Полный текст:
1. Дана система линейных
уравнений. Требуется показать, что система совместна и найти ее решение тремя
способами: а) по формулам Крамера, выполнить проверку решения; б) методом
Гаусса; в) методом обратной матрицы.
Решение:
а) расширенная матрица системы
Найдем определители
Проверка
Решение верно
б) запишем расширенную матрицу системы
Поменяем местами строки, при этом 3-ю строку умножим на -1
Умножим первую строку на (-3) и сложим со второй
Умножим первую строку на (-4) и сложим с третей
Умножим третью строкуна -8 и сложим со второй, умноженной на 7
Получаем из третей строки
Из второй строки
Из первой строки
В результате
в) матричный метод
Матрица коэффициентов
Матрица свободных членов
Обратная матрица
Тогда
Таким образом
2. Даны
координаты векторов Найти:
длину вектора ;скалярное произведение
векторов и ;косинус угла между
векторами и ;векторное произведение
векторов и ;площадь параллелограмма и площадь
треугольника , построенных на векторах и ;смешанное
произведение векторов , и ;объем параллелепипеда и
объем пирамиды , построенных на векторах , и .
(1; –2; 6), (1; 0; 1), (2; –6; 7).
Решение:
а) найдем вектор
Его длина
b) скалярное
произведение векторов
c) косинус
угла
Длина векторов и
Тогда
d) векторное
произведение
e)площадь
параллелограмма равна скалярному произведению векторов и
площадь треугольника равна половине площади параллелограмма
f) смешанное произведение векторов
g)объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведениявекторов, и
объемпирамидыравен объема параллелепипеда
3. Даны вершины треугольника , Найти:
а) уравнения всех трех его
сторон;
б) систему неравенств,
определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол А;
г) длину высоты, проведенной из
вершины ;
д) площадь треугольника.
Решение:
а) уравнение стороны АВ
уравнение стороны АС
уравнение стороны ВС
б) в уравнение стороны АВ подставим координаты
т.С
в уравнение стороны АС подставим координаты
т.В
в уравнение стороны ВС подставим координаты
т.А
Получаем систему неравенств
в) внутренний угол А найдем по формуле
Найдем вектора
Их длины
Получаем
г) длину высоты найдем как
расстояние от точки А до прямой ВС
где
Получаем
д) площадь треугольника найдем
по формуле
Знак перед берем «+», т.к. площадь – число положительное
4. Вычислить пределы функций,
не пользуясь средствами дифференциального исчисления:
Решение:
а)
делим числитель и знаменатель на х2
б)
в)
делаем замену х-1=t
г)
делаем замену х2 = 1/t
5. Найти производные следующих функций:
а) ; б) ; в)
Решение:
а)
б)
в)
6.Составить
уравнение касательной и нормали к графику кривой y = f(x) в точке, абсцисса которой равна .
Решение:
Найдем производную
Значение
производной в т..
Значение
функции в т..
Уравнение касательной
7. Пользуясь правилом Лопиталя
найти пределы функций:
а) ; б) .
Решение:
а)
б)
8. Построить график функции y=f(x),
используя общую схему исследования функций.
Решение:
1) область определения функции . Точек разрыва нет.
2) y=0 прих=0
3)
функция ни четная, ни нечетная
4) найдем точки экстремума
при х=1
5) найдем точки перегиба
при х=2
6) асимптоты
Имеем горизонтальную асимптоту
Строим график функции
9. Найти неопределенные
интегралы
а) ;
б) ;
в) .
Решение:
а)
б)
делаем замену
в)
разложим дробь на сумму дробей
10. Воспользовавшись
соответствующим приложением предельного интеграла к задачам геометрии, найти
следующее:
а)площадь фигуры, ограниченную
линиями:
б) Объем тела, образованного
вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями.
, ,
Решение:
а)
площадь фигуры
где
Тогда
б) , ,
Объем тела вращения