Полный текст:
Содержание
Аналитическая часть
Краткая характеристика ООО»ХлебДом»……………………………3
Теоретические основы………………………………………………….4
Методология
и методы принятия решения…………………………4
Задачи линейного программирования. Методы поиска
оптимальных решений………………………………………………………………..10
Сетевое моделирование……………………………………………….11
Теория игр…………………………………………………………….12
Расчетная часть……………………………………………………………14
Задача линейного программирования………………………………14
Сетевая модель логистического процесса
предприятия……………17
Решение задач…………………………………………………………22
Список используемой литературы……………………………………………..30
1.Аналитическая часть
1.1.Краткая
характеристика ООО»ХлебДом»
Наименование
Общество с ограниченной ответственностью Группа
Компаний "ХлебДом"
ИНН
7734661960
ОГРН
1117746631980
ОКПО
30150228
Адрес
123290, Москва, Набережная Шелепихинская, 32, стр.1.
Основной вид деятельности - Розничная
почтовая (посылочная) торговля.
Дополнительный
вид деятельности - Розничная торговля автотранспортными средствами.
Дополнительный вид деятельности - Розничная
торговля в неспециализированных магазинах.
ООО «ХлебДом» - производитель мучных и кондитерских изделий:
- хлеб
1,2,3 сортов;
- баранки, сушки;
- макаронные изделия;
- пряники, печенье, вафли;
- торты.
Производственные цеха:
1. булочный;
2. кондитерский;
3. макаронный;
4. вафельный;
5. пряничный.
Основные
подразделения:
управление;сбыт;снабжение;бухгалтерия;транспортный;АХО;строители.
1.2.Теоретические
основы
1.2.1.Методология и методы принятия решения
Правило принятия
решения представляет собой
критерий, по которому выносится
суждение об оптимальности данного
конкретного исхода.
При этом действуют два типа
правил:
- численные
значения вероятных исходов,
- использование
данных значений.
К первому типу относятся
следующие правила принятия решений:
1. Максимаксное решение.
Он предусматривает решение по максимизации максимально возможных
доходов. Данный метод очень
оптимистичен, то есть
не учитывает возможные
потери и,
следовательно, самый рискованный.
2. Максиминное решение. Данное
решение предусматривает минимально
возможный доход. Метод
учитывает отрицательные моменты различных исходов и является более осторожным подходом к принятию решений.
3. Минимаксное решение –
это решение, при
котором минимизируются максимальные потери. Под потерями учитываются не
только реальные потери,
но и упущенные возможности.
4. Критерий Гурвича.
Данный критерий является
компромиссом
междумаксиминным и максимаксным
решениями.
Ко второму типу принятия
решений относятся решения, где учитываются
вероятности возникновения каждого исхода по доходам.
При данных методах составляется таблица доходов, в которой
указываются возможные варианты доходов
и вероятности их
наступления.
При использовании правила
максимальной вероятности
выбирается по одному из правил
первого типа один
из исходов, имеющий максимальную вероятность [3].
При использовании
правила оптимизации математических ожиданий,
высчитываются математические ожидания
для доходов или
потерь и лишь потом, выбирается оптимальный вариант.
Помимо этого для определения
отношения к риску
используется понятие
полезности. То есть
для каждого возможного
исхода кроме вероятности
рассчитывается полезность данного
исхода, которая также
учитывается при принятии решений.
Для принятия оптимальных
решений применяются следующие методы:
платежная матрица;дерево решений;методы прогнозирования.
Платежная матрица
предусматривает выбор наилучшей
из нескольких альтернатив
по конкретным установленным заранее критериям.
Платежная матрица является методом статистической
теории решений. При этом платеж представляет
собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся
следствием конкретной стратегии
в сочетании с конкретными обстоятельствами.
В общем виде
матрица понимается как платеж, который зависит от определенных событий, которые
фактически совершаются.
Платежная матрица полезна, когда:
1) существует ограниченное число
альтернатив или вариантов
стратегии
для выбора между ними.
2) то, что может случиться, с полной определенностью не известно.
3) результаты принятого решения зависят
от того, какая
выбрана
альтернатива и какие события.
При этом, важное значение имеет
дерево решений.
Дерево решений – метод науки управления
– схематичное представление проблемы принятия решений –
используется для выбора наилучшего направления действий из имеющихся вариантов
[2].
Пример дерева решений представлен на рисунке 1.
Используя дерево решений, руководитель может рассчитать
результат каждой альтернативы и выбрать наилучшую последовательность действий.
Результат альтернативы рассчитывается путем умножения ожидаемого результата на
вероятность и последующим суммированием таких же произведений, находящихся
правее на дереве решений[6].
Результат альтернативы рассчитывается путем умножения ожидаемого результата на
вероятность и последующим
суммированием таких же
произведений, находящихся правее на дереве решений.
Дерево решений – это схематическое представление
проблемы принятия решений.
Высший сорт (2,8)
На пшеничный хлеб
Линии сдобных
изделий
Сортов хлеба
Ржаного хлеба
Хлеб (0,8)
Хлеба
(0,3)
Хлеб (0,3)
Рисунок 1 – Дерево решений по предприятию
Концепция ожидаемого значения
является неотъемлемой частью метода дерева решений. Дерево решений можно
строить под сложные ситуации, когда
результаты одного решения влияют на последующие решения.
Таким образом, дерево решений
– это полезный инструмент для принятия последовательных решений.
Важным методом при принятии решений
является прогнозирование.
Прогнозирование выступает как метод,
в котором используются накопленный опыт
и текущие допущения.
Разновидности прогнозов:
1) экономические прогнозы
используются для предсказания общего
состояния экономики и объема сбыта для
конкретной компании или
по конкретному продукту.
2) Прогнозы развития технологии
позволят предсказать, разработки
каких
новых технологий можно ожидать, когда
это может произойти,
насколько экономически приемлемыми они могут быть.
3)
Прогнозы развития конкуренции
позволяют предсказывать стратегию
и тактику конкурентов.
4) Прогнозы на основе опросов и
исследований дают возможность предсказать, что произойдет в сложных ситуациях.
5)
Социальное прогнозирование используется для предсказания изменений в социальных
установках людей и состояния общества.
Методы прогнозирования:
- неформальные методы;
- количественные;
- качественные [7].
К неформальным методам относят:
- вербальная информация. Данная информация
затрагивает все основные
факторы внешнего окружения,
представляющие интерес для организаций.
-
письменная информация. Информация
легко доступна, но может быть не свежей
и не особенно глубокой;
- промышленный шпионаж. Это сбор
информации о конкурентах.
Количественные методы используют для прогнозирования.
Два типичных
метода количественного прогнозирования – это анализ временных рядов
и каузальное (причинно-следственное)
моделирование.
Анализ временных
рядов.
Анализ является методом выявления
образцов и тенденций прошлого и
продления их в будущее. Данный метод анализа часто используется для
оценки спроса на товары и услуги, оценки потребности в
запасах, прогнозирования структуры сбыта, характеризующегося сезонными
колебаниями, ил потребности в кадрах.
Каузальное (причинно-следственное) моделирование.
Каузальное моделирование – сложный количественный метод прогнозирования из
числа применяемы сегодня.
Каузальное моделирование – это попытка
спрогнозировать то, что произойдет
в подобных ситуациях,
путем исследования статистической зависимости между
рассматриваемыми факторами и другими переменными.
Прогнозирование
осуществляется непосредственно
экспертами.
Самым распространенным методом качественных методов прогнозирования является мнение жюри.
Этот метод заключается в соединении и
усреднении мнений экспертов в
релевантных сферах. Разновидностью этого метода является «мозговой штурм». Совокупное
мнение сбытовиков. Опытные торговые
агенты часто
предсказывают будущий спрос.
Модель ожидания потребителя основана на
прогнозе по результатам опроса клиентов
организации.
Метод
экспертных оценок представляет
собой процедуру,
позволяющую
группе экспертов приходить
к согласию. Эксперты
заполняют подробные
вопросник по поводу
рассматриваемой проблемы.
Каждый эксперт
затем получает свод
ответов других экспертов, и его просят заново рассмотреть свой
прогноз, и если
он
не
совпадает с прогнозами
других, просят объяснить,
почему это так.
Процедура повторяется обычно три или четыре раза, пока
эксперты не приходят к единому мнению.
1.2.2.Задачи
линейного программирования. Методы поиска оптимальных решений
Линейное программирование представляет собой метод выбора не отрицательных значений переменных минимизирующих или максимизирующих значения линейной целевой функции, при наличии определенных ограничений. При относительно небольшой размерности переменных до 10-ти, в задачах линейного программирования (ЛП) используются итерационные процедуры в виде конечного числа шагов.Данный метод решение системы линейных уравнений называется симплексным методом [5]. Симплекс – многогранник. Симплексный метод – это совокупность итерации, совершаемая ЛПР от отправного наихудшего варианта целевой функции к экстремальному значению целевой функции, при заданной системе ограничений. В качестве экстремума принимается минимальное или максимальное значение целевой функции. При этом целевая функция и задача линейного программирования обладают свойством двойственности. Использование графического способа удобно только при решении задач линейного программирования с двумя переменными. При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата. Рассмотрим общий метод решения задач линейного программирования.Симплекс-метод дает экономическую интерпретацию полученного решения и позволяет провести анализ модели на чувствительность.Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. Симплекс-метод используется при решении большинства оптимизационных задач.
1.2.3.Сетевое
моделирование
Программы
на моделирование будущей сети, достаточно сложны.
Целью моделирования является определение
оптимальной топологии, определение рабочих характеристик сети и возможных
этапов будущего развития.
На
модели можно опробовать влияние всплесков определенных запросов или реализовать
режим коллапса в Интернете [1].
В
процессе моделирования выясняются следующие параметры:
Предельные пропускные способности различных фрагментов сети и
зависимости потерь пакетов от загрузки отдельных станций в отношении внешних каналов.Время отклика основных серверов в различных режимах.Влияние установки новых серверов на перераспределение
информационных потоков.Решение оптимизации топологии при возникновении узких мест в сети.Выбор того или иного типа сетевого оборудования.Выбор внутреннего протокола маршрутизации и его параметров.Определение предельно допустимого числа пользователей того или
иного сервера.Оценка необходимой полосы пропускания внешнего канала для
обеспечения требуемого уровня QOS.Оценка влияния мультимедийного трафика на работу локальной сети.
При
моделировании нужно учесть, что ваша машина должна в той или иной мере
воспроизвести действия всех машин в моделируемой сети.
Результаты
моделирования должны иметь точность 10-20%, так как этого достаточно для
большинства целей и не требует слишком много машинного времени.
Параметры
могут быть определены и прямым измерением. Чем точнее вы воспроизводите
поведение сети, тем больше машинного времени это потребует.
При
моделировании необходимо учитывать и характер решаемых на ЭВМ задач.
www/ftp-сервер или обычная персональная рабочая станция создают различные
сетевые трафики. Определенное влияние на результат могут оказывать и
используемые операционные системы.
В
случае моделирования реальной сети проводят соответствующие измерения.
1.2.4.Теория игр
Тео?рия игр представляет собой математический метод изучения оптимальных стратегий в играх.
Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих
борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и
использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу —
в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие
стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках [4].
Теория игр является разделом прикладной математики, точнее — исследования операций. Чаще всего методы
теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других.
2.
Расчетный отдел
2.1.
Задача линейного программирования
Предприятие – ООО «ХлебДом».
Предприятие по выпуску хлеба и кондитерских.
Для составления задачи используем 2 сорта ржаного хлеба.
Обслуживающие точки – 12 торговых точек в черте
города.
Составим задачу линейного программирования
по суточному выпуску хлеба двух сортов.
Постановка задачи – получение
максимальной прибыли.
Установим, сколько булок хлеба первого и второго вида необходимо выпечь
предприятию в сутки.
Переменные условия – суточный выпуск
хлеба каждого вида.
– суточный объем
производства черно хлеба сорта «урожайный, [шт/сутки];
– суточный объем производства черного хлеба сорта
«бородинский», [шт/сутки];
Цель
задачи – добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е.
критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который
должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину
суточного дохода от продажи хлеба обоих сортов, необходимо знать:
их объемы производства,
т.е. и черного хлеба в сутки;прибыль от их реализации
– по условию, соответственно 200 и 100 $.
Таким
образом, доход от продажи суточного объема производства хлеба первого вида
равен руб. в сутки, а от продажи хлеба другого сорта– руб. в сутки.
Суммы дохода от продажи хлеба двух видов:
[руб/сутки]
Введем ограничения. Их можно разделить
на 3 группы:
1)
расходом продуктов при замесе теста;
2)
суточным объемом технологических линий;
3)неотрицательностью
объемов производства.
Запишем эти ограничения в математической форме:
предположим
выпуск хлеба двух сортов
планируется по необходимости –
соответственно каждого сорта 60 и 70 элементов.
Запишем
ограничение
[шт/сутки]
Ограничения
по суточному объему первой и второй технологических линий имеют вид:
[шт/сутки]
Неотрицательность объемов
производства задается как
.
Запишем математическую модель
Определим оптимальное решение
Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек
пересечения этих прямых с осями координат (рисунок 1).
прямая (1) – точки (0;140), (120;0),
прямая (2) проходит через точку параллельно оси ,
прямая (3) проходит через точку параллельно оси .
Х2
140 (3)
Б (1)
(2)
С
А С
0
Д 120 х1
Рисунок 1 - Графическое
решение задачи о производстве ржаного хлеба
Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное
ограничение (1), получим , что является истинным неравенством, поэтому стрелкой
обозначим полуплоскость, содержащую
точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (1). Аналогично определим
допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у
соответствующих прямых ограничений (рисунок 1). Общей областью, разрешенной
всеми ограничениями, т.е. ОДР является четырехугольник АБСД.
Целевую
прямую можно построить по уравнению
Точки
пересечения с осями – (0;80) и (40;0)
Строим вектор из точки (0;0) в точку
(200;100).
Точка С – это последняя вершина четырехугольника допустимых
решений ABCD, через которую
проходит целевая прямая, двигаясь по
направлению вектора . Поэтому С – это точка максимума
Определим
координаты точки С из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)
Получили точку D(120;223) [шт/сутки].
Максимальное значение равно [руб/сутки].
Таким образом, наилучшим режимом работы предприятия является
ежесуточная выпечка хлеба одного сорта в
количестве - 120 булок, и хлеба другого
сорта – 223 булок. Доход от продажи составит
46300 руб. в сутки.
2.2.
Сетевая модель логистического процесса предприятия
Рассмотрим
сетевую модель логистического процесса – система сбыта.
Система
обслуживания потребителей представлена отделом сбыта.
Состав
отдела сбыта:
- Начальник
отдела по оптовым поставкам – 1 чел.;
- Диспетчер
по работе с магазинами города – 2 чел.;
- Старший
оператор по работе с клиентами – 1чел. ;
- Оператор
отдела сбыта; - 1 чел.
- Менеджер
региональных продаж – 1чел.;
- Менеджеры
по работе с магазинами города – 3 чел.
- Кладовщики
складов готовой продукции – 3 чел.;
- Грузчики-экспедиторы
отдела сбыта – 4 чел.;
- Грузчики
отдела сбыта – 7 чел.
Итого численность
отдела сбыта – 23 чел.
Отдел
сбыта входит в состав коммерческой
службы ООО «ХлебДом».
Помимо этого коммерческую службу
представляют:
- Отдел
маркетинга (начальник отдела, инженер аналитик, инженер по рекламе);
- Транспортный
отдел (начальник отдела, диспетчер, водители – 15 чел, слесари – 2 чел,
автотранспорт – 28 ед.).
Организационная
структура управления коммерческой (сбытовой) службой предприятия представлена
на рисунке 2.
Основные
каналы распределения продукции – прямые и косвенные.
Прямые каналы распределения (канал нулевого
уровня):
-
специализированный магазин розничной торговли в Центральном районе;
-
специализированный магазин розничной торговли в Северо-западном районе;
-
специализированный магазин розничной торговли в Южном районе.
Доставка
продукции в магазины (розничная торговля) города осуществляется кольцевым развозом автотранспортом
предприятия. Диспетчером отдела сбыта принимаются заявки и формируются 5 рейсов по городу. Развозку продукции
осуществляют грузчики-экспедиторы отдела сбыта и водители транспортного отдела.
Вертикальное взаимодействие.
Горизонтальное взаимодействие.
Рисунок 2 - Организационная структура управления сбытовой службой ЗООО «ХлебДом»
Косвенные каналы распределения:
- самовывоз - магазин « Кондитерская сказка».
-
самовывоз - Оптовая база
«Сластена»
- доставка продукции – Московская,
ленинградская области.
Схема
каналов товародвижения представлена на рисунке 3.
магазины города (доставка)
частные предприниматели
самовывоз
одноуровневый канал
многоуровневый
канал
канал нулевого
уровня
рисунок
3 - Схема каналов товародвижения предприятия
При
доставке продукции крупным и средним оптовикам, транспортные издержки
уменьшаются в зависимости от объема поставки и за счет оплаты транспортных
расходов частью оптовиков.
Составим
сетевую модель доставки продукта за сутки по торговым точкам города (рисунок
4).
Интервал
Время,
мин
Интервал
Время,
мин
(1;2)
12
(6;10)
9
(1;3)
9
(7;8)
14
1;4)
13
(8;10)
23
(2;5)
7
(10;11)
10
(2;6)
18
(2;3)
6
(3;7)
12
(2;4)
9
(4;6)
22
(3:4)
11
(4;7)
17
(6;7)
9
(5;9)
5
(5;6)
9
(6;9)
16
(5;8)
12
(8;9)
5
(9;11)
19
(9;10)
6
Определим оптимальный путь
машины по всем торговым точкам по временному показателю.
1 2 3 4 7
6 5 8
9 10 11
Критическое
время=12+6+11+17+9+9+12+5+6+10=87 мин.
2.3.
Решение задач
Задание
1
Найти
максимум функции F=x1+3x2 при ограничениях:
10х1+3х2?30
-х1+х2?5
х1+х2?10
х1?2
х2?0
Геометрический
метод
Х2
С
Х1
По
условию ограничений неравенства сверху
точка С имеет максимальное значение С (10;0)
Симплексный метод
10х1+3х2?30
-х1+х2?5
х1+х2?10
х1?2
х2?0
Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение: 10х1 + 3х2 + х3 ?30 - х1 + х2 + х4 ?5 х1 + х2 + х5 ?10х1+х6?2
х2+х7?0 Переведем систему неравенств в уравнение: х3 = 30 – (10х1 + 3х2) х4 = 5 – (-х1 + х2) х5 = 10 – (х1 + х2) х6=2-х1х7=-х2 Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию, которая будет иметь вид: L(х1х2) = С1х1 + С2х2 + С3х3 + С4х4 + С5х5 = х1 + 3х2 + 0*х3 + 0*х4 +0*х5+0*х6+0*х7Получаем (х1, х2,0, 0, 0, 0, 0)Выразим х3; х4; х5; х6; х7 через х1 и х2 х3 = 30 – 10х1 - 3х2 х4 = 5 +х1 -х2 х5 = 10 – х1 - х2 х6=2-х1х7=-х2 Модель составлена и в этой модели имеются: х1; х2 – независимые(свободные) переменные; х3; х4; х5; х6; х7 – базисные переменные. По составленной модели используют итерационные процедуры метода, составим альтернативные варианты решения системы уравнений с семью неизвестными.Первое решение (0, 0,30, 5, 10, 2, 0)Целевая функция будет равняться: L(х1х2) = С1х1 + С2х2 + С3х3 + С4х4 + С5х5 = х1 + 3х2 + 0*х3 + 0*х4 +0*х5+0*х6+0*х7L= 0*х1 + 0*х2 + 30*0 + 5*0 + 10*0=2*0+0*0 =0Альтернативные вариантыА - (3,0,0,0,0,0,0)Б - (5,0,0,0,0,0,0)С - (10,0,0,0,0,0,0)Д - (2,0,0,0,0,0,0,0) Е - (0, 5,0,0,0,0,0)Р – (0,10,0,0,0,0,0)L(х1х2) = 3*10=30 L(х1х2) = 5*10=50 L(х1х2) = 10*10=100 - максимальное значениеL(х1х2) = 2*10=20 L(х1х2) = 3*5=15L(х1х2) = 3*10=30 Следовательно решением будет точка С (10; 0)
Задача 2
Рассчитать резерв времени для
каждой работы, найти критический путь и временные параметры
при составлении некоторого проекта выделено 11 событий: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11 и 24 связывающие их работы: (1>4), (1>3), (1>2), (2>3),
(2>5), (3>4), (3>5), (4>6), (4>8), (5>6), (5>7), (5>10), (6>8), (6>9), (7>9),
(8>11), (9>10), (9>11), (10>11)
Работа
Время выполнения
1 - 4
5
1 – 3
2
1 - 2
9
2 – 3
1
2 – 5
2
3 – 4
1
3 – 5
7
4 – 6
5
4 – 8
1
5 – 6
4
5 - 7
4
5 - 10
5
6 - 8
6
6 – 9
2
7 – 9
5
8 – 11
2
9 – 10
1
9 – 11
2
10 – 11
6
Графическое изображение
Наиболее
ранние сроки:
E(1)
= 0.
E(2)
= E(1) + t(1,2) = 0 + 9 = 9
E(3)
= E(1) + t(1,3) = 0 + 2 = 2
E(4)
= E(1) + t(1,4) = 0 + 5 = 5
E(5)
= E(3) + t(3,5) = 2 + 7 = 9
E(5)
= E(2) + t(2,5) = 9 + 2 = 11
E(6)
= E(4) + t(4,6) = 5 + 5 = 10
E(6)
= E(5) + t(5,6) = 11 + 4 = 15
E(7)
= E(5) + t(5,7) = 11 + 4 = 15
E(8)
= E(4) + t(4,8) = 5 + 1 = 6
E(8)
= E(6) + t(6,8) = 10 + 6 = 16
E(9)
= E(7) + t(7,9) = 17+ 5 = 24
E(9)
= E(6) + t(6,9) = 13+ 2 = 15
E(10)
= E(5) + t(5, 10) = 5 + 9 = 14
E(10)
= E(9) + t(9,10) = 24 + 1 = 25
E(11)
= E(10) + t(10,11) = 15 + 6 = 21
E(11)
= E(9) + t(9,11) = 24 + 2 = 26
E(11)
= E(8) + t(8,11) = 16 + 2 = 18.
E(11) = max[21, 26,
18]=26
Проект, таким образом, не может
завершиться раньше чем через 26 единиц времени.
Рисунок
2
рассчитаем
резервы времени событий.
R(1)=0.
R(2)=0.
R(3)=0.
R(4)=0.
R(5)=2
R(6)=3.
R(7)=0.
R(8)=10.
R(9)=9
R(10)=9
R(11)=8
Критический путь представлен на рисунке 2
Критический
путь: 1 – 2 – 5 – 7 – 9 – 11, t=9+2+8+5+2=26
Проект, таким образом, не может завершиться
раньше чем через 26 единиц времени.
Найдем полные, свободные и независимые
резервы времени.
Полный
резерв времени работы:
Свободный резерв времени
работы:
Независимый резерв времени
работы:
Список используемой литературы
Бородакий
Ю.В. Линейное программирование в современных задачах оптимизации Издательство:
МИФИ Год: 2008.Л. Планкетт, Выработка и принятие управленческих решений, М.:
«ПРИОР» 1998 г.Лунгу К. Н.
Линейное программирование. Руководство к решению задач. 2005, 128 с.М. Эддоус, Р. Стэнсфилд, Методы принятия решений, М.: ИНФРА-М 1999 г.Н.Л. Карнадская, Принятие управленческого решения: Учебник для
вузов. – М.: ЮНИТИ, 1999 г.Палий И.А. Линейное
программирование. Учебное пособие/ Издательство:
Москва, 2008, 256 с.Р.А. Фатхутдинов, Управленческие решения: Учебник. 4-е изд.,
перераб. И доп. – М.: ИНФРА-М, 2001
г.