Полный текст:
Использованная литература:
1. Пособие «Высшая математика» - М., РИУ, ВК1
T=6.
Задание 1.
Проверьте, является ли
функция F(x) первообразной
для функции f(x), если
, .
Решение
(стр. 31)
, .
Функция F(x) является
первообразной для функции f(x), если
.
Найдем производную:
.
Равенство выполняется,
следовательно, функция F(x) является первообразной для функции f(x).
Задание 2.
Объясните геометрический
смысл первообразной на примере функции
.
Решение
.
(стр.33)
Первообразная с геометрической
точки зрения представляет собой кривую, у которой тангенс угла наклона
касательной в каждой ее точке есть заданная функция f(х) абсциссы этой точки.
Пусть у = F(x) — уравнение
искомой кривой. Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла
наклона касательной к кривой у= F'(х) в точке с
абсциссой х равен значению производной в этой точке. Значит, нам нужно найти
такую функцию F(x), для которой
F'(x) = f(x).
Следовательно, наша задача
свелась к основной задаче интегрального исчисления — к нахождению первообразной
от данной функции. Поэтому уравнение искомой кривой имеет вид
.
Одной из первообразных
функции является .
Одной из первообразных
функции является .
Тогда так как начальное
условие не задано, то для данной функции будет семейство кривых, у которых
тангенс угла наклона касательной в каждой ее точке есть заданная функция f(х) абсциссы этой точки.
.
Задание 3.
Вычислите интегралы методом
разложения
.
Решение
(стр.35)
Задание 4.
Вычислите интегралы методом
разложения
.
Решение
(стр.35)
Задание 5.
Вычислите интегралы методом
подстановки
.
Решение
(стр.36)
Пусть , ,
, .
Тогда
.
Задание 6.
Вычислите интегралы методом
интегрирования по частям
.
Решение
(стр.39)
Формула интегрирования по
частям имеет вид:
.
Пусть , .
Пусть , .
Подставим в правую часть
формулы интегрирования по частям:
.
Задание 7.
Вычислите интегралы
рациональной дроби
.
Решение
(стр.33)
.
Разложим дробь в сумму
простейших дробей методом неопределенных коэффициентов:
.
Приравняем коэффициенты при
равных степенях х:
Тогда имеет место разложение:
.
Задание 8.
Вычислите определенный
интеграл
.
Решение
(стр.59)
Пусть , ,
.
Пересчитаем пределы
интегрирования:
, ,
, ,
Тогда
.
Задание 9.
Найдите площадь фигуры,
ограниченной линиями
, .
Вычисления обоснуйте.
Решение
(стр.57)
Площадь фигуры, ограниченной
линией на отрезке равна определенному
интегралу:
.
и .
и .
Построим графики линий:
Найдем абсциссы точек
пересечения линий:
,
,
.
Тогда площадь фигуры равна:
Задание 10.
Дано дифференциальное
уравнение
.
1. Определите порядок этого
уравнения.
2. Является ли это уравнение
уравнением с разделяюшимися переменными? Ответ обоснуйте.
3. Является ли это уравнение
уравнением в полных дифференциалах? Ответ обоснуйте.
4. Является ли это уравнение
однородным дифференциальным уравнением? Ответ обоснуйте.
5. Является ли это уравнение
линейным дифференциальным уравнением? Ответ обоснуйте.
6. Найдите общее решение
уравнения.
Решение
(стр.73-80)
1. Определите порядок этого
уравнения.
Дифференциальное уравнение
первого порядка (порядок производной – первый)
2. Является ли это уравнение
уравнением с разделяюшимися переменными? Ответ обоснуйте.
Да, является уравнением с
разделяюшимися переменными, т.к. уравнение представимо в виде
.
3. Является ли это уравнение
уравнением в полных дифференциалах? Ответ обоснуйте.
Уравнение называется
уравнением в полных дифференциалах, если оно представимо в виде
,
Причем
Преобразуем уравнение:
,
.
,
Значит, дифференциальное уравнение
не является уравнением в полных дифференциалах.
4. Является ли это уравнение
однородным дифференциальным уравнением? Ответ обоснуйте.
Не является однородным, т.к.
не может быть представлено в виде
5. Является ли это уравнение
линейным дифференциальным уравнением? Ответ обоснуйте.
Преобразуем уравнение:
,
Так как уравнение не
представимо в виде:
,
То дифференциальное уравнение
не является линейным.
6. Найдите общее решение
уравнения.
Решим уравнение как уравнение
с разделяющимися переменными:
Проинтегрируем обе части
уравнения:
.