Полный текст:
Задача
1.
Руководство фирмы может
обратиться в шесть туристических агентств с просьбой об организации для своих
сотрудников трех различных туристических поездок. Сколько существует способов распределения 3
заявок между 6 агентствами, если каждое агентство может получить не более одной
заявки. Какова вероятность того, что заявки получат агентства с наибольшим
оборотом, причем, чем крупнее агентство, тем крупнее заявку оно получает.
Решение.
Предположим для простоты
рассуждений, что заявки, получаемые агентствами разные по своей
содержательности, а значит и вместимости в них некоторого перечня услуг. В этом
случае поставленную выше задачу можно переформулировать на язык комбинаторики и
задачу изложить в следующем аспекте: пусть имеется 6 мест и 3 элемента (все они
отличаются друг от друга), необходимо определить число комбинаций которыми
можно распределить 3 элемента по 6 местам при этом в каждом из мест должно
находится не более одного элемента.
Из элементов теории
комбинаторики это число определяется как
=
n – количество
ячеек
m – количество
элементов
В нашем случае это число
равно (n=6, m=3) = = 120
Итак, общее количество
возможных комбинаций 120.
Теперь ответим на второй
вопрос решаемой задачи. Для этого пронумеруем агентства от 1 до 6. Будем
считать, что номер агентства соответствует объему оборота (условно). Тогда, для
исследуемой проблемы нас интересуют агентства с номерами 4, 5 и 6. Заявки,
поручаемые руководством фирмы можно так же пронумеровать от 1 до 6, что будет
соответствовать затребованным объемам услуг. Поскольку заявки разные, то из
данных номеров можно составить некоторое поле комбинаций. Составим комбинации,
куда входят цифры 1, 2, 3 и 4: 123, 124, 234, 314. Составим комбинации с
наличием цифры 5: 152, 153, 154, 253, 254, 354. Составим комбинации с наличием цифры
6: 126, 136, 146, 156, 236, 246, 256, 346, 356, 456. Совершенно очевидно, что
заявки из 1 партии составленных комбинаций можно разместить по номерам 4, 5 и 6
n*3! раз, где n – число элементов партии
(в нашем случае n=4); для 2 партии это число равно n*4 при
n = 6; для 3 партии – n1*2+n2,
где n1 – число комбинаций, исключающих цифру 5, n2 –
число комбинаций, куда эта цифра входит (n1=6, n2=4).
Итак, общее число благоприятных исходов равно N = 24+24+16 = 64.
Классическое определение
вероятности:
P =
M – общее
число исходов. (M = )
Соответственно, согласно
классическому определению вероятности, значение этой величины равно:
P = (отношение благоприятствующих событий к общему
числу событий). Заметим, что данное число относится к той ситуации, когда
безразлично попадание заявок в тур. фирмы. Если рассматривать вариант с
распределением соответствующим объему заявки и обороту агентства, то это число
уже будет другое. Для рассматриваемой ситуации расположение заявок по
агентствам иное. Получается, что номера заявок в триаде чисел должны
располагаться в порядке возрастания, т.е. 123, 234 и т.д. Распишем эту комбинацию:
123, 134, 145, 156, 234, 235, 236, 245, 256, 345, 356, 456. Это комбинация,
которая удовлетворяет принципу: чем крупнее заявка, тем в более крупную фирму
она попадает и распределение идет в порядке возрастания номера. Таким образом,
благоприятное число исходов N =
12, а вероятность такого события равна p=0.1.
Ответ: всего существует 120
различных способов, вероятность получения заявок агентствами с наибольшим
оборотом P = (при «хаотичном» распределении заявок) и p=0.1, если заявки попадают в агентства по
принципу: чем крупнее заявка, тем в более крупную фирму она попадает и
распределение идет в порядке возрастания номера.
Задача
2.
Консультационная фирма претендует на 2 заказа от 2 крупных
корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной
работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма
получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится
к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит
оба заказа?
Решение.
Обозначим события:
А — «Получение консультационной работы в корпорации А»;
В — «Получение консультационной работы в корпорации В».
События А и В — зависимые, так как событие В зависит
от того, произойдет или нет событие А. По условию мы имеем Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9.
Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие B) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей. Отсюда получим
Р(АВ) = Р(А)Р( B/А) = 0,45 · 0,9 = 0,405.
Ответ:
искомая вероятность равна 0.405.
Задача 3.
Вероятность
наступления страхового случая равна
0.002. Какова вероятность того, что из 400 застрахованных предъявят иск:
а) 2 человека, б) не более 2 человек?
Решение.
Обозначим
вероятность наступления страхового случая p.
Искомая
вероятность ввиду большого числа испытаний и малой вероятности p определится
из формулы Пуассона:
а)
P(X=2) = ,
где = np = 400*0.002 = 0.8
P(X=2) = = 0.32*0.449 0.144
б) P(X2) = Pn,0
+ Pn,1 + Pn,2
Pn,0
= Pn,1 = Pn,2 =
P(X2) = 0.449+0.144+0.8*0.449 = 0.9522
Ответ:
искомые вероятности равны для случая а) 0.144 и для случая б) 0.9522.
Задача
4.
Для того, чтобы проверить
точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами
аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие
компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5 % ошибок. Для
проверки аудитор случайно отбирает 5 входящих документов. Составьте ряд
распределения случайной величины Х, равной числу ошибок, выявленных аудитором.
Найдите числовые характеристики этого распределения: математическое ожидание M(X); дисперсию
D(X); функцию распределения FX(x), постройте график функции распределения.
Найдите закон распределения случайной величины Y = |X|+1 и математическое ожидание M(Y).
Решение.
В
качестве случайной величины в задаче выступает X, которая равна числу
выявленных ошибок. Данная величина допускает ряд целых значений от 0 до 5.
Вероятность того, что в каком-либо на удачу выбранном отчете будет выявлена
ошибка, равна 0.05. Вероятность
противоположного события, т.е. такого, что ошибки не обнаружат, равна 0.95. Все
5 испытаний независимы, т.е. появление ошибки в одном из отчетов никак не
скажется на наличие или отсутствие таковой в остальных.
Очевидно, что случайная величина Х подчиняется
биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами n=5 и р = 0.05.
Итак, по условию задачи: n = 5; р = 0.05;
q = 0.95; X = т
Для того, чтобы построить
ряд распределения, необходимо вычислить вероятности событий, при которых
случайная величина принимает конкретное значение и затем свести все данные в
таблицу.
Расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле
Бернулли
P(X=m) = Pn,m = pmqn-m = pmqn-m
Подставляя данные для расчетов, находим
P(X=0) = q5 = 0.955 = 0.7737809375
P(X=1) = 5*0.05*0.954 =
0.2036265625
P(X=2) = 10*0.052*0.953
= 0.021434375
P(X=3) = 10*0.053*0.952
= 0.001128125
P(X=4) = 5*0.054*0.95 =
0.0000296875
P(X=5) = 0.055 =
0.0000003125
Заметим, что полученный ряд нормируется на единицу (сумма
всех членов ряда равна 1), а значит вероятности подсчитаны верно.
Основные формулы
для вычислений характеристик дискретной величины:
Математическое
ожидание M(X) = *pi
Дисперсия:
Функция
распределения:
Составляем таблицу и вычисляем основные характеристики, а
так же приводим график функции распределения:
Замечание: при построении графика 0 значение функции
соответствует X?0 и далее функция ступенчато нарастает, приближаясь к 1.
Построим теперь
закон распределения новой случайной величины Y=|X|+1.
Эти два события (|X| и 1) в общем случае
взаимонезависимы, поэтому для того, чтобы составить закон распределения |X|+1
величины необходимо складывать, а соответствующие им вероятности умножать. Заметим
при этом, что вероятность того что случайная величина принимает постоянное
значение равна 1
Имеем:
Заметим, что согласно свойству
математического ожидания, значения, вычисленные формально M(X) = *pi совпадают со свойством, которое
заключается в том, что математическое ожидание суммы, равно сумме
математических ожиданий. Причем мат. ожидание константы равно самой
постоянной.
Задача 5.
Плотность
распределения непрерывной случайной величины X имеет
вид
Найдите нормирующую константу,
математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение, функцию распределения,
дисперсию, вероятность того, что наблюдаемое значение X попадет в интервал [0;2].
Решение.
Нормирующую константу найдем
исходя из определения плотности и функции распределения. А именно:
(x)dx = 1, отсюда
= 1 x[-1;3]
C =
Функцию распределения ищем в
виде:
F(x) = (x+1)2dx =
Математическое ожидание:
M(x) = (x+1)2dx = (x+1)2dx = +
+ x[-1;3]
M(x) = 0.234375
+ 0.21875 + 0.05859375 = 0.51171875
Дисперсия:
D(x) = (x+1)2dx – [M(x)]2
= (48,8+40) + 0,109375 - 0,2618560791015625 = 0,8881439208984375
Среднеквадратичное отклонение:
= = 0.942
Найдем вероятность того, что Х
попадает в интервал [0;2].
P = (x+1)2dx = x[0;2]
P = 0.1015625
Задача
6.
По таблице распределения
двумерной случайной величины найдите частные законы распределения случайных
величин X и Y, математические ожидания M(XY), M(X), M(Y);
дисперсии D(XY), D(X), D(Y),
вычислите корреляционный момент K(XY), коэффициент корреляции r(XY).
Решение
Для того, чтобы найти частные законы распределения, поступим
следующим образом: перепишем таблицу еще раз:
X
Y
1
3
5
0
0.1
0
0
2
0.2
0.3
0.1
4
0
0.1
0.2
При этом сумма
вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.
Зная закон распределения
двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих.
Действительно, событие Х = х1 представляется собой
сумму несовместных событий (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2),…, (X = x1, Y = ym), поэтому р(Х = х1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) +…+ p(x1, ym) (в правой части находится сумма
вероятностей, стоящих в строке, соответствующей Х = х1). Так же можно найти
вероятности остальных возможных значений Х. Для определения
вероятностей возможных значений Y
нужно
сложить вероятности, стоящие в столбце таблицы, соответствующей Y = yj.
Ряд
распределения для X:
X
0
2
4
P
0.1
0.6
0.3
Ряд
распределения для Y:
Y
1
3
5
P
0.3
0.4
0.3
Найдем
математические ожидания:
M(XY) = M(X)*M(Y)
M(X) = 2.5, M(Y) = 3, M(XY) = 7.5
Найдем
дисперсии:
D(XY) = D(X)D(Y)
D(X) = 1.45, D(Y) = 2.4, D(XY) = 3,48
Корреляционный
момент:
K(XY) = - M(x))(yj
– M(y)))
K(XY) = ( x1 – M(x))* * (yj
– M(y))) + ( x2 – M(x))* * (yj
– M(y))) + ( x3 – M(x))* * (yj
– M(y))) = -2.5*(-0.2+0)
-0.5*(-0.4+0.2)+1.5*0.4=0.5+0.01+0.6=1,11
K(XY) = 1.11
Коэффициент
корреляции:
r(XY) = = 0.595
Задача 7.
Для
оценки деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности
были проведены выборочные бизнес обследования. Данные о показателях деловой
активности были получены в баллах: 6, 8, 8, 13, 10, 16, 10, 18, 10, 13, 13, 16,
10, 13, 16, 13, 16, 10, 13, 18.
Постройте ряд распределения предприятий по
данным деловой активности, начертите полигон распределения и определите средний
бал деловой активности предприятий, дисперсию, среднеквадратическое отклонение
и коэффициент корреляции. Объясните полученные данные.Разбив все данные по предприятиям на шесть
равных интервалов, постройте группированный ряд распределения. С помощью
гистограммы оцените плотность распределения. Проверьте гипотезу о нормальном
распределении выборки с помощью критерия -квадрат при уровне значимости 0.05.
Постройте доверительный интервал (точный или асимптотический) для
математического ожидания с уровнем доверия 0.95.
Решение.
Построим
ряд распределения в порядке возрастания балла деловой активности и вычислим
характеристики:
Ниже
построим полигон распределения
Разбиваем выборку на интервалы:
Длина интервала h = = = 2
Плотность распределения указана
на самой гистограмме в каждом ее столбце.
Проверка гипотезы о нормальном
распределении выборки с помощью критерия 2:
Для того, чтобы при заданном уровне значимости
проверить нулевую гипотезу H0: генеральная совокупность распределена нормально,
необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое
значение критерия и
по таблице критических точек распределения ,
по заданному уровню значимости ? и числу степеней свободы k=n–3 найти
критическую точку .
Если –
то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую
гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по
нормальному закону.
Доверительный интервал для
математического ожидания строим исходя из следующего:
Построим сначала
доверительный интервал для математического ожидания. Естественно этот интервал
взять симметричным относительно ; обозначим половину длины интервала.
Величину нужно выбрать так, чтобы
выполнялось условие
Попытаемся
перейти в левой части этого равенства от случайной величины к случайной величине , распределенной по закону
Стьюдента. Для этого умножим обе части неравенства на положительную величину :
Если иметь в своем
распоряжении таблицу значений интеграла
,
то величину можно найти
обратным интерполированием в этой таблице. Однако удобнее составить заранее
таблицу значений . В этой таблице приведены
значения в зависимости от
доверительной вероятности и числа степеней свободы . Определив по таблице 5 и полагая
мы найдем половину
ширины доверительного интервала и сам интервал
=
= 2.4460
= 2.446* = 3.349
Доверительный интервал будет:
= (9.151; 15,849)
Задача 8.
Имеются данные о возрастном составе
безработных мужчин в России в 1996 году.
Вычислите
ранговый коэффициент корреляции Спирмена,
установите, зависят ли исследуемые величины. Оцените значимость этого
коэффициента. Принять уровень значимости равным 0.01.
Решение.
Перепишем нашу таблицу с
добавлением рангов, причем ранжирование осуществим в порядке возрастания и
определим соответствующие характеристики:
= 1 – 6 *
= -
Связь между признаком Y и
фактором X умеренная и обратная
Оценка
коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Значимость коэффициента
ранговой корреляции Спирмена
По таблице Стьюдента находим tтабл:
tтабл (n-m-1;?/2) =
(5;0.01/2) = 4.032
Поскольку Tнабл < tтабл , то
принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими
словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.
Задача
9.
Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет
следующий вид: в администрации отделения работает 25 женщин и 15 мужчин, а в
число операционистов входит 35 женщин и
25 мужчин. По имеющимся данным постройте таблицу сопряженности и по ней при
уровне значимости = 0.05 проверьте гипотезу о независимости
признаков.
Решение
Таблица сопряженности:
Применим критерий :
= 100 *
+ 2 * + - 1) = 0.174
Критическое значение при уровне
значимости 0.05 равно 3.841. Отсюда заключаем, что гипотеза о независимости
признаков не может быть отвергнута, а это значит, что дискриминации при наборе
персонала по половому признаку отсутствует.
Задача
10.
Компания, выпускающая в продажу
новый сорт растворимого кофе, провела проверку вкусов покупателей по случайной
выборке из 400 человек и выяснила, что 220 из них предпочли новый сорт
остальным. Проверьте на уровне значимости 0.01 гипотезу о том, что, по крайней
мере, 52 % потребителей предпочтут новый сорт кофе.
Решение.
Предпочтение «по крайней мере»
говорит о том, что критическая область будет правосторонней, т.е. ожидаемые
частоты не менее 0.52.
Для проверки гипотезы H0 (p p
0) найдем
величину
U = ( - p0)*/
M = 220, n = 400, p0 = 0.52 q0 =
1 - p0
При этом, конкурирующая
гипотеза H1 (p < p0)
U = (0.55 – 0.52)/ 0.03*20/0.5 1.2
При конкурирующей гипотезе
найдем критическую точку левосторонней критической области.
Ф(Uкр) = = = 0.49
По таблице функции Лапласа
находим Uкр 2.33
Поскольку U > - Uкр, то нет оснований отвергать
гипотезу о том, что, по крайней мере, 52 % потребителей предпочтут новый сорт
кофе.