Полный текст:
1.
Какова мощность множества всех конечных
последовательностей действительных чисел?
Решение. Пусть рассматриваемое множество, множество всех конечных последовательностей действительных
чисел, состоящих из элементов:
последовательностей вида ; тогда , причем множества при разных не пересекаются.
Мощность каждого множества определяется следующим
утверждением.
Теорема. Если элементы множества определяются индексами, каждый из
которых, независимо от прочих, имеет мощность континуума, то и множество имеет мощность
континуума.
Согласно этому утверждению, каждое из множеств имеет мощность
континуума; но тогда рассматриваемое множество также имеет мощность
континуума (как сумма счетного числа попарно не пересекающихся множеств
мощности континуума).
************************************************************************
_
2.
Доказать, что А – наименьшее замкнутое множество, содержащее
, то есть
_
А=, где все F- замкнуты.
Доказательство. Пусть произвольное замкнутое
множество и произвольная точка. Тогда в силу замкнутости множества точка по определению не
является его предельной точкой; поэтому существует окрестность этой точки, не
содержащая никаких точек множества . Но тогда тем более не содержит
никаких точек множества и .
Таким образом, для произвольной точки мы доказали импликацию
.
Эта импликация равносильна
обратной импликации
,
которая
в силу произвольности выбора точки означает, что , какое бы ни было произвольное замкнутое множество . Таким образом, действительно
наименьшее замкнутое множество,
содержащее , что и требовалось доказать.
************************************************************************
3. Каково
строение и какова мера множества тех точек отрезка , десятичное разложение которых невозможно без цифры 3?
Решение. Пусть отрезок . Выбросим из него интервал длины 0,1; оставшееся замкнутое множество обозначим . Оно является объединением девяти отрезков , где любая цифра, кроме 3. В каждом из тих девяти отрезков
выбросим интервал длины 0,01. Оставшееся
замкнутое множество обозначим . Оно является объединением 81 отрезка , где любые цифры, кроме 3. В
каждом из тих 81 отрезке выбросим интервал длины 0,001.
Оставшееся замкнутое множество обозначим .
Продолжая этот процесс, получим убывающую
последовательность замкнутых множеств . Положим
.
замкнутое множество (как пересечение замкнутых). Оно
получается из отрезка выбрасыванием счетного
числа интервалов.
Рассмотрим структуру множества . Ему принадлежат, очевидно, точки
-
концы выбрасываемых интервалов. Однако множество не исчерпывается этими
точками. Нетрудно проверить по самому построению множества , что ему принадлежат те и только те числа , которые могут быть записаны хотя бы одним способом в виде,
вообще говоря, бесконечной десятичной дроби так, чтобы среди цифр его записи ни разу не встречалась тройка (это
действительно так; в частности, число 0,3 можно записать как 0,299999… и т.п.).
Тогда
интересующее нас множество чисел , десятичное разложение которых невозможно без цифры 3,
-
открытое множество, как ограниченная сумма счетного числа взаимно
непересекающихся интервалов, выброшенных нами. Потому по построению мера
множества
.
Из последнего равенства
вытекает, наконец, что , будучи открытым множеством положительной меры на прямой,
имеет мощность континуума.
************************************************************************
4. Доказать, что
если функция f измерима на множестве Е, то и функция
Доказательство. Нетрудно убедиться, что для любого действительного множество тех , для которых :
(*)
По
условию, функция измерима на ; по определению это означает, что множество измеримо при всяком
вещественном . Понятно также, что пустое множество измеримо (его мера
равна нулю). Но тогда правая часть равенства (*) показывает, что множество измеримо при всяком вещественном
. Последнее по определению означает измеримость функции , что и требовалось доказать.
************************************************************************
5.
Вычислить
интеграл Лебега , если он существует (ниже символ Ir обозначает множество Ir=R\Q):
f(x)=
Решение.
Рассмотрим функцию . Поскольку
,
то
функции и эквивалентны на
множестве . Поэтому вопрос об интегрируемости на по Лебегу
равносилен вопросу об интегрируемости на по Лебегу; а
соответствующие интегралы в случае их существования равны.
В свою очередь, функция определена и
непрерывна на сегменте , поэтому на указанном сегменте она интегрируема по Риману, а
значит, и по Лебегу, причем ее интеграл Лебега равен ее интегралу Римана.
Подытоживая сказанное, имеем: