельных прямых и признак скрещивающихся прямых при решении задач на доказательство и вычисление.

Развивающие - развитие логического мышления (в форме

понятий, суждений, умозаключений): работа с понятиями, с определениями понятий, формулировками теорем, доказательствами теорем, методами доказательства теорем.

Развитие операционного мышления: использование приемов анализа синтеза, сравнения, обобщения, классификации. Развитие мировоззрения, развитие умения учится, развития творчества. Развитие познавательных процессов: памяти, внимания, восприятия, речи.

Воспитательные - воспитывать интерес к математике и учебной

деятельности; воспитывать аккуратность, усидчивость, прилежание, культуру общения, всесторонне развитость.

Дифференцированные учебные цели по данной теме:

Учебные цели

1 уровень

2 уровень

3 уровень

Знание

Ученик знает

Запомина-ние и

воспроиз-ведение

изученного материала.

Термины:

Параллельные прямые,

скрещивающиеся

прямые, признак

параллельности

прямых, и признак

скрещивающихся

прямых.

Определение понятий из

1 уровня доказательство отдельных теорем,

признаков; обобщенные

приемы решения задач на вычисление длины

отрезка, и доказательство.

Логическую структуру определений,

теорем из 1 уровня, общие и специальные методы их доказательства, также приемы доказательства, их связи с

определениями.

Понимание

Ученик

Готовность к преобра-

зованию

изученного из одной

формы в

другую,

к его

интерп-

ритации.

Правильно воспроизводит термины паралле-ных и скрещиваю-щихся прямых, теоремы о парал-лельных прямых, признака парал-лельности прямых и признака скрещивающихся прямых; выполняет чертежи к прос-тейшим задачам на нахождение

длины отрезка.

Переводит словест-ную информацию в графическую и наоборот; разли-

чает определения из 1 уровня; выделяет главное в частных и специа-льных приемах уче-бной деятельности;

выделяет частные и

специальные приемы

решения задач на

доказательство а

вычисление.

Преобразует сло-вестный и графи-ческий материал математические выражения и

обратно; выделя-ет идеи и методы доказательств теоремы о парал-лельных прямых

и признака скре-щивающихся пря-мых, признака параллельных прямых; перест-раивает извест-ные приемы и на-ходит новые; проводит доказа-тельство по из-менному чертежу

Умения и

навыки

Ученик

Выполнение действий,

Составляю-щих при-

ем учебной

деятельно-сти, под активным

контролем внимания.

Решает простейшие

задачи на вычис-ление длины отре-зка и на доказа-тельство по образцу, исполь-зуя частные при- емы; для постро-ений использует

математические

инструменты; находит ответы на вопросы в учебни-ке с помощью

учителя и по образцу.

Решает типовые и прикладные задачи из 1 уровня в ста-ндартных ситуа-циях, используя алгоритмы и част-ные приемы; выде-ляет главное в учебном тексте,

Самостоятельно

Отвечает на вопро-сы; использует дополнительную литературу для

самообразования.

Решает типовые и

прикладные задачи из 1 уровня в нес-

тандартных ситуациях; составляет

задачи по чертежу;

проводит этап исследования задачи.

Развивающие цели

Предста вление и

вооброже-ние

Ученик

Отражение изучаемых и создание

новых

образов

и объектов

После объяснения

узнает параллель-

ные и крещивающи-

еся прямые по ри-

сункам и кратким

записям

Самостоятельно производит рисунок параллельных и скрещивающихся

прямых, и их крат-кую запись в виде символов; Может сформулировать

определения парал-лельных искрещива-ющихся прямых,

теорему о паралле-льных прямых, при-знак параллельных

прямых и признак

скрещивающихся прямых.

Создает образ

параллельных и

скрещивающихся

прямых в

измененных

ситуациях.

Мышление

Ученик

Сравнение.

Установле-ние сходс-тва и раз-личия объ-

ектов по

каким-либо

признакам

Выделяет паралле-

льные и скрещива-

ющиеся прямые

среди других

прямых, и находит

их в различных

фигурах

Осознает структуру

сравнения, устана-вливает сходные и различные свойства у параллельных и скрещивающихся прямых.

Находит различ-ные основания для сравнения параллельных

и скрещивающихся

прямых

Оперирова-ние поня-тиями.

Формулиро-вка опре-делений,

сравнение

и класси-

фикация,

установле-

ние отно-

шений

между

понятиями

Узнает и прави-

льно воспроизво-

дит определения

параллельных и

скрещивающихся

прямых, признак

параллельности

прямых, теорему о параллельных прямых,

составляет в них составные

части.

Различает опреде-ления параллельных и скрещивающихся прямых и признак параллельности

прямых, признак

скрещивающихся прямых, теорему о параллельных пря-мых. Выполняет подведение под по-нятие теоремы о параллельных пря-мых и признака па-раллельности пря-мых используя

определение парал-лельности прямых, как из планиметрии так из стереометрии.

Сам выводит и формулирует тео-рему опараллель-ных прямых и признак паралле-

льности прямых,

признак скрещи-

вающихся прямых выдвигает свои способы их доказательства.

Речь

Ученик

Межлично-

стное

общение по средством языка

устно или

письменно

Правильно воспро-

изводит термины

параллельной и

скрещивающейся

прямой, формули-

рует теорему о параллельных прямых и признак параллельности прямых, признак скрещивающихся прямых(не всегда точно) делает за-писи в тетради и отвечает на воп-росы по образцу или с помощью.

Формулирует опре-деления, теоремы, признаки из 1 уро-вня используя спе-циальные приемы

формулирует теоре-му о параллельных прямых, признак параллельности

прямых и признак скрещивающихся прямых в категори-чной или условной форме), строит

рассказ, делает записи в тетради самостоятельно, свободно задает и отвечает на вопросы.

Разъясняет ход доказательства теоремы парал-лельных прямых и признака парал-лельной прямой

или решения за-дач на их испо-льзование с использованием

специальной тер-минологии (если ..., то ...;

из ... следует ... и др.).

Ведет специаль-ную дискуссию, внимательно слу-шает речь друг-их, оценивает

правильность

речи.

Воспитательные цели

Воспитате-

льный

интерес

Ученик проявляет интерес

Случайный, непос-

редственый к

конкретным прямым, относящимся к параллельным и скрещивающимся прямым.

Настойчивый, осоз-нанный, изберате-льный к изучению параллельных и скрещивающихся

прямых, признаку

параллельности прямых, признаку скрещивающихся прямых, теореме параллельных прямых.

К способам дока-зательства теоремы парал-лельных прямых и признака параллельности прямых,

признака

скрещивающихся прямых.

Нравст-

венные

качества

личности

Ученик проявляет

Нравственные

знания, положительное

отношение к учащимся, принимает

ценностные

ориентации извне.

Нравственное поведение и гото-вность к помощи в самовоспитании, предпочтение цен-ностных ориента-ций, инициативу.

Проявляет стре-мление осознать способы самово-спитания и про-ектирование сво-

ей личности, самостоятельно-сть позиции и убежденность.

Задание N3.

Образец постановки дифференцированных учебных задач, направленных на диагностику достижения дифференцированных учебных целей:

I уровень.

1) Расскажите о взаимном расположении двух прямых в

пространстве.

2)Сформулируйте признак скрещивающихся прямых, и запишите его

в символьной форме.

3) Привести примеры параллельных прямых в пространстве и

скрещивающихся прямых.

4) Заполните пропуски: Две прямые, ... третей прямой, ...

5) Можно ли через точку С, не принадлежащую скрещивающимся

прямым a и b, провести две различные прямые, каждая из которых

пересекает прямые a и b? (Да/нет)

II уровень.

1) Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его плоскость.

Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые,

пересекающие данную плоскость в точках А1,В1,С1,D1. Найдите длину отрезка DD1, если 1) АА1=2м, ВВ1=3м, СС1=8м; 2) АА1=а, ВВ1=b, СС1=c

2) Прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Можно ли провести прямую с, параллельную прямым a и b? (Да/нет, поясните ответ)

3)Из планиметрии известна теорема: два перпендикуляра к одной

прямой параллельны. Верна ли эта теорема в стереометрии? Ответ проиллюстрируйте на модели куба.

4) Верны ли утверждения: а) если a∩b=M, a∩c=N, то b и с -

скрещивающиеся прямые.

III уровень.

1) Доказать признак параллельности прямых.

2) Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AB и BC параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

3) Даны четыре точки, не принадлежащие одной плоскости,

никакие три из которых не принадлежат одной прямой. Докажите, что среди прямых, определяемых этими точками, имеются скрещивающиеся. Сколько всего пар скрещивающихся прямых определяют данные точки?

Задание N4.

Методика введения понятия параллельных и скрещивающихся прямых.(Фрагмент урока по теме "Параллельные прямые в пространстве" по учебнику "Геометрия 7-11", авт. А.В.Погорелов)

Тип урока: изучение нового материала.

Обучающая цель: ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

. . .

- Для начала, вспомним материал из плани-

метрии. Ответе на вопрос (спрашиваю конк-

ретного ученика): сколько прямых можно

провести через две точки лежащие на плос-

кости?

- Правильно. Это утверждение аксиомы, она

говорит, что через любые две точки можно

провести прямую, и только одну. Мы на про-

шлом уроке договорились обозначать ее I2.

- А теперь ответе на следующий вопрос

(спрашиваю конкретного ученика): Каково

может быть взаимное расположение двух пря-

мых на плоскости?

-Правильно, существует два случая: первый-

когда прямые пересекаются т.е. имеют

единственную общую точку, и второй - когда

прямые параллельны т.е. они не пересекаются.

Делаю на доске следующий рисунок.

- Как через точку А, заданную вне данной

прямой а, провести прямую, параллельную а?

- Правильно.

Выполняю построение прямой.

- Сколько таких параллельных прямых к а

можно провести? (спрашиваю конкретного

ученика)

- Почему?

- Скажите ее формулировку.

- Правильно. Напомню, что данная аксиома

называется основным свойством параллельных

и мы ее на прошлом уроке вспоминали.

- Перейдем к взаимному расположению двух

прямых в пространстве. Как и в планимет-

рии, из аксиомы I2 вытекает, что две раз-

личные прямые либо пересекаются в одной

точке, либо не пересекаются т.е. не имеют

общих точек. Однако второй случай допуска-

ет две возможности: прямые лежат в одной

плоскости или прямые не лежат в одной

плоскости.

Наглядно демонстрирую эти случаи на двух

Указках или карандашах.

- Когда прямые лежат на одной плоскости и

не пересекаются, то такие прямые считаются

параллельными.(наглядно демонстрирую)

- А когда прямые лежат в разных плоскостях

и не пересекаются, то такие прямые счи-

таются скрещивающимися.(наглядно демонст-

рирую). Такое расположение в геометричес-

кой записи обозначается вот таким знаком _

- Запишем определения.

- Две прямые в пространстве называются па-

раллельными, если они лежат в одной плос-

кости и не пересекаются.

- Прямые, которые не пересекаются и не ле-

жат в одной плоскости, называются скрещи-

вающимися.

- Кто не понял? (Если такие есть, то бегло

используя наглядные средства, повторяю

правила.)

- Устно рассмотрим следующую задачу.

- Дан куб смотрите рисунок на доске.

- Назовите в нем параллельные отрезки, и

скрещивающиеся отрезки.

- Устно рассмотрим следующую задачу N15.

Прямые АВ и CD пересекаются. Могут ли пря-

мые АС и BD, быть скрещивающимися?

Вспомним определение скрещивающихся прямых

- Прямые, которые не пересекаются и не ле-

жат в одной плоскости, называются скрещи-

вающимися.

И вспомним аксиому C3 с прошлого урока:

если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой, про-

ходящей через эту точку.

- Из определения скрещивающихся прямых и

аксиомы С3 следует что:

Прямые AC и BD не могут быть скрещиващими-

ся, так как пересекающиеся прямые а вместе

с ними и точки A,B,C,D, а вместе сними и

прямые AC и BD лежат в одной плоскости.

Построение рисунка демонстрирую на доске.

- Кто не понял? (Если такие нашлись, то

прошу подойти ко мне после урока.)

. . .

- Одну.

- Прямые либо пересекаются

либо параллельны.

- С помощью угольника

или построением двух перпендикуляров.

- Только одну.

- Согласно аксиоме параллельных.

- Через точку не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

- Слушают.

Записывают.

Две прямые в простран-стве называются парал-лельными, если они лежат в одной плоскос-ти и не пересекаются.

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

- Параллельные отрезки: AВ∥DC∥A1B1∥D1C1 и

AD∥BC∥A1D1∥B1C1

- Скрещивающиеся отрезки:

A1B1_DD1 и A1'B'_CC' и.т.д

Слушают.

Участвуют в решении.

Задание N5.

Методика изучения теоремы "Признак параллельности прямых".

(Фрагмент урока по теме: "Признак параллельности прямых" по учебнику "Геометрия 7-11" авт. А.В.Погорелов).

Тип урока: изучение новой темы.

Обучающая цель: разобрать признак параллельности прямых.

Мотивация изучения теоремы "Признак параллельности прямых"

- Из курса планиметрии мы знаем три признака параллельности двух

прямых.

1 признак. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2 признак. Если при пересечении двух прямых секущей сумма

односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

3 признак. Две прямые, параллельные третей, параллельны.

- Выясним какой из этих признаков применим к стереометрии.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

. . .

Предварительное обсуждение.

- Как установить параллельность двух прямых?

- Правильно.

- А как доказать параллельность двух прямых на плоскости?

-Правильно, можно использовать какой ни будь признак параллельности.

- Давайте вспомним признаки параллельности

прямых на плоскости.

- Первый признак говорит о равенстве между

собой внутренних накрест лежащих углов между прямыми и секущей. т.е. a∥b <=>

<=> Ð1=Ð2

Изображаю это в виде рисунка на доске:

- Второй признак говорит о равенстве сумы

внутренних односторонних углов 180º.

т.е. a││b <=> Ð1+Ð3=180º

- Третий признак говорит, что если две

прямые параллельны третей, то они

параллельны .

- И так мы вспомнили признаки параллельно-

сти прямых на плоскости. Рассмотрим их в

пространстве.

- Первые два признака параллельности не

имеют аналогов для прямых в пространстве,

даже если как-либо определить внутренние

накрест лежащие или одновременно углы меж-

ду прямыми и секущей в пространстве. Т.к.

из соответствующих условий отнюдь не сле-

дует, что прямые будут лежать в одной

плоскости (демонстрирую это на моделях:

при помощи указок или карандашей).

- Но последний признак оказывается спра-

ведливым и в стериометрии.

- Запишите теорему (признак параллельности

прямых):

Две прямые, параллельные третей прямой,

Параллельны.

- Давайте сделаем рисунок.

- Давайте докажем эту теорему.

- Для начала определимся, что нам

необходимо доказать?

- Фактически нам необходимо доказать, что

прямые a и b лежат в одной плоскости и не

пересекаются.

- Если прямые а и b и с лежат в одной пло-

скости, то теорема доказана, т.к. очевидно

по третьему признаку параллельности прямых

из курса планиметрии.

- Кто не понял, то что я сейчас объяснял?

(Если кто то не понял, то объясняю заново,

в противном случае прошу подойти ко мне

после урока.)

- Рассмотрим когда прямые а, b, с не лежат

в одной плоскости.

Записываем.

Доказательство:

- Пусть прямые b и с параллельны прямой а.

b∥a и с∥а

- Докажем, что прямые b и с параллельны.

b∥c ?

- Пусть z - плоскость, в которой лежат

прямые а и b, а v - плоскость, в которой

лежат прямые а и с. Плоскости z и v разли-

чны. Записываем.

aÎz, bÎz, aÎv, cÎv ; z и v различны.

Отметим на прямой b какую-нибуть точку В и

и проведем плоскость v1 через прямую с и

точку В. Она пересечет плоскость z по

прямой b1.

BÎb, cÎv1

Выполняю построение.

- Прямая b1 не пересекает плоскость v.

b1∩v

Действительно, точка пересечения должна

принадлежать прямой а, так как прямая b1

лежит в плоскости z. С другой стороны, она

должна лежать и на прямой с, так как пря-

мая b1 лежит в плоскости v1. Но прямые а и

с как параллельные не пересекаются.

а∦c

Так как прямая b1 лежит в плоскости z и не

пересекает прямую а, то она параллельна а,

Т.к. b1Îz, b1∥a ==>

а значит, совпадает с b по аксиоме парал-

лельных.

==> b1 совпадает c b ==>

Таким образом, прямая b, совпадя с прямой

b1, лежит в одной плоскости с прямой с

(в плоскости v1) и не пересекает ее.

==> с и b лежат в одной плоскости ==>

Значит, прямые b и с параллельны. Ч.Т.Д.

==> b∥c ч.т.д.

- Кто не понял, то что я сейчас объяснял?

(Если кто то не понял, то объясняю заново,

в противном случае прошу подойти ко мне

после урока.)

. . .

- По определению: доказать, что прямые лежат в одной плоскости и не

пересекаются.

-Можно воспользоваться

признаками параллельности

- Слушают.

- Записывают.

Теорема.

Две прямые, параллельные

третей прямой,

параллельны.

Слушают. Записывают.

Доказательство.

Дано: b∥c, c∥a

Доказать: b∥c

- Записывают за мной.

aÎz, bÎz, aÎv, сÎv

z и v различны.

- Чертят.

- Записывают.

BÎb, cÎv1

b1∩v

а∦c

Т.к. b1Îz, b1∥a ==>

=> b1 совпадает c b =>

==> с и b лежат в одной плоскости ==> b∥c ч.т.д.

Задание N6.

Основные типы математических задач по данной теме:

- задачи на вычисление длины отрезка.

- задачи на доказательство.

Задача 1. Прямые a и b пересекаются. Докажите, что все

прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.

Задача 2. Через концы отрезка АВ и его середину М

проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в

точках А1 В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1,если отрезок АВ не

пересекает плоскость и если: АА1=5 м, ВВ1=7м.

Прием решения задач на вычисление длины отрезка.

1) Изучить содержание задачи: сделать чертеж, записать что

дано, что нужно найти

2) Поиск решения задачи путем сведения (рассмотрения)

пространственного изображения рисунка к изображению на плоскости.

3) Выполнить арифметическое вычисление.

4) Записать ответ.

Задание N7.

Решить геометрическую задачу на вычисление.

Задача 1. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены

параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1 В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1,если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: АА1=5 м, ВВ1=7м. (Рис-1)

1) Изучение содержания задачи.

Основная фигура - трапеция АВА1В1 полученная в результате

проведения параллельных прямых a, m, b, из точек А,В,С и пересечения этих прямых с плоскостью z соответственно в точках А1, M1, B1.

Так как прямые АА1, ВВ1,

ММ1 лежат в одной плоскости

v, следовательно для решения

задачи достаточно рассмотреть

изображение принадлежащие

плоскости v. Сделаем

дополнительный рисунок(Рис-2)

Дано: АВ - отрезок

АМ=МВ, a∩АВ=А, а∩z=А1

n∩AB=M, n∩z=M1, AA1=5м,

b∩AB=B, b∩z=B1, ВВ1=7м,

a∥b, m∥b, a∥m, АВ∩z

a,b,cÎv

Найти: ММ1

2) Поиск решения (анализ) проводится устно.

Задача на вычисление.

По теореме Фалеса М1 - середина отрезка А1В, ММ1 - средняя линия

трапеции АА1В1В, и по теореме о средней линии ММ1 = х = 1/2*(a+b)

3) Решение (метод прямого счета)

m = 1/2*(a+b) = 1/2*(АА1+ВВ1) = 1/2*(5+7) = 6 (м).

4) Ответ.

Ответ: ММ1=6м

Задание N8.

Методика обучения решению геометрических задач на вычисление длины отрезка.

Задача 1. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены

параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А1 В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1,если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: АА1=5 м, ВВ1=7м.(Решение задачи в задании N8.)

Учебные задачи на формирование умения изучать содержание задачи.

1) Выделите основной объект задачи (Какая фигура

рассматривается в задаче)

2) Осуществить решение задачи путем сведения (рассмотрения)

пространственного изображения рисунка к изображению на плоскости.

3) Построить новый планиметрический чертеж, где будет

располагаться трапеция.

4)Выведите следствие из того, что ММ1 является средней линией

трапеции.

5) Составьте краткую запись задачи: Дано:, Найти:

6) По приведенным признакам записям сформулируйте

соответствующие им задачи:

Дано: Дано:

АВ, АЕ, CD, z-плоскость AC, a,b,c-параллельные прямые

AB∩z=B, AE∩z=E, AC:CB=3:4 z-плоскость, a∩z=A', b∩z=B',

CÎAB, DÎAE, CD=12см. c∩z=C', АА'=2см., BB'=3см.

Найти: ВЕ Найти: CC'

7) Проведите анализ этих задач по плану:

1. Рассматривается фигура (объект задачи).

2. Данные элементы.

3. Искомые соотношения.

4. Заданные соотношения.

5. Осуществить решение задачи путем сведения (рассмотрения)

пространственного изображения рисунка к изображению на плоскости.

Учебные задачи на формирование умения осуществлять поиск решения задачи.

1.Задача(*) Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В' и С'. Найдите длину отрезка ВВ', если АВ=6 см, АС:СС'=2:5

2. Проведите поиск решения данной задачи, используя чертеж и

восходящий анализ, и заполняя пропуски в тексте.

После построения чертежа видим, что основная фигура – это треугольник АВВ', полученный в результате того, что точка A принадлежит плоскости z, и проведения параллельных прямых a, b из точек ..., ... и пересечение этих прямых с плоскостью z в соответствующих точках ..., ... .

Так как отрезки АВ, ..., ..., ... лежат в одной плоскости v следовательно для решения задачи достаточно рассмотреть чертеж плоскости v.

Сделаем чертеж плоскости v.(Рис-2)

Так как ÐА- ... и ÐАСС'...ÐABB', как соответствующие углы, то по первому признаку подобия треугольников (Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны) следует, что ∆АСС' ... ∆АСС'.

Из подобия ... ∆АСС' и ... следует соотношение AC:CC'=AB:BB'.

Подставив значения из условия задачи в соотношение

AC:CC'=AB:BB' можно найти искомый отрезок ВВ'

Учебные задачи на формирование умения оформлять решение.

1. Определить вид задачи.

Задача 1. Прямые a и b пересекаются. Докажите, что все

прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости.

Задача 2. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость.

Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В' и С'. Найдите длину отрезка ВВ', если АВ=6 см, АС:СС'=2:5

2. Для задачи 2. заполнить пропуски в решении.

Решение:

1) Рассмотрим ∆АВВ'. ∆АВВ' принадлежит плоскости v.

Так как ÐА- ... и ÐАСС'...ÐABB', как соответствующие углы, то по первому признаку подобия треугольников ==> ∆АСС' подобен ... .

2) ∆АВВ' подобен ... ==> AC:CC'= ... : ... ==> 2:5=6:... ==>

==> BB'= ...

3) Ответ: BB'=...

3. Для задачи 2. составить модель обозначив за х одну из

сторон: решить полученное уравнение; записать ответ на вопрос задачи.

Учебные задачи на формирование умения проверять и исследовать задачи:

1. Существует ли решение у задачи 2. если точка А не

принадлежит плоскости z?

2. При решении задачи 2. ученик нашел, что т.к. ∆АВВ' подобен ∆АСС' ==> АС:АС'=ВВ':АВ. Верно ли данное соотношение?

3. Можно ли решить задачу 2. используя коэффициент подобия к?

Учебные задачи на формирование умения анализировать решение задачи.

Сформулировать общий прием решения геометрической задачи

на нахождение длины отрезка.

2. Сформулировать прием решения геометрической задачи на вычисление длины отрезка методом составления уравнения (алгебраическим методом)

3. Дана задача.

Задача: Через конец А отрезка АВ проведена плоскость.

Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В' и С'.

а) Найдите длину отрезка ВВ', если СС'=15см, AC:BC=2:3

б) Найдите длину отрезка ВВ', если AC=a, BC=b, CC'=c

1) Решить ее алгебраическим и арифметическим способом.

2) Сравнить результаты решения для случая а); выбрать наиболее рациональное решение.

3) Составить и решить обратную задачу.

4) Составить и решить аналогичную задачу.

Задание N9.

Организация коррекционной работы по теме "Параллельные прямые в пространстве".

Возможные ошибки.

- В построение стереометрических чертежей; в принадлежности

точек прямых, отрезков к плоскостям лежащим в пространстве.

- В доказательствах: ошибки относительно тезиса, ошибки в аргументах, ошибки в демонстрации.

- В задачах, где рассматриваются свойства фигур: подобие

треугольников; свойства треугольника, параллелограмма, ромба,

квадрата, прямоугольника, трапеции.

1. Учебные задачи на умение выполнять чертеж к задаче.

а) Из предложенных рисунков найдите рисунок соответствующий

задаче.

Задача: Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через

конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые,

пересекающие плоскость в точках В' и С'. Найдите длину отрезка ВВ', если СС'=15см, AC:BC=2:3

б) Из предложенных комбинаций найдите расположения

соответствующие рисунку.(Рис-г)

а) AB∥CD, AB∥D'C', AA1 : BC

б) CC' : AD, CB : AD, AA'∥DD'

в) B'C' : DD', AD : BB', BC : AA1

2. На правильность использования свойств подобия

треугольников; свойств треугольника, параллелограмма, ромба,

квадрата, прямоугольника, трапеции.

а) Составить правильное соотношение сторон в подобных треугольниках ∆АВС и ∆A’B’C’

б) Вспомнить признаки подобия треугольников.

в) Вспомнить все формулы и свойства трапеции.

г) Вспомнить все формулы и свойства треугольника.

д) Вспомнить все формулы и свойства прямоугольника.

е) Вспомнить все формулы и свойства ромба.

ж) Вспомнить все формулы и свойства параллелограмма.

4.Конспект урока по теме: Аксиома параллельных прямых (7 класс[18])

Тема: Аксиома параллельных прямых.

Тип урока: Комбинированный.

Длительность урока: 45 минут.

Цели урока:

Обучающие - Дать представление об аксиомах геометрии,

ввести аксиому параллельных прямых.

Дать понятие следствия и ознакомились с двумя следствиями из аксиомы параллельных прямых.

Формировать умения применять аксиому параллельных прямых при решении упражнений на доказательство и вычисление.

Развивающие -Развивать умение анализировать, сравнивать,

обобщать задачи, в которых будет необходимо применять знания аксиомы параллельных прямых.

Воспитательные - Воспитывать математическую речь (письменную и устную), аккуратность, активность, усидчивость.

Структура урока:

Организационный момент. =1 мин.

1. Постановка цели. =2 мин.

2. Повторение пройденного материала.

Фронтальный опрос. =5 мин.

3. Изучение нового материала. =25 мин.

4. Закрепление нового материала. =8 мин.

5. Домашнее задание =2 мин.

6. Итог урока =2 мин.

Вид урока: Беседа

Вид доски на начало урока:

21.02.02

Классная работа

Аксиома параллельных прямых

Ход урока:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный момент.

Проверка учащихся к готовности к уроку, наличие всех записей на доске.

- Здравствуйте, садитесь.

Готовятся к уроку.

Приветствуют учителя.

1. Постановка цели.

- Запишите число, Классная работа, и сегодняшнюю тему: Аксиома параллельных прямых.

-Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием

аксиома, изучим основную аксиому в геометрии это аксиома параллельных прямых, ознакомимся

с со свойствами параллельных прямых.

Записывают.

Слушают.

2. Повторение пройденного материала.

- Но для начала мы вспомним пройденное на прошлых уроках.

- Взгляните на доску на рис-1 и назовите, какие углы на данном рисунке являются: односторонние, накрест лежащие, соответственные, вертикальные, смежные?

Спрашиваю конкретного ученика.

Если он затрудняется при ответе, то спрашиваю желающего.

- Молодец. А теперь дай определение первого признака параллельности прямых.

- Молодец, садись.

- Теперь все взгляните на рис-2 и ответе на следующий вопрос: являются ли прямые а и b парал-лельными, если ∠2=30º и ∠7=150º?

Спрашиваю конкретного ученика.

- Объясни почему.

Если ученик затрудняется в ответе, то спрашиваю желающего. В противном случае сам

объясняю доказательство.

- Молодец, правильно. Дай определение второго признака параллельности двух прямых.

- Молодец садись.

- Теперь все взгляните на рис-3 и ответе на следующий вопрос: являются ли прямые а и b параллельными, если /2=40º и /7=120º?

Спрашиваю конкретного ученика.

- Объясни почему.

Если ученик затрудняется в ответе, то спрашиваю желающего. В противном случае сам объясняю доказательство.

- Молодец, правильно. Дай определение третьего признака параллельности двух прямых.

- Молодец садись.

- Теперь все взгляните на рис-4 и ответе на следующий вопрос: чему равен ∠8, если прямые а и b параллельны и ∠1=120º?

Спрашиваю конкретного ученика.

- Объясни почему.

Если ученик затрудняется в ответе, то спрашиваю желающего. В противном случае сам объясняю доказательство.

- Молодец, правильно. Дай определение второго признака параллельности двух прямых.

- Молодец садись.

Слушают.

Отвечает:

- Односторонние:

∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6

- Накрест лежащие:

∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6

- Соответстветственные:

/1 и /5, /2 и /6,

∠4 и ∠8, ∠3 и ∠7

- Вертикальные: ∠2 и ∠4

∠1 и ∠3, /5 и ∠7 , ∠8 и ∠6

- Смежные: ∠1 и ∠2, ∠4 и∠3,

∠2 и ∠3, ∠1 и ∠4, ∠5 и ∠6,

∠6 и ∠7, ∠7 и ∠8, ∠5 и ∠8

- Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

- Да.

- т.к ∠7 и ∠6 смежные углы, то ∠7+∠6=180º==> ∠6=180º-∠7 , а зная что ∠7=150º найдем ∠6, ∠6= 180º-150º=30º==> ==>∠6=∠2 – соответственные углы ==> По второму признаку параллельности двух прямых следует что а∥b

- Если при пересечении двух прямых секущей cсоответствующие углы равны, то прямые параллельны.

- Нет.

- т.к ∠7 и ∠6 смежные

углы, то ∠7+∠6=180º==>

==> ∠6=180º-∠7 , а зная

что ∠7=120º найдем ∠6

∠6= 180º-120º=60º==> ∠6 не равен ∠2, т.к. ∠6 и ∠2 соответственные углы ==> По второму признаку параллельности двух прямых следует что прямые а и b не параллельны.

- Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны

∠8=60º

- Зная что a∥b, то по второму признаку параллельности прямых ∠1=∠5=120º как соответственные.

Зная, что сумма смежных

углов равна 180' т.е.

/5+/8=180º, отсюда находим /8=180º-∠5=180º-120º=60º

∠8 = 60º

- Если при пересечении двух прямых секущей соответствую-щие углы равны, то прямые параллельны.

3. Изучение нового материала

- Изучая свойства геометрических фигур, вы доказывали ряд теорем. При этом вы опирались на ранее доказанные. К примеру при доказа-

тельстве второго и третьего признаков параллельных прямых мы использовали первый признак параллельности прямых. Процесс данного доказательства можно сравнить с домиком где первым этажом будет первый признак , а

второй и третий будут располагаться на втором этаже.

Делаю на доске следующий рисунок:

- А чем же основаны доказательства самых первых теорем? Ответ на этот вопрос таков: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных

положений, на основе которых доказываются далее теоремы, и строится вся геометрия. И такие фундаментальные утверждения называются аксиомами.

- С некоторыми аксиомами вы уже знакомы, только вы не знали, что данные утверждения это аксиомы.

- К примеру аксиомой является следующие утверждение: Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. (показываю на доске).

-Многие другие аксиомы, хотя и небыли особо выделены, но фактически использовались в наших рассуждениях. Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

- Само слово "аксиома" происходит от греческого "аксикос", что означает "ценный, достойный". Полный список аксиом планиметрии

школьного курса приведены в учебнике на 289с

Откройте посмотрите.

- Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения -

аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился еще в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении "Начала"

древнегреческого ученого Евклида (300л.д.н.э). Некоторые из аксиом Евклида (постулаты) и сейчас используются в курсах геометрии, а

сама геометрия изложенная в "Началах", называется Евклидовой геометрией.

- Одной из самых известных в геометрии является аксиома параллельных прямых, наша сегодняшняя тема.

- Эта аксиома родилась следующим образом.

Какой-то древнегреческий ученый решил рассмотреть произвольную прямую а и точку М не

лежащую на ней. (Демонстрирую на доске)

- Записываем.

- Сначала он решил доказать, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. Для этого он решил провести через точку М две прямые: сначала прямую с перпендикулярную к прямой а, а затем прямую b перпендикулярную к прямой с. Затем ученый сделал вывод

так как прямые а и b перпендикуля-рны к прямой с, то они параллельны. Итак, через точку М проходит прямая b, параллельная прямой а.

- Но этот ученый на этом не остано-

вился и задался вопросом: можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой а? (Показываю на чертеже).

- Вы видите, что если прямую b "повернуть" даже на очень малый угол вокруг точки М, то она пересечет прямую а (b' пересечет а). Иными словами вы видите что, через точку М нельзя провести другую прямую (отличную b)

параллельную прямой а. Это видел и древний ученый. И он попытался доказать такое утверждение: что через точку не лежащую на данной

прямой проходит только одна прямая параллельная данной. Попытки доказать это утверждение провалились, и целые 2000 лет ученые многих стран предпринимали попытки доказать это утверждение, но у них ничего не получилось; пока за дело 150 лет назад не взялся

русский математик Николай Иванович Лобачевский. Он сказал, что аксиома параллельных прямых не доказуема, но ее утверждение считать верным. Запишем формулировку этой аксиомы: Через точку не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

-Из аксиом или теорем можно вывести утверждения и такие утверждения называются следствиями. Запишите определение следствия.

Опр. Утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом или теорем, называют следствиями.

- Рассмотрим некоторые следствия из аксиом параллельных прямых.

- Порядок следствий обозначаются цифрой с ноликом в правом верхнем углу.

- Записываем.

1º Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Докажем это:

- Действительно, пусть прямые а и b параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М. Докажем что, прямая с пересекает и прямую b.

- Сделаем чертеж

- Запишем Дано: а∥b, c∩a=M

Доказать: с∩b

- Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые.

- Запишем : Пусть с не пересекает b

==> c∥b и a∥b .

- Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, через одну точку не могут проходить

несколько прямых параллельных другой прямой, следовательно с∩b ч.т.д.

- Кто не понял, то что я сейчас объяснял?

(Если кто то не понял, то объясняю заново, в противном случае прошу подойти ко мне после урока.)

- Запишем формулировку следующего следствия.

2º Если две прямые параллельны третей прямой то они параллельны.

- Доказательство рассмотрите дома.

- Слушают.

- Записывают.

с⊥а и b⊥c ==> a∥b

Аксиома: Через точку не

Лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.

Опр. Утверждение, которое выводится непосредственно из аксиом или теорем, называют

Следствиями.

1º Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: а∥b, c∩a=M

Доказать: с∩b

Пусть с не пересекает b

==> c∥b и a∥b .

По аксиоме параллельных прямых следует, что

с∩b ч.т.д.

2º Если две прямые параллельны третей прямой, то они

параллельны.

4. Закрепление нового материала

- Применим наши знания при решении задач:

- Рассмотрим номер N196(устно): Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину с?

Рисунок на доске.

Спрашиваю конкретного ученика.

-Выйди к доске и объясни почему одна.

- Правильно садись.

- Кто не понял, решения задачи?

(Если кто то не понял, то объясняю заново, в противном случае прошу подойти ко мне после урока.)

- Рассмотрим следующую задачу N197:

Дан рисунок, определить сколько и четырех прямых проходящих через точку М пересечет прямую p?

Вызываю конкретного ученика к доске и прошу сделать построение, а остальных учащихся в тетради.

- Сколько прямых пересекает прямую p?

- Правильно. А всегда ли четыре прямые будут пересекать прямую p?

- Продемонстрируй.

- Объясни почему.

- Правильно садись.

- Кто не понял, решения задачи?

(Если кто то не понял, то объясняю заново, в противном случае прошу подойти ко мне после урока.)

- Одна.

Выходит. Показывает по

рисунку.

- По аксиоме параллельных прямых через точку С можно провести только одну прямую параллельную стороне АВ.

Ученик делает следующий

чертеж:

- четыре.

- Нет могут и три.

Ученик делает следующий

чертеж:

- По аксиоме параллельных прямых через точку не лежащую на данной прямой можно провести одну прямую параллельную данной.

5. Домашнее задание.

Запишите домашнее задание N 199, 200. Доказать следствие 2º ,

Читать п27,28

Записывают в дневники.

6. Итог урока.

- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием аксиомы, изучили основную аксиому геометрии - аксиому параллельных прямых.

Изучили понятие следствия и и ознакомились с двумя следствиями из аксиомы параллельных прямых.

Учились на практике при решении задач применять аксиому параллельных прямых.

- СПАСИБО ЗА УРОК.

Слушают.

Собираются.

Уходят.

Заключение.

Рассмотренная тема: "Методика изучения параллельности прямых на плоскости и в пространстве" является опорной для всего дальнейшего геометрического курса. Данная геометрическая линия содержит в себе как планиметрический , так и стереометрический курс школьного курса геометрии.

Основной целью для учителя в данной геометрической линии будет:

- систематизация наглядных представлений учащихся об основных свойствах взаимного расположения прямых на плоскости и в пространстве – параллельности, пересечении, скрещивании;

- формирование наглядного представления об основных случаях взаимного расположения прямых на плоскости и в пространстве, и их свойствах. Умению распознавать эти случаи на моделях и предметах окружающей обстановки.

Данная геометрическая линия в школьном курсе геометрии рассматривается достаточно полно, и времени уделяемой ей школьной программе достаточно, чтобы учащиеся смогли полностью ее усвоить.

В данной работе были раскрыты все поставленные

вопросы. Методика формирования знаний, умений, навыков по данной геометрической линии, “Параллельные прямые на плоскости”, были апробированы на педагогической практике в средней школе №9, 7в классе, в период с 01.02.2002г. по 28.02.2002г.

Используемая литература:

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометия в пространстве: Учебное пособие для уч. ст. кл. и абитуриентов. – Висалинас, Alfa, 1998. – 576с.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Пробный учебник для 6 класса средней школы. М.: Просвещение, 1985. – 210с.

3. Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 1998. – 207с.

4. Бескин Н.М. Методика Геометрии: учебник для педагогических институтов, Учпедгиз. – М.: Л.: Просвещение, 1947.- 270с.

5. Блох А.Я., Гусев В.А., Дорофеев Г.В. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. Институтов по физ.-мат. Спец. – М.: Просвещение, - 416с.

6. Глаголев Н.А., Глаголев А.А. Геометрия, ч.I. Планиметрия: Учебник для 6-9 классов средней школы. – М.: 1958. – 356с.

7. Глаголев Н.А., Глаголев А.А. Геометрия, ч.II. Планиметрия: Учебник для 9-10 классов средней школы. – М.: 1958. –260с.

8. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X классы: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1983. – 216с.

9. Глейзер Г.С. Повышение эффективности обучения математике в школе: Книга для учителя – М.: Просвещение, 1989.-240с

10. Земляков А.Н. Геометрия в 9 классе: Метод. Рекомендации к преподаванию курса геометрии по учебному пособию Погорелова А.В.: Пособие для учителя. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1988. – 208с.: ил.

11. Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А. Глаголева – М.: Учпедгиз, 1958. – Ч.I. – 230с.

12. Киселев А.П. Геометрия / Под ред. Н.А. Глаголева – М.: Учпедгиз, 1959. – Ч.II. – 227с.

13. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней школы .- М.: Просвещение, 1979. –360с.

14. Колягин Ю.М. и др. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики. – М.: Просвещение, 1977. – 247с.

15. Медяник А.И. Учителю о школьном курсе геометрии. - М.: Просвещение, 1984. – 96с., ил.

16. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы / Под ред. А.И. Фетисова. – М.: Просвещение, 1967. – 280с.

17. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. – М.: Л.: 1948-Ч.I.- 338с.

18. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 7-11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1990. – 384с.

19. Программа средней общеобразовательной школы; Математика: зав. редакцией Т.А. Бурмистрова.

20. Математика(газета): №36, 2001г.; Л. Карнацевин: Наиболее трудные уроки. Геометрия 7кл.;4-7стр.

21. Математика(газета): №9, 2001г.; Л. Зваличь, М. Чинкин,: Методические советы из опыта преподавания Геометрии 10 класс; 1-21стр.

22. Математика (газета): №8, 2000г.; Материалы вступительных экзаменов в МГУ. Планиметрия; 12-22стр.

Скачать курсовую работу

Если Вас интересует помощь в НАПИСАНИИ ИМЕННО ВАШЕЙ РАБОТЫ, по индивидуальным требованиям - возможно заказать помощь в разработке по представленной теме - Методика изучения параллельности прямых на плоскости и в пространстве ... либо схожей. На наши услуги уже будут распространяться бесплатные доработки и сопровождение до защиты в ВУЗе. И само собой разумеется, ваша работа в обязательном порядке будет проверятся на плагиат и гарантированно раннее не публиковаться. Для заказа или оценки стоимости индивидуальной работы пройдите по ссылке и оформите бланк заказа.