Полный текст:
1) Найти область сходимости
Решение.
. Найдем радиус сходимости
по формуле Коши-Адамара ,
Следовательно, ряд сходится в области
Определим сходимость ряда на концах интервала. Пусть , тогда ряд . Этот ряд сходиться, так как сходится ряд , обобщенный гармонический ряд с .
Пусть , ряд сходится.
Следовательно, исходный ряд сходится в области .
2) Вычислить определенный интеграл с точностью 0,0001 путем
предварительного разложения подынтегральную функцию в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Решение.
. Разложим функция sin(x) в
ряд Тейлора, . Тогда
Данный ряд лейбницева типа, поэтому если для нахождения
приближенного значения данного интеграла взять членов ряда, то погрешность не превзойдет -го члена ряда. Поэтому
можно найти из , откуда ,
Тогда