Полный текст:
Задание 1.
Дана система уравнений
Исследуйте
систему на совместность, используя определители системы.Исследуйте
систему на совместность, используя теорему Кронекера-Капелли.Найдите
решение системы по формулам Крамера.Найдите
решение системы методом Гаусса или Жордана-Гаусса на выбор.Найдите
решение системы с помощью обратной матрицы.
Решение:
1)
Основной
определитель системы не равен нулю. По теореме Крамерасистема совместна и имеет единственное решение.
2)
Ранг матрицы
системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен количеству неизвестных.
Значит система совместна и имеет единственное решение.
3)
,
,
4)
5)
Найдем
обратную матрицу матрицы А
,
,
Задание 2.
Дана функция .
Определите способ задания функции и ее область
определения. Является ли эта функция элементарной? Является ли эта функция
непрерывной? Если нет, то укажите точку разрыва и найдите род разрыва.Запишите
один интервал, на котором функция терпит разрыв и один интервал, на котором
функция непрерывна.Укажите точку, в которой функция является бесконечно
большой и точку, в которой функция является бесконечно малой.Найдите асимптоты данной функции.Проведите полное исследование функции, используя общую
схему исследования.Постройте ее график.
Функция задана уравнением, то есть аналитическим способом.
Определим область определения функции: знаменатель не может
быть нулевым
Функция является элементарной, как сумма двух элементарных:
Функция не является непрерывной и имеет разрыв в точке. Определим род разрыва
Имеем точку разрыва второго рода.
Интервал, на котором функция терпит разрыв
Интервал, на котором функция терпит непрерывна
2) Функция является бесконечно большой в точке поскольку
Функция является бесконечно малой в точке поскольку
3) Найдем асимптоты данной функции
вертикальная асимптота,
поскольку
Проверим существование наклонных асимптот
4) Проведем полное исследование функции
1.
Область определения функции:
2.
Функция не периодическая
3. - функция ни четная, ни нечетная
4.
+
– +
0
maxmin
Функция
возрастает на промежутке
Функция убывает на промежутке
5.
+ +
0
max
Функция вогнута на всей области
определения. Точек перегиба нет
6. Асимптоты
- вертикальная асимптота
y
- наклонная
асимптота
5)
Построим график данной функции.
-15
-10
-5
15
10
5
-15
-10
-5
15
10
5
0
x
Задание 3.
Вычислите:
Определенный
интеграл, используя метод непосредственного интегрирования
Решение:
Неопределенный
интеграл, используя метод подстановки
Решение:
Неопределенный
интеграл, используя метод разложения на простейшие дроби
Преoбразуемдрoбь. Испoльзуяметoд
деления мнoгoчленoвуглoм, пoлучим:
Дальше
Таким oбразoм,
имеем:
Неопределенный
интеграл, используя метод интегрирования по частям
Решение:
Площадь
фигуры, ограниченной линиями .
Нарисуем
рисунок
Рис 1.
Площадь
фигуры вычислим по формуле
Можно
вычислить площадь от до и взять таких
две площади.