Содержание
Введение…………………………………………………………………….3
Глава 1. Теоретические основы формирования универсальных учебных действий в процессе изучения школьниками начального курса математики..6
1.1. Определение понятия «универсальные учебные действия». Их классификация…………………………………………………………………….6
1.2. Структура и характеристика логических универсальных учебных действий………………………………………………………………………….13
1.3. Методико-математические основы обучения младших школьников делению натуральных чисел с остатком……………………………………….20
1.4. Методика обучения младших школьников делению натуральных чисел с остатком…………………………………………………………………27
Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по формированию у младших школьников логических универсальных учебных действий у младших школьников в процессе обучения делению натуральных чисел с остатком...35
2.1. Диагностика исходного уровня сформированности логических универсальных учебных действий у младших школьников на констатирующем этапе исследования…………………………………………35
2.2. Диагностика исходного уровня сформированности у младших школьников умения делить натуральные числа с остатком на констатирующем этапе исследования …………………………………………48
2.3. Обучающий эксперимент по формированию у младших школьников логических универсальных учебных действий в процессе обучения делению натуральных чисел с остатком……………………………50
2.4. Анализ и интерпретация результатов исследования ……………..54
Заключение………………………………………………………………. 56
Список литературы……………………………………………………….59
Приложения……………………………………………………………….64
Введение
Необходимость реализации требований государственного стандарта начального общего образования (ФГОС НОО) в области создания новой личностно ориентированной модели развивающего обучения младших школьников ставит перед образовательными учреждениями всех видов задачу: организовать обучение школьников выполнению универсальных учебных действий (УУД), которые позволяют сформировать у них способность к самоорганизации своей деятельности.
Проблема педагогического управления формированием универсальных учебных действий младших школьников, к сожалению, в настоящее время лишена обособленной области решения. Нет системности педагогического управления, проблемного анализа, согласованности действий субъектов начального образования на разных уровнях обучения.
Актуальность темы данной работы обосновывается насущным следованием образовательному стандарту, обязывающему выполнение образовательной программы начального общего образования в сфере освоения младшими школьниками универсальных учебных действий, обеспечивающих овладение ключевыми компетенциями.
Под универсальными учебными действиями в современной педагогической науке понимается совокупность обобщенных действий учащегося, а также связанных с ними умений и навыков учебной работы, обеспечивающих способность субъектов к самостоятельному усвоению новых знаний, умений и компетентностей, к сознательному и активному присвоению нового социального опыта, к саморазвитию и самосовершенствованию.
Основа всех этих качеств закладывается в период начального обучения ребенка в школе: полученный в это время опыт во многом предопределяет не толькоуспешностьобучения личности в течение всей последующей жизни, но и ее развитие, становление. Поэтому перед современной начальной школой стоит задача организации процесса обучения таким образом, чтобы учение стало одной из ведущихличностныхпотребностей, определялось внутренними мотивами учащихся, чтобышкольникбыл инициатором своей учебной деятельности.
Деление с остатком одна из сложных для освоения учащимися тем в начальном курсе математики, так как вызывает трудности с освоением.
Необходимость разрешения сформулированного противоречия обусловливает актуальность настоящего исследования и определяет его проблему: поиска методических условий, способствующих эффективному формирования у младших школьников логических универсальных учебных действий в процессе обучения их делению натуральных чисел с остатком.
Цель исследования: выявить методические условия, способствующие эффективному формированию логических универсальных учебных действий у младших школьников.
Объект исследования: процесс формирования логических универсальных учебных действий у младших школьников при изучении начального курса математики.
Предмет исследования: процесс формирования логических универсальных учебных действий у младших школьников при изучении деления натуральных чисел с остатком.
Гипотеза исследования состоит в предположении того, что предположение о том, что последовательное формирование отдельных видов логических УУД на всех этапах изучения деления натуральных чисел с остатком способствует эффективному формированию указанного компонента в целом
Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:
1. Выявить психолого - педагогические основы формирования универсальных учебных действий у младших школьников.
2. Определить теоретические основы формирования логических универсальных учебных действий у младших школьников в процессе изучения начального курса математики.
3. Выделить методико математические основы обучения младших школьников делению натуральных чисел с остатком.
4. Провести опытно-экспериментальную работу по формированию у младших школьников логических универсальных учебных действий у младших школьников в процессе обучения делению натуральных чисел с остатком.
Для решения поставленных задач был использован комплекс методов исследования, соответствующий основным этапам его проведения:
- теоретические: анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, синтез, сравнение, работа с понятием и др.;
- наблюдение, опытно-экспериментальная работа, математическая обработка результатов исследования и др.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложений.
Глава 1. Теоретические основы формирования универсальных учебных действий в процессе изучения школьниками начального курса математики
1.1. Определение понятия «универсальные учебные действия». Их классификация
Образование становиться не только процессом усвоения знаний, но и способом овладения социальной реальностью. Готовность к непрерывному образованию, повышенная профессиональная мобильность, готовность к сотрудничеству, активная гражданская позиция, творческие способности востребованные качества личности, которые определяют цели образования: общекультурное, личностное и познавательное развитие учащихся.
Современные образовательные тенденции отдают приоритет деятельности как системообразующему фактору в обучении. Тем не менее, деятельностный и знаниевый подходы не противоречат, а обогащают друг друга.
Модель образовательной системы, построенная на основе симбиозе деятельностного и знаниевого подходов закреплена в концепции государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения. Согласное основной идеи данного стандарта на первый план выходит выделение фундаментального ядра общего образования, включающего не только совокупность наиболее существенных идей науки и культуры, но и программу развития универсальных учебных действий.
Понятие «универсальные учебные действия» связано с умением учиться, предполагающим через активное освоение нового социального опыта формирование способности к саморазвитию и самосовершенствованию [3].
В более узком (собственно психологическом) значении этот термин можно определить, как совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование соответствующих умений, включая самоорганизацию процесса учения. В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, то есть способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. В более узком (собственно психологическом) значении этот термин можно определить как совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование умений, включая организацию этого процесса.
Способность учащегося самостоятельно успешно усваивать новые знания, формировать умения и компетентности, включая самостоятельную организацию этого процесса, то есть умение учиться, обеспечивается тем, что универсальные учебные действия как обобщенные действия открывают учащимся возможность широкой ориентации как в различных предметных областях, так и в строении самой учебной деятельности, включающей осознание ее целевой направленности, ценностно-смысловых и операциональных характеристик. Таким образом, достижение умения учиться предполагает полноценное освоение школьниками всехкомпонентов учебной деятельности, включая:учебныедействияиоперации(ориентировка, преобразование материала, контроль и оценка). Умение учиться существенный фактор повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, формирования умений и компетенций, образа мира и ценностно-смысловых оснований личностного морального выбора [7].
Функции универсальных учебных действий:
обеспечение возможностей учащегося самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности;
создание условий для гармоничного развития личности и ее самореализации на основе готовности к непрерывному образованию; обеспечение успешного усвоения знаний, формирования умений, навыков и компетентностей в любой предметной области.
Универсальный характер учебных действий проявляется в том, что они носят надпредметный, метапредметный характер; обеспечивают целостность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития личности; обеспечивают преемственность всех ступеней образовательного процесса; лежат в основе организации и регуляции любой деятельности учащегося независимо от ее специально-предметного содержания. Универсальные учебные действия обеспечивают этапы усвоения учебного содержания и формирования психологических способностей учащегося.
Виды универсальных учебных действий
В составе основных видов универсальных учебных действий, соответствующих ключевым целям общего образования, можно выделить четыре блока:личностный;регулятивный(включающий также действиясаморегуляции);познавательный;коммуникативный [22].
Личностные действияобеспечивают ценностно-смысловую ориентацию учащихся (знание моральных норм, умение соотносить поступки и события с принятыми этическими принципами, умение выделить нравственный аспект поведения) и ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях. Применительно к учебной деятельности следует выделитьтри видаличностных действий:
- личностное, профессиональное, жизненноесамоопределение;
- смыслообразование, то есть установление учащимися связи между целью учебной деятельности и ее мотивом, другими словами, между результатом учения и тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется. Ученик должен задаваться вопросом: «Какое значение и какой смысл имеет для меня учение?» и уметь на него отвечать;
- нравственно-этическая ориентация, в том числе и оценивание усваиваемого содержания (исходя из социальных и личностных ценностей), обеспечивающее личностный моральный выбор.
Регулятивные действияобеспечивают учащимся организацию их учебной деятельности.
К ним относятся:
- целеполаганиекак постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;
- планирование- определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий;
- прогнозирование- предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;
- контрольв форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;
- коррекция- внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия в случае расхождения эталона, реального действия и его результата;
- оценка- выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения;
- саморегуляциякак способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и к преодолению препятствий.
Познавательные универсальные действиявключают: общеучебные, логические, а также постановку и решение проблемы [30].
Общеучебные универсальные действия:
- самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;
- поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;
- структурирование знаний;
- осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;
- выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
- рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
- смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели; извлечение необходимой информации из прослушанных текстов различных жанров; определение основной и второстепенной информации; свободная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публицистического и официально-делового стилей; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;
- постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.
Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:
- моделирование - преобразование объекта из чувственной формы в модель объекта(пространственно-графическая или знаково-символическая);
преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область [23].
Логические универсальные действия:
- анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);
- синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;
-выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;
- подведение под понятие, выведение следствий;
- установление причинно-следственных связей;
- построение логической цепи рассуждений;
- доказательство;
- выдвижение гипотез и их обоснование.
Постановка и решение проблемы:
- формулирование проблемы;
- самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.
Коммуникативные действияобеспечивают социальную компетентность и учет позиции других людей, партнеров по общению или деятельности; умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество и со сверстниками и взрослыми.
К коммуникативным действиям относятся:
- планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками -определение цели, функций участников, способов взаимодействия;
- постановка вопросов - инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;
- разрешение конфликтов выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;
- управление поведением партнера - контроль, коррекция, оценка его действий;
- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.
Развитие системы универсальных учебных действий в составе личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных действий, определяющих развитие психологических способностей личности, осуществляется в рамках нормативно-возрастного развития личностной и познавательной сфер ребенка. Процесс обучения задает содержание и характеристики учебной деятельности ребенка и тем самым определяетзону ближайшего развитияуказанных универсальных учебных действий (их уровень развития, соответствующий «высокой норме») и их свойства.
Таким образом, изученное позволяет утверждать, что универсальные учебные действия (УУД)- это умение учиться, то есть способность человека к самосовершенствованию через усвоение нового социального опыта. По мнению А. В. Федотовой, это «обобщенные действия, открывающие возможность широкой ориентации учащихся,- как в различных предметных областях, так и в строении самой учебной деятельности, включая осознание учащимися её целевой направленности, ценностно-смысловых и операциональных характеристик» [28].
УУД в образовательном процессе школы выступают в качестве личностных и метапредметных результатов освоения учениками основной образовательной программы соответствующего уровня общего образования (начального, основного, среднего (полного)). УУД были определены ФГОС второго поколения и вошли в учебную деятельность школы с 2009 года. В содержательный раздел основной образовательной программы каждой ступени общего образования в школе должна быть включена программа развития универсальных учебных действий. Ведущую роль в формировании УУД также играет подбор содержания, разработка конкретного набора наиболее эффективных, ярких и интересных ученикам учебных заданий.
1.2. Структура и характеристика логических универсальных учебных действий
Современное общество характеризуется стремительным развитием науки и техники, созданием новых информационных технологий, коренным образом преобразующих жизнь людей. Развитие СМИ и сети Интернет приводит к тому, что школа перестаёт быть единственным источником информации для учащихся. Интеграция, обобщение, осмысление новых знаний, увязывание их с жизненным опытом учащихся на основе формирования умения учиться (учить себя) - вот та задача, в решении которой школе сегодня замены нет. Нередко развитие логических учебных действий в значительной степени идёт стихийно, большинство учеников не овладевают приёмами логического мышления (анализ, сравнение, синтез, и другие)
Педагогами неоднократно утверждалось, что развитие у детей логического мышления - это одна из важных задач начального обучения. Умение мыслить логично, выполнять умозаключения без наглядной опоры, сопоставлять суждения по определённым правилам.
Логика - это наука о законах правильного мышления, требованиях, предъявляемых к исследовательскому и доказательному суждению (И.Кант)
Отсюда следует, что мы должны научить учащихся анализировать, сравнивать, выделять главное, обобщать и систематизировать понятия, ставить и разрешать проблемы. Овладение этими методами и означает умение мыслить.
Универсальный характер УУД проявляется том, что они:
- носят надпредметный, метапредметный характер;
- обеспечивают целостность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития личности;
- обеспечивают преемственность всех степеней образовательного процесса;
- лежат в основе организации и регуляции любой деятельности учащегося независимо от ее специально-предметного содержания;
- обеспечивают этапы усвоения учебного содержания и формирования психологических способностей учащегося.
Обеспечивают обучающимся способность устанавливать причинно-следственные связи, строить логические цепи рассуждений, выбирать основания и критерии для сравнения, сериации, классификации объектов, анализировать объекты с целью выделения признаков (существенных, не существенных), выдвигать гипотезы и обосновывать их.
Основным средством формирования логических УУД в курсе математики являются вариативные по формулировке учебные задания (объясни, проверь, оцени, выбери, сравни, найди закономерность, верно ли утверждение, догадайся, наблюдай, сделай вывод и т. д.), которые нацеливают учащихся на выполнение различных видов деятельности, формируя тем самым умение действовать в соответствии с поставленной целью. Учебные задания побуждают детей анализировать объекты с целью выделения их существенных и несущественных признаков; выявлять их сходство и различие; проводить сравнение и классификацию по заданным или самостоятельно выделенным признакам (основаниям); устанавливать причинно-следственные связи; строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его структуре, свойствах; обобщать, то есть осуществлять генерализацию для целого ряда единичных объектов на основе выделения сущностной связи. Формирование логических УУД на уроках математики, может осуществляться не только при работе с текстовыми задачами, но и в период проведения устного счета, деятельности с геометрическим материалом, при решении нестандартных (логических) задач. Логические УУД будут развиваться на уроках математики в ходе решения каждой предметной задачи, если педагог вместе с учениками будет обсуждать с помощью цепочки вопросов сам способ, то есть последовательность действий, которые привели к результату, то эта последовательность со временем станет присвоенным универсальным учебным действием. На основе приведенных заданий можно по аналогии разработать новые задания, используя при этом не только математический материал, и предлагать их учащимся на уроках по другим предметам. Далее представлена подборка заданий для формирования логических умений: осуществление анализа с выделением существенных и несущественных признаков, осуществления сравнения, синтеза и классификации, а также установление аналогийдля учащихся вторых классов. Подборка заданий состоит из авторских заданий, заданий из учебника «Математика» и др.
Остановимся подробнее на формировании логических универсальных учебных действий, которые являются средством обобщения и систематизации знаний, а также составляют основу выведения новых знаний с помощью имеющихся. Логические действия в первую очередь формируются на уроках математики, так как именно в этой области знаний логические формы и отношения проявляются в явной форме как предмет усвоения учащимися. Практика показывает, что уроки математики являются наиболее благоприятными для систематического формирования логических понятий и действий, что дает большие потенциальные возможности для развития логического мышления младших школьнков.
Согласно концепции развития УУД к логическим универсальным действиям относятся: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); синтез составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов; выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов; подведение под понятие, выведение следствий; установление причинно-следственных связей; построение логической цепи рассуждений; доказательство; выдвижение гипотез и их обоснование проблем развития мышления детей младшего школьного возраста занимались многие зарубежные и отечественные исследователи.
Мышление это неразрывно связанный с речью социально обусловленный целенаправленный психический процесс самостоятельного искания и открытия существенно нового, то есть опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза, возникающий на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходящий за его пределы [2]. В младшем школьном возрасте совершается переход от мышления наглядно-образного к логическому, сущность которого заключается в ориентировании понятиями, суждениями и умозаключениями с использованием законов логики.
Развитие логических учебных действий то есть логической грамотности учащихся, применительно должно быть рассмотрено в следующих аспектах:
1) целеполагание - это определение желаемого или должного результата.
- Что я хочу получить?
- Какими должны быть результаты?
2) планирование - это составление плана, определение конкретных способов достижения целей и необходимых для этого средства;
3) ориентация в ситуации - необходимо разобраться в ситуации и понять; почему возникло затруднение в деятельности или в сложившихся обстоятельствах;
4) прогнозирование - это прогноз или попытка заглянуть в будущее предсказать развитие событий [19];
5) принятие решения - это переход от плана к действию;
6) самоконтроль - это контроль деятельности с учета того на сколько результат близок к поставленной цели;
7) коррекция - это изменение реальных действий, поступков, системы самоуправления;
8) оценивание полученного результата. Прежде чем оценивать, необходимо решить: как оценить успех и неудачу?
Критерии оценивания:
- адекватность использования субъектов и объектов для своей работы;
- умение дать развернутую оценку своей работы;
- умение соотнести оценку и отметку;
9) коррекция - это изменение реальных действий, поступков, системы самоуправления.
Итак, логическая компетенция как познавательная компетенция школьников:
1) носит познавательный характер;
2) обеспечивает преемственность всех ступеней образовательного процесса;
3) лежит в основе организации любой деятельности учащихся независимо от ее специально-предметного содержания [17];
4) обеспечивает этапы усвоения учебного содержания и формирование психологических способностей у школьников;
5) обеспечивает целостность общекультурного и познавательного развития, саморазвития и самосовершенствования личности школьников
Формирование универсальных учебных действий в образовательном процессе определяется тремя взаимодополняющими положениями:
- Формирование универсальных учебных действий как цель образовательного процесса определяет его содержание и организацию.
- Формирование универсальных учебных действий происходит в контексте усвоения разных предметных дисциплин.
- Универсальные учебные действия, их свойства и качества определяют эффективность образовательного процесса, в частности усвоение знаний и умений; формирование образа мира и основных видов компетенций учащегося, в том числе социальной и личностной компетентности.
Рассмотрим подробнее логические УУД, которые имеют наиболее общий (всеобщий) характер и направлены на установление связей и отношений в любой области знания. В рамках школьного обучения под логическим мышлением обычно понимается способность и умение учащихся производить простые логические действия (анализ, синтез, сравнение, обобщение и др.), а также составные логические операции (построение отрицания, утверждение и опровержение как построение рассуждения с использованием различных логических схем - индуктивной или дедуктивной) [20].
Классификация логических действий включает:
1) сравнение конкретно-чувственных и иных данных с целью выделения тождества, различия, определения общих признаков классификации;
2) опознание конкретно-чувственных и иных объектов с целью их включения в тот или иной список.
Номенклатура логических действий включает:
- анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);
- синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;
- выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;
- подведение под понятие, выведение следствий;
- установление причинно-следственных связей, представление цепочек объектов и явлений;
- построение логической цепочки рассуждений, анализ истинности утверждений;
- доказательство;
- выдвижение гипотез и их обоснование.
Формируя универсальные логические действия, стоит опираться на вышеизложенную номенклатуру, чтобы задействовать все составляющие и сделать эту работу комплексной и наиболее продуктивной.
В качестве сложного составного логического действия можно рассматривать общий прием решения задач [27].
Предполагается, что результатом формирования логических универсальных учебных действий будут являться умения:
- произвольно и осознанно владеть общим приемом решения задач;
- осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий;
- использовать знаково-символические средства, в том числе модели и схемы для решения учебных задач;
- ориентироваться на разнообразие способов решения задач;
- учиться основам смыслового чтения художественных и логических текстов; уметь выделять существенную информацию из текстов разных видов;
- уметь осуществлять анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
- уметь осуществлять синтез как составление целого из частей;
- уметь осуществлять сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям;
- уметь устанавливать причинно-следственные связи;
- уметь строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях;
- уметь устанавливать аналогии;
- владеть общим приемом решения учебных задач;
- осуществлять расширенный поиск информации с использованием ресурсов библиотеки, образовательного пространства родного края (малой родины);
- создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;
- уметь осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения образовательных задач в зависимости от конкретных условий.
Конкретизируем содержание логических УУД, которые формируются на уроках математики:
- осознание, что такое свойства предмета - общие, различные, существенные, несущественные, необходимые, достаточные;
- моделирование;
- использование знаково-символической записи математического понятия;
- овладение приёмами анализа и синтеза объекта и его свойств;
- использование индуктивного умозаключения;
- выведение следствий из определения понятия;
- умение приводить контрпримеры [31]
Таким образом, особое значение логическим УУД придается в процессе изучения математики, т.к. выполнение всех математических операций, формируемых в начальной школе, происходит на основе сформированных логических УУД, что является основой для успешного обучения.
1.3. Методико-математические основы обучения младших школьников делению натуральных чисел с остатком
Проведение анализа содержания данной программы будет основано на выделению различных подходов к обучению младших школьников делению натуральных чисел с остатком.
Отталкиваясь от общего представления о делении с остатком, несложно выяснить смысл деления с остатком натуральных чисел.
Сразу скажем, что в результате деления натурального числа a на натуральное число b с остатком получаются два числа, обозначим их c и d. Теперь разберемся со смыслом, который несут в себе числа a, b, c и d, откуда будет понятен и смысл деления с остатком [32].
Нам известно, что натуральные числа связаны с количеством. Пусть натуральное число a, которое мы делим, определяет количество предметов в исходном множестве, а натуральное число d определяет количество предметов, которые остаются в исходном множестве после деления с остатком. Осталось определиться с числами b и c. Здесь возможны два варианта.
- Если натуральное число b соответствует количеству предметов в каждом из множеств, полученных после деления, то число c показывает количество полученных множеств.
- Если же натуральное число b задает количество множеств, на которые делится исходное множество, то число c определяет количество предметов в каждом из этих множеств.
Приведем пример, поясняющих смысл деления натуральных чисел с остатком. При делении натурального числа 13 на натуральное число 4 получили числа 3 и 1. Этому примеру можно сопоставить две равноправные ситуации.
- 13 предметов нужно разложить в кучки по 4 предмета в каждой. При этом получится 3 таких кучки, и в исходном множестве останется один предмет.
- 13 предметов нужно разложить в 4 кучки. При этом в каждой кучке окажется по 3 предмета, а в исходном множестве останется 1 предмет.
Следует отметить, что натуральное число a можно разделить с остатком на любое натуральное число b. При этом в зависимости значений чисел a и b могут возникнуть следующие три ситуации [7].
- Числа a и b могут быть такими, что a делится на b без остатка. Иными словами, все предметы исходного множества могут быть разделены в требуемые множества. После этого действия в исходном множестве не останется ни одного предмета, то есть, число d будет равно нулю. (Таким образом, деление без остатка является частным случаем деления с остатком).
- Число a может быть меньше, чем число b. В этом случае из предметов в исходном множестве не получится составить ни одного требуемого множества, то есть, число c будет равно нулю, остаток при этом будет равен числу предметов в исходном множестве, то есть, d=a.
- Число a может делиться на число b с остатком. В этом случае все числа a, b, c и d будут натуральными числами.
Таким образом, результатом деления натуральных чисел a и b с остатком являются два числа c и d, причем числа c и d либо натуральные, либо одно из них равно нулю.
Натуральное число, которое делят, называют делимым. Натуральное число, на которое делят, называют делителем. В результате деления с остатком получаются два числа, одно из которых называют неполным частным, а другое остатком. Например, при делении с остатком делимого 19 на делитель 5 получается неполное частное 3 и остаток 4.
Для обозначения деления с остатком используется такой же знак «разделить» вида «:», как и при делении без остатка, который записывается между делимым и делителем. Также можно встретить знак «÷», обозначающий то же самое действие. Например, запись 103:31 (такие записи называются числовыми выражениями) означает деление натурального числа 103 на натуральное число 31.
Если найдено неполное частное c и остаток d от деления числа a на число b, то применяется следующая форма краткой записи a:b=c (ост. d). Таким образом, записи деления с остатком отвечает следующая схема:
делимое : делитель = неполное частное (ост. остаток) [13].
Из смысла деления с остатком понятно, что остаток всегда меньше делителя. Если бы остаток был больше делителя или равен делителю, то это бы значило, что из предметов, оставшихся в исходном множестве после деления, можно составить еще хотя бы одно требуемое множество.
Мы знаем, что результатом деления натуральных чисел с остатком являются два числа неполное частное и остаток. Следовательно, нужно рассматривать два типа задач, решаемых при помощи деления с остатком. Ответом на первый тип задач является неполное частное, а на второй остаток от деления. Остановимся на них подробнее.
В задачах первого типа требуется найти либо количество требуемых множеств, получающихся из имеющегося количества предметов в исходном множестве, либо количество предметов в множествах, полученных после деления. Приведем примеры [19].
К новому году было сделано 67 елочных игрушек. На каждую елку было решено повесить по 15 игрушек. Неполное частное от деления 67 на 15 позывает, какое количество елок можно нарядить.
Имеется 162 детали и 40 коробок, в которые эти детали раскладываются так, что в каждой коробке оказывается одинаковое количество деталей. Неполное частное от деления 162 на 40 определяет количество деталей в каждой коробке.
Следует сказать, что вместо количества каких-либо предметов речь в задачах может идти о каких-либо величинах (единицах измерения времени, массы, длины, площади и т.п.). Для примера приведем условия таких задач.
Квас на заводе разливается в двухлитровые бутылки. Было произведено 5 111 литров кваса. Если разделить 5 111 на 2, то неполное частное покажет, какое количество бутылок кваса изготовлено.
Рабочему на установку одного комплекта оборудования требуется 3 часа, а его рабочий день длится 8 часов. Неполное частное от деления натурального числа 8 на натуральное число 3 определяет количество установленных комплектов оборудования этим рабочим за его рабочий день.
В задачах второго типа, решаемых с помощью деления с остатком, требуется найти количество предметов, которые остаются в исходном множестве после деления. Конечно же вместо количества предметов могут быть также значения каких-либо величин. Приведем примеры.
Всего есть 193 конфеты, которые укладываются в коробки, причем в каждую коробку помещается строго определенное количество конфет. После раскладывания было получено 20 коробок с конфетами. Остаток от деления 193 на 20 покажет, сколько конфет останется не уложенными в коробки.
На изготовление одной бетонной плиты требуется 750 килограмм цемента. Было куплено 12 100 кг цемента. Остаток от деления 12 100 на 750 укажет, сколько цемента останется не израсходованным при производстве указанных плит.
Найти неполное частное и остаток от деления натуральных чисел можно, выполняя последовательное вычитание делителя [21].
Суть этого подхода проста: из элементов имеющегося множества последовательно формируются множества с требуемым количеством элементов до того момента, пока это возможно, количество полученных множеств дает неполное частное, а количество оставшихся элементов в исходном множестве остаток от деления.
Деление с остатком изучается во втором классе, после завершения работы над внетабличными случаями умножения и деления в рамках системы и программы обучения М. И. Моро [1]. Здесь рассматриваются только такие случаи деления с остатком, которые сводятся к табличному делению.
Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.
Деление с остатком это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело
Задачи изучения темы
1.Раскрыть конкретный смысл деления с остатком.
2. Познакомить с соотношением остатка и делителя.
3. Познакомить с приемами и алгоритмом деления с остатком, научить их применять на практике.
4. Научить проверять правильность решения примеров на деление с остатком.
Значение темы
1. Расширяет и углубляет знания учащихся о делении, поскольку деление с остатком встречается чаще, чем деление без остатка.
2. Создает новые условия для применения навыков табличного умножения и деления.
3. Подготавливает к изучению приемов письменного деления.
4. Способствует формированию навыков самоконтроля.
Подготовка к изучению темы
В школе большое внимание должно быть уделено подготовительной работе. К ней относится:
- повторение табличного деления;
- решение простых задач на деление по содержанию и деление на равные части;
- выполнение заданий, в которых из ряда предложенных чисел нужно выбрать те числа, которые делятся на заданное число, например:
а) среди чисел от 1 до 20 назови те, которые делятся на 2 (на 3, на 4 и т.д.);
б) делится ли на 3 число 10? 12? 14? 18?;
в) назови число, ближайшее к 16, которое делится на 3;
г) назови по порядку все числа, которые получаются при умножении однозначных чисел на 6, 7.
1.4. Методика обучения младших школьников делению натуральных чисел с остатком
Этапы и методика изучения темы обучения младших школьников делению натуральных чисел с остатком представлено в работах М.А.Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой и др. . Раскроем ниже все этапы ее изучения.
1-й этап. Конкретный (предметный) смысл деления с остатком
Дети в своем опыте и при изучении предыдущих тем неоднократно встречались со случаями деления с остатком, выполняя деление предметов (конфет, яблок и т.д.). Поэтому при изучении деления с остатком важно опираться на этот опыт детей и вместе с тем обогатить его.
Нужно, опираясь на предметные действия, раскрыть конкретный смысл деления с остатком, показать, как его записывают и как читают запись деления с остатком. Дети должны осознать тот факт, что деление без остатка это частный случай, когда остаток при делении равен нулю. С первого урока важно обратить внимание учеников на то, что при делении с остатком получается не одно, а два числа - частное и остаток, и при этом остаток меньше делителя.
Смысл деления с остатком можно раскрыть при решении задач жизненного содержания. Для этого выполняется практическая работа с предметами.
Например, учитель предлагает вызванному ученику раздать поровну 2-м ученикам сначала 8, а потом 9 тетрадей и сказать, по сколько тетрадей получил каждый ученик. Решение первой задачи ученики могут записать сами. А при выполнения деления 9 : 2 учитель спрашивает, все ли тетради раздали. (Нет, одна тетрадь осталось). Сообщается, что решение этой задачи также выполняется действием деления, только здесь будет деление с остатком. Вводится новая для детей форма записи: 9 : 2 = 4 (ост. 1). Формулируется ответ: каждый ученик получил по 4 тетради, и 1 тетрадь осталась.
Далее детям предлагается рассмотреть несколько аналогичных случаев. Каждый раз выполняются предметные действия, делается запись и дается пояснение.
Например, нужно 13 кружков разбить на группы, по 5 кружков в каждой. После работы с кружками выполняется запись:
13 : 5 = 2 (ост. 1).
Рекомендуется ввести две формы чтения:
- с названием действия: 13 разделить на 5, получится 2 и 3 в остатке,
- с названиями чисел при делении:
делимое 13, делитель 5, частное 2, остаток 3.
Кроме записи в строчку вводится и запись в столбик.
Обсуждаются преимущества такой записи: здесь сразу видно, какое число подобрали для деления и как получается остаток.
Работу с предметами можно заменить выполнением схематических рисунков. Например, нужно 7 : 3. Ученик рисует 7 кругов, разбивает их вертикальными линиями по 3. Определяет, сколько раз по 3 получилось (это частное).
Для закрепления читается текст в учебнике, и выполняются упражнения с помощью предметных действий (работа с индивидуальным раздаточным дидактическим материалом или выполнение схематических рисунков) или перцептивных действий (на основе восприятия рисунков в учебнике). Выбор формы действия зависит от уровня развития учащихся класса. Этот этап работы может предполагать и использование дифференциации по характеру учебных действий: одна группа учеников работает с предметами, другая выполняет схематические рисунки, а третья - использует готовые рисунки.
В школе лучше предлагать для решения примеры в такой последовательности, чтобы сначала остаток был равен 1, затем 2, 3, а потом уже любому числу.
Особо нужно рассмотреть случай 15 : 3. Поскольку 15 разделилось на 3 без остатка, то можно записать, что частное равно 5, а остаток равен 0.
М.И. Моро, М.А. Бантова и др. [17] предлагают уже на этом этапе обратить внимание детей на то, что остаток меньше делителя.
Несколько иную методику ознакомления с делением с остатком предлагает Л.Г. Петерсон [47]. По ее мнению, работу над темой нужно начать с создания проблемной ситуации: предложить учащимся индивидуальное задание, в котором среди различных примеров на изученные приемы табличного и внетабличного деления встречается и деление с остатком, например, 23 : 4, 17 : 5. Очевидно, что учащиеся не смогут найти значение этих выражений. Обсуждается, почему не получилось выполнить деление (Число 23 не делится на 4, а 17 на 5).
Для постановки проблемы учитель проводит следующую беседу:
- А разве не может быть такой задачи на деление: "23 человека поехали на экскурсию в Москву на поезде. Они купили билеты в купе по 4 человека в каждом. В скольких купе они ехали?" (Может быть)
- И какой вы дадите ответ? (Скорее всего, у детей ответов не будет).
- Что же нам нужно научиться делать? (Выполнять деление в тех случаях, когда числа нацело не делятся)
- Все купе будут полными? (Нет, несколько купе будет полных, а одно неполное).
- Верно, несколько человек останутся в неполном купе. Поэтому такое деление называется делением с остатком.
Для открытия смысла деления учащимся предлагается решить задачу практически с помощью предметных действий (взять 23 "экскурсанта"- кружка, распределить их по 4 кружка в "купе" и посмотреть, что получится) или с помощью схематического рисунка с точками. Далее объясняется смысл деления, даются названия чисел при делении (делимое, делитель, частное, остаток), вводится соответствующая запись.
2-й этап. Соотношение между остатком и делителем.
На основе наблюдений учащиеся должны прийти к выводу: при делении остаток всегда должен быть меньше делителя. Рекомендуется организовать работу так, чтобы дети сами пришли к такому обобщению. Для этого рассматривается деление нескольких последовательных чисел на 2, на 3, на 4 . Можно дать каждому ряду свое задание, вызвав к доске 3-х человек. Они выполняют деление в опоре на рисунки или предметные действия.
Для закрепления материала полезно, опираясь на знание таблицы деления, записать ряд примеров и сравнить остатки с делителями.
7 получиться в остатке 7, 8, 3, 10?
Предлагаются также упражнения: в ряду чисел 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 подчеркнуть те, которые делятся на 3 (или другое число) без остатка. Под числами, которые не делятся на 3 (или другое число) записать остаток. Цель таких упражнений заключается в том, чтобы учащиеся видели остаток, сравнивали его с делителем и убеждались в том, что остаток меньше делителя.
3-й этап. Приемы и алгоритм деления с остатком.
Дети знакомятся с двумя приемами деления с остатком.
1-й прием: подбор делимого (самого большого числа, близкого к данному делимому, которое делится на делитель без остатка).
Подготовительные упражнения:
- Какие числа от 6 до 60 делятся без остатка на 6, 7, 9?
- Какое число, ближайшее к 47 (52, 61), но меньше его, делится без остатка на 8, 9, 6?
Предлагается объяснение способа действия в виде разбора конкретного случая [36, с.26]:
32 : 5 =
32 не делится на 5 без остатка.
Вспомним, какое самое большое число до 32 делится на 5 без остатка. Это 30.
Найдем частное: 30 : 5 = 6. _ 32 5
Найдем остаток: 32 39 = 2. 30 6
32 : 5 = 6 (ост.2) 2
Можно организовать работу так, чтобы дети сами открыли этот способ.
Для этого предлагается решить пример с большими числами, например 92 : 3.
В этом случае неудобно выполнять практические действия или использовать модели. Возникает необходимость построения вычислительного алгоритма.
Сказав, что число не делится без остатка, можно подобрать число, которое делится. Для этого нужно вспомнить (или найти в индивидуальных карточках-опорах) результаты из соответствующей таблицы умножения, выбрать ближайший к делимому результат и продолжить деление.
После решения нескольких аналогичных примеров целесообразно обобщить способ действия в виде памятки-алгоритма:
- установлю, что число без остатка не делится;
- подберу число, которое делится (оно должно быть ближайшим к делимому, но меньше его);
- разделю подобранное число на делитель и получу частное.
- найду остаток; для этого из числа, которое нужно было разделить, вычту число, которое делил.
На этапе закрепления учащиеся решают примеры на деление с остатком, выполняют проговаривание действий вслух (этап громкоречевого действия), используя алгоритм, опорный конспект или индивидуальную карточку-опору:
Подобные приемы особенно важно использовать в работе со школьниками, имеющими речевые нарушения.
2-й прием: подбор частного (такого числа, при умножении на которое делителя получается число, близкое к делимому).
В учебнике предлагается такое объяснение [36, с. 27]:
34 : 9 =
Если трудно вспомнить самое большое число до 34, которое делится на 9 без остатка, то частное можно найти способом подбора.
Надо 34 разделить на 9.
Пробуем в частном 2.
Проверим: 9 · 2 = 18.
Найдем остаток и сравним его с делителем:
34 18 = 16, 16 > 9, значит, 2 мало.
Пробуем в частном 3. _34 9
На основе данного объяснения достаточно легко составить обобщенную памятку-алгоритм.
В обоих случаях (1-й и 2-й прием) обязательно сравнивают остаток с делителем. Дети могут пользоваться любым из этих приемов. Но первый прием требует хорошего знания табличных результатов. Учащимся, которые еще недостаточно усвоили результаты табличного умножения, можно оказывать помощь: предлагать выписанные по десяткам результаты в виде плаката или индивидуальной карточки. Второй прием является более трудоемким, т.к. требует неоднократного умножения частного на делитель, но тем самым он способствует запоминанию табличных результатов. Кроме того, деление на двузначное число только этим приемом и может быть выполнено.
Например: 38 : 11. Берем в частном число 2.
11 · 2 = 22, 38 22 = 16, 16 > 11, значит, 2 мало.
Берем число 3.
11 · 3 = 33, 38 33 = 5, 5 < 11, значит, частное 3, остаток 5.
Проверка предполагаемого частного выполняется устно, даже в том случае, когда деление записывают столбиком.
На этапе закрепления нужно предлагать не только вычисление значений выражений, но и решение задач, в которых выполняется деление с остатком. Полезны также упражнения такого вида:
- вставьте пропущенные числа:
39 : 4 = 9 (ост. ) 46 : 8 = (ост. 6) 29 : = 3 (ост. 2)
- найдите ошибки и исправьте их: 57 : 8 = 6 (ост. 9) 72 : 12 = 5 (ост. 12)
Отдельно следует рассмотреть случай деления меньшего числа на большее, т.к. это является подготовкой к знакомству со случаями письменного деления многозначных чисел, когда в записи частного встречаются нули.
Детям предлагается решить практические задачи:
1) Для изготовления рамки требуется 4 одинаковые деревянные планки. Сколько таких рамок можно сделать из 16 таких планок? Из 10 планок?
2) Сколько таких рамок можно сделать, если есть только 3 планки?
Решение подобных задач помогает понять, почему в частном получается 0, а остаток равен делимому.
Можно выполнить рассуждение в соответствии с алгоритмом. Например, нужно 5: 7. Число 5 на 7 не делится. Подберем число, которое делится на 7, оно должно быть меньше 5-ти. Это число 0. Разделим 0 на 7, получим 0. Найдем остаток: 5 0 = 5. Пример решен так: 5 : 7 = 0 (ост. 5).
4-й этап. Проверка деления с остатком.
Для того, чтобы ученики смогли сами открыть способ проверки деления с остатком, нужно вспомнить, как выполняют проверку деления без остатка. Например, предлагается проверить правильность вычислений 72 : 8 = 9, 72 : 2 = 36. Дети вспоминают соответствующее правило проверки примеров на деление (деление проверяется умножением).
А далее ставится проблема: "Как проверить деление с остатком?"
73 : 8 = 9 (ост. 1), 75 : 2 = 36 (ост. 3).
Дети могут предложить сравнить остаток и делитель. Это сразу поможет найти ошибку. Но нужно уметь проверять и те примеры, в которых остаток меньше делителя.
В результате обсуждений составляется памятка-алгоритм проверки деления с остатком:
- сравню остаток и делитель;
- умножу частное на делитель;
- к полученному результату прибавлю остаток;
Ученики достаточно часто допускают вычислительные ошибки при делении с остатком:
- не записывают остаток;
- получают остаток больше делителя, например, 8 : 3 = 1 (ост. 5);
- прибавляют остаток к частному, например, 8 : 3 = 4 к частному 2 прибавили остаток 2.
Поэтому в дальнейшем учителю следует предлагать выполнять проверку вычислений и в тех случаях, когда в учебнике это специально не указывается. С целью формирования самоконтроля учителю следует систематически выяснять, кто не только решил, но и проверил, кому проверка помогла найти ошибку в вычислениях и исправить ее. При этом в процессе формирования умений и навыков (в отличие от этапа контроля) не рекомендуется снижать оценку за исправление ошибок в текущих (обучающих) работах.
Таким образом, особенностью деления с остатком является тот факт, что здесь по двум данным числам - делимому и делителю - находят 2 числа: частное и остаток. В методике изучения деления с остатком следует предусмотреть такой порядок введения вопросов: сначала раскрыть конкретный смысл, затем установить отношения между остатком и делителем, далее ознакомить с приемами деления с остатком.
Выводы по 1 главе
Итак, в результате анализа психолого-педагогической и методико-математической литературы по проблеме исследования, нами было выявлено, что под универсальными учебными действиями понимается способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного освоения нового социального опыта. Познавательные учебные действия являются одним из видов универсальных учебных действий.
Группа познавательных универсальных учебных действий включает в себя общеучебные действия, логические действия, а также действия постановки и решения проблемы. К числу логических универсальных действия относят операции анализа, сравнения, классификации, подведения под понятие, выведения соответствия, установления причинно-следственных связей, построения логической цепочки рассуждения, выдвижения гипотез и их обоснования.
В младшем школьном возрасте создаются наиболее благоприятные условия для формирования логических универсальных учебных действий, так как основу познавательных действий составляют психические процессы, которые активно формируются в этот возрастной период. Кроме того у младших школьников формируются способы самостоятельного управления всеми познавательными процессами, в интеллектуальном развитии активно формируется аналитико-синтетический тип деятельности, действия моделирования, которые являются важными предпосылками формирования познавательных универсальных учебных действий.
Анализ методико-математической литературы позволил определить ведущий подход к формированию смысла деления натуральных чисел с остатком теоретико-множественный, кроме того, в начальной школе вводится соответствующая терминология: учащихся знакомят с названиями компонентов действия деления и основными правилами по их нахождению».)
Особый интерес представляет изучение проблемы формирования логических УУД у детей младшего школьного возраста в процессе изучения деления натуральных чисел с остатком, именно об этом и пойдет речь в следующей главе данной работы.
_
Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по формированию у младших школьников логических универсальных учебных действий у младших школьников в процессе обучения делению натуральных чисел с остатком.
2.1. Диагностика исходного уровня сформированности логических универсальных учебных действий у младших школьников на констатирующем этапе исследования
Проведенный анализ психолого-педагогической литературы позволяет обозначить проблемы:
- формирования у младших школьников отдельных видов УУД логических;
- полноценного усвоения младшими школьниками действия деления натуральных чисел с остатком.
Исходя из этого возникает необходимость проведения исследования проблемы формирования логических универсальных учебных действий у младших школьников в процессе обучения делению с остатком.
Цель проведения экспериментальной работы выявить методические условия, способствующие эффективному формированию у младших школьников логических универсальных учебных действий в процессе обучения делению с остатком.
Задачи исследования:
- выявить исходный уровень сформированности у младших школьников логических УУД на констатирующем этапе исследования;
- провести диагностику исходного уровня сформированности у младших школьников умения делить натуральные числа с остатком на констатирующем этапе исследования;
- провести экспериментальную работу по формированию у младших школьников логических УУД в процессе обучения делению с остатком;
- провести анализ и интерпретацию полученных результатов.
Работа проводилась в 2 основных этапа:
- констатирующий (с .12.09.16 г. по 25.09.16 г.);
- формирующий (с .... по ...)
- контрольный (с .... по ...)
Методики констатирующего эксперимента:
- Диагностика особенностей развития поискового планирования (методика А.З.Зака ).
Данная методика была выбрана так как планирование является основопологающей компонентой логических универсальных учебных действий.
- Методика «Логические закономерности»
Работа проводилась в Шипуновской средней школе №2 Шипуновского района в 3 классе, в котором 25 человек. Класс обучается по программе «Школа России» ( учебники математики - М.И. Моро).
Диагностика особенностей развития поискового планирования (методика А.З.Зака )
Цель: выявление сформированности действия поискового планирования как умения разрабатывать программу выполнения действий для достижения поставленной цели.
Оцениваемые УУД: логические действия анализа, синтеза, установления аналогий.
Форма и ситуация оценивания: групповая и индивидуальная.
Далеко не всегда имеет место разработка программы действий.
В этом случае каждое действие планируется и сразу же выполняется. Поэтому последующие действия планируются только после выполнения предыдущих. Такая форма планирования квалифицируется как последовательно-частичное планирование. В других случаях разрабатываются и сопоставляются разные варианты всей последовательности требуемых действий. При этом предыдущие действия выполняются лишь после того, как будут намечены все последующие действия. Такая форма планирования квалифицируется как предварительно-целостное планирование.
Для диагностики поискового планирования можно использовать тип задач, в которых для достижения результата требуется выполнить ряд действий. В этом случае можно будет различить уровни развития планирования у детей в зависимости от того, какое количество действий (до выполнения) способен наметить ребенок.
К такому типу относятся задачи «слонладья». Смысл их заключается в том, чтобы некоторое расположение объектов преобразовать в другое за определенное количество действий по определенным правилам.
Например, расположение цифр в квадрате «А» нужно преобразовать в расположение тех же цифр, указанное в квадрате «Б» за два действия по следующему правилу: любая цифра за одно действие может переместиться прямо или наискось только в соседнюю свободную клетку:
В данной задаче первое действие состоит в перемещении по прямой (ходом шахматной фигуры «ладья») цифры «1», а второе действие связано с перемещением в соседнюю свободную клетку наискось (ходом шахматной фигуры «слон») цифры «2». Усложнение условий планирования при решении таких задач связано как с увеличении числа требуемых операций, так и с возрастанием числа клеток и числа перемещающихся объектов.
Групповое диагностическое исследование для определения различий в планировании у младших школьников строится следующим образом.
- Психолог, проводящий диагностическое занятие, приходит в класс с комплектом бланков и с чистыми листами бумаги для записи решения задач: на этих листах каждый ребенок пишет свою фамилию и ставит дату проведения занятия.
- Пока дети подписывают чистые листы, психолог чертит на классной доске два четырехклеточных квадрата:
- Детям говорится: «Сегодня мы будем решать интересные задачи. Посмотрите на эти два квадрата. Каждая клетка в квадрате имеет свое название, которое состоит из буквы и цифры. Эта клетка (следует указать нижнюю левую клетку) называется А1, а эта клетка (указывается правая нижняя) называется Б1, а эти две клетки (верхние две клетки квадрата) называются А2 и Б2».
- «Теперь решим такую интересную задачу. Сначала три фигурки круг, треугольник и ромб были в таких клетках», психолог рисует указанные фигурки:
«А потом фигурки поменяли свои места и оказались в других клетках», психолог рисует фигурки в правом квадрате:
«Нам нужно угадать, узнать, какие два действия, два перемещения сделали фигурки, чтобы попасть в другие клетки. Чтобы решить эту задачу, нужно знать правило: любая фигурка может перемещаться только в свободную соседнюю клетку прямо или наискось. Кто скажет, какое было первое перемещение, какая фигурка первая передвинулась в свободную клетку?... Правильно, первое действие сделал ромб: из клетки Б1 он передвинулся наискось в клетку А2. Запишем это действие, используя названия клеток:
А какое будет второе действие?... Правильно, второе действие выполнил круг. Он передвинулся из клетки Б2 прямо в клетку Б1. Запишем второе действие рядом с первым:1)Б1 ->вА2;2)Б2-*Б1.
- Вот так решаются задачи на перемещение фигурок из одних клеток в другие. Сейчас я раздам бланки с условиями задач, которые вы будете сегодня решать», психолог раздает бланки, в каждом из которых даны 12 задач.
- «Давайте посмотрим на лист с задачами. На самом верху есть задачи №1 и №2. В них нужно отгадать, найти два действия. Затем идут задачи №3 и №4 - в них нужно найти 3 действия. Далее в задачах №5 и №6 нужно найти 4 действия, в задачах №7 и №8 нужно найти 5 действий, в задачах №9 и №10 - 6 действий, в задачах №11 и №12 7 действий.
7. Теперь попробуйте сами решить задачу №1 в два действия. Помните наше правило: фигурки перемещаются прямо и наискось в свободную клетку. Подумайте, как перемещались фигурки: какая фигурка передвинулась первой, какая передвинулась второй. Потом запишите эти два действия также, как мы это делали на доске: сначала номер задачи, потом первое действие и второе».
- Дети решают задачу №1, учитель проходит по рядам и контролирует правильность записи решения.
- «Давайте проверим теперь решение задачи №1», учитель на доске рисует условие задачи № 1:
Кто скажет решение?... Верно, первое действие сделал круг, второе треугольник: №1. 1) А2 > Б1; 2) А1 > А2.
10. Теперь решайте задачу №2, в ней тоже нужно найти 2 действия». Дети решают задачу, психолог контролирует работу детей.
11. «Давайте проверим решение задачи №2», учитель рисует на доске условие задачи:
12. «Кто скажет решение этой задачи? Верно, первое действие: треугольник переместился из клетки Б1 в В1. Запишем эти два действия:
№2. 1)В1 →Б2;2)Б1→ В1.
13. Вот так решаются и записываются действия в наших задачах. Теперь сами и уже без проверки решайте все задачи подряд: №№3, 4 и т.д., кто сколько успеет. Только помните правило: фигурки перемещаются прямо и наискось в соседнюю свободную клетку. На бланке с задачами ничего писать нельзя: ни точки, ни линии. Нужно просто смотреть на условия задач и думать, какие перемещения сделали фигурки из одних клеток в другие». Последнее требование, не касаться бланка ручкой или карандашом, принципиально важно для диагностики планирования, поскольку проверяется развитие способности действовать «в уме», в мысленном плане, в представлении, т.е. без фиксирования промежуточных результатов на бумаге, например, в виде точки на клетке с той или иной фигуркой или проведения линий, указывающих на возможные перемещения фигурок.
14. На инструктирование детей отводится (в зависимости от возраста) 10-15 минут, а на самостоятельное решение задач №№ 3 - 12 должно быть потрачено ровно 20 минут. По истечении этого времени бланки и листы с ответами (кто сколько успел решить) собираются.
Критерии и уровни оценки планирования:
Протяженность последовательности действий (количество действий), спланированная ребенком.
Результаты решения задач, находящиеся на листах бумаги с фамилиями детей, можно обрабатывать, сверяясь с ключом, где представлены правильные действия к каждой задаче.
Диагностическое задание включает задачи двух видов. К первому относятся задачи, решение которых может быть достигнуто с помощью частичного планирования, это задачи № 1 и 2, поскольку выбор первого действия однозначен, и его наметка и выполнение не связаны с наметкой и выполнением второго действия.
Ко второму виду относятся задачи, решение которых предполагает осуществление целостного планирования, это задачи № 3 - 12, поскольку выбор первого действия неоднозначен. Последнее означает, что правильный выбор первого действия влияет на возможность решить задачу за требуемое число действий, и поэтому наметку первого действия следует проводить одновременно с наметкой всех остальных действий.
Целостное планирование:
1 - успешное решение задач № 3 и №4
2 успешное решение задач №5 и №6
3 успешное решение задач №7 и №8
4 успешное решение задач №9 и № 10
5 успешное решение задач № 11 и № 12
В целом, таким образом, проведение группового диагностического занятия с детьми позволяет выделить тех, кто обладает либо только частичным планированием (при решении лишь двух первых задач), либо разными уровнями развития целостного планирования, при успешном решении, соответственно, задач №№ 1 - 4; 1 - 6; 1 - 8; 1 - 10; 1 12
Методика «Логические закономерности»
Цель: выявление уровня развития операций анализа и синтеза.
Оцениваемое УУД: логические универсальные учебные действия.
Форма проведения: письменный опрос.
Возраст: младшие школьники.
Испытуемым предъявляют письменно ряды чисел. Им необходимо проанализировать каждый ряд и установить закономерность его построения. Испытуемый должен определить два числа, которые бы продолжили ряд. Время решения заданий фиксируется. Числовые ряд
- 2, 3, 4, 5, 6, 7…
- 6, 9, 12, 15, 18, 21…
- 1, 2, 4, 8, 16, 32…
- 4, 5, 8, 9, 12, 13…
- 19, 16, 14, 11, 9, 6…
- 29, 28, 26, 23, 19, 14…
- 16, 8, 4, 2, 1, 0, 5…
- 1, 4, 9, 16, 25, 36…
- 21, 18, 16, 15, 12, 10…
- 3, 6, 8, 16, 18, 36…
Оценка результатов производится с помощью таблицы приложения
Обработка результатов
Предъявленные ряды
- 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- 6, 9, 12, 15, 18, 21.
- 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- 4, 5, 8, 9, 12, 13.
- 19, 16, 14, 11, 9, 6.
- 29, 28, 26, 23, 19, 14.
- 16, 8, 4, 2, 1, 0,5.
- 1, 4, 9, 16, 25, 36.
- 21, 18, 16, 15, 12, 10.
10. 3, 6, 8, 16, 18, 36.
8; 9
24; 27
64; 128
16; 17
4; 1
8; 1
0.25, 0.125
49; 64
9; 6
Проведем анализ результатов изучения универсальных учебных действий у учащихся.
Результат методики Диагностика особенностей развития поискового планирования (методика А.З.Зака ) представлен в приложении 1 и на рис. 1.
Для наглядности результаты таблицы представим на рис. 1.
Рис. 1. Результат методики «Диагностика особенностей развития поискового планирования» (методика А.З.Зака )
Согласно полученным результатам, в классе операция развития поискового планирования уровень частичного планирования показали 68% детей, уровень целостного планирования 32%. В ходе работы они действовали самостоятельно, им не требовалась помощь взрослого, у них отмечалось понимание сущности.
С помощью методики «Логические закономерности» мы выявили уровень развития логического мышления. Результаты представлены в таблице 3 и на рис. 2.
Таблица 3 Результаты методики «Логические закономерности»
Уровень сформированности логических закономерностейчеловек%Хороший уровень, выше, чем у большинства людей312Хорошая норма большинства людей728Средняя норма832Низкая норма416Ниже среднего уровня развития логического мышления28Низкая скорость мышления, «тугодум»14
Рис. 2. Результаты методики «Логические закономерности
Таким образом, видим, что уровень, выше, чем у большинства людей имеют трое детей или 12%, Хорошая норма большинства людей у 7 детей, средняя норма у 8 детей или 32%, низкая норма у четверых, Ниже среднего уровня развития логического мышления показали 2 человека или 8%, и один человек - Низкая скорость мышления, «тугодум».
Видим, несомненную необходимость совершенствования работы по формированию логических УУД у учащихся исследуемого класса.
2.2. Диагностика исходного уровня сформированности у младших школьников умения делить натуральные числа с остатком на констатирующем этапе исследования
Анализ методико-математической литературы, с точки зрения методики обучения младших школьников делению натуральных чисел с остатком показал необходимость доработки содержания начального курса математики, поскольку в учебниках недостаточно полно представлены задания, способствующие полноценному формированию у учащихся представлений о делении натуральных чисел с точки зрения теоретико-множественного подхода. Поэтому в рамках констатирующего этапа эксперимента была проведена параллельная работа, цель которой - диагностика исходного уровня сформированности у младших школьников умения делить натуральные числа с остатком.
Работы учеников оценивались по следующим уровням сформированности умений:
«5» - не сделали ни одной ошибки выполнены вычисления верно, найдены все ошибки, все выражения записаны верно
«4» - допустили 2-4 ошибки в вычислениях вычислены не верно, не найдено 1-3 ошибки, 1-2 выражения записаны не верно.
«3» - допустили 4-6 ошибок в вычислениях, не найдено 3-5 ошибки, 1-2 выражения записаны не верно.
«2» - допустили 6-9 ошибок в вычислениях или не справились с заданием
Задания:
1. Выполни деление с остатком
Цель: Проверить сформированность умения делить с остатком
1) 11:2=
2) 15:4=
3) 25:4=
4) 57:6=
5)48:5=
6)10:4=
7)22:3=
8)30:4=
9)18:7=
10)8:3=
2. Проверь правильность выполненных действий.
Цель: Проверить усвоения знания определения деления с остатком
1) 7:3=1 (ост.4)
2) 7:4=1(ост.3)
3) 12:5=1(ост.2)
4) 15:6= 2(ост.2)
5) 18:4= 3(ост.4)
6) 24:5=3 (ост.6)
7) 29:3=4 (ост.9)
8) 11:4=4 (ост.1)
9) 36:7=2(ост.5)
10) 46:8= 5 (ост.5)
Рис. 3. Результаты выполнения самостоятельной работы учащимися на констатирующем этапе эксперимента
Таким образом, по результатам диагностических заданий, мы выявили, что из 25 учащихся (100%) с заданием справились: на «5» - 1 учащихся; на «4» - 14 человек (56%); на «3» - 9 учащихся (36%); на «2» - 1 учащийся (допустил 10 ошибок) (4%). Большинство ошибок было допущено детьми в остатке, который получился больше делителя.
Полученные результаты свидетельствуют о необходимости проведения дополнительной работы с учащимися исследуемого класса по формированию умения делить натуральные числа с остатком.
2.3. Обучающий эксперимент по формированию у младших школьников логических универсальных учебных действий в процессе обучения делению натуральных чисел с остатком
Таким образом, проведенное на предыдущем этапе исследование показало, что у учащихся исследуемого класса не в достаточной степени сформирован такой вид УУД как логические, кроме того, требует дополнительной корректирующей работы сформированность умения выполнять деление натуральных чисел с остатком.
В основу разработки заданий легло предположение о том, что последовательное формирование отдельных видов логических УУД на всех этапах изучения деления натуральных чисел с остатком способствует эффективному формированию указанного компонента в целом.
Задания подбирались нами на оценку остатка и сравнение его с делителем. Данный комплекс упражнений и заданий включался на каждом уроке по данной теме, некоторые задания предлагались учащимся в качестве домашних.
Кроме того отметим, что последовательность предлагаемых заданий соответствовала основным этапам изучения темы «Деление с остатком».
1 этап. Подготовительный
Задание 1.
Цель: формировать у младших школьников умение выполнять анализ, синтез, сравнение; представление о том, что остаток должен быть меньше делителя (на основе табличных случаев умножения натуральных чисел).
Выберем несколько чисел: 12, 13, 14, 15,16, 17. Будем поочередно каждое из этих чисел делить на числа 2,3,4, фиксируя получившиеся при этом остатки.
12:2=6, 13:2=2(ост.1), 14:2=7, 15:2=7(ост1), 16:2=8, 17:2=8(ост.1). Это удобно сделать в виде таблицы:
Делитель Остаток 2 0, 1 3 0, 1, 2 4 0, 1, 2, 3 Сравнивая остатки с делителем, ребенок может сам сделать вывод о том, что остаток всегда меньше делителя. В противном случае цифру частного можно увеличить на единицу.
На каждом уроке учащимся предлагались различные значения делимого и делителя.
Задание 2.
Цель: формировать у младших школьников умения выполнять анализ, синтез, сравнение на основе теоретико-множественного смысла деления «на» и «по» множеств .
Выполнение задания в тетради и работа с дидактическим материалом.
1) Выложите 11 квадратиков. Разложите их поровну. В 3 кучки. Сколько квадратиков в каждой кучке и сколько квадратиков осталось?
2) Нарисуйте 7 яблок, разделите их по 3 яблока. Сколько раз по три яблока содержится в 7? Сколько яблок останется?
3) Возьмите 8 кружков и разделите их между тремя учениками поровну. Сколько кружков получил каждый ученик? Сколько кружков осталось?
2 этап. Основной
Задание 3.
Цель: Формирование умений находить ошибки путем сравнения.
1) Какие остатки могут быть получены при делении на 4, 7,10?
2) Сколько различных остатков может быть при делении на данное число? (6,5,3 и т.д.).
3) Какой наибольший остаток может быть получен при делении на 6?
4) Может ли при делении на 5 получится в остатке 5, 10,3?
5) Верно ли выполнено деление с остатком:
18:8=1(ост.10) 68:7=9 (ост.3) 2:7=0 (ост.2)
2 этап
Задание 4.
Цель: Формировать навык решения задач на деление с остатком (на основе знаний табличных случаев сложения)
Учащиеся часто затрудняютсяв подборе цифры частного. Поэтому в устные упражнения полезно включать задания:
1) Какие числа до 30 делятся на 7 без остатка?
2) Какое число близкое к 55, но меньшее 55, делится без остатка на 8?
Задание 5.
Цель: Формировать навык решения задач на деление с остатком (на основе знаний табличных случаев сложения)
Как мы будем рассуждать при делении с остатком? (осознанность навыка деления с остатком)
45:6=
1) Найду самое близкое к делимому число, которое меньше делимого и делится на 6 без остатка. Это число 42.
2) Разделю 42 на 6, получу 7.
3) Узнаю остаток. Я разделил 42, а нужно разделить 45. 45-42=3. Значит, в остатке 3.
4) Сравню остаток с делителем. Остаток 3 меньше 6. Значит, делимое 42 подобрано правильно.
45:6=7 (ост.3)
24:5=
57:8=
45:7=
3 этап
Задание 6.
Цель: формировать у младших школьников умения выполнять анализ, синтез, сравнение.
Творческое задание.
Какие задания можно дать к следующим записям:
+ = (ост.3)
36: = (ост.1)
52: = 7 (ост. )
3 этап
Задание 7.
Цель: формирование у младших школьников умения выявлять причины ошибок.
Для того, чтобы дети сознательно использовали способ подбора частного, полезно:
а) предлагать учащимся задания вида: «Выбери из чисел 3,4,6,7,9 то число, которое можно вставить в «окошко», чтобы запись была верной. Объясни, почему не подходят другие числа».
76:8=
Вспомнив, таблицу умножения, некоторые учащиеся сразу называют число 9. После того, как число выбрано, выполняется запись:
76:8=9 (ост.4) 4<8
Теперь нужно объяснить, почему не подходят другие числа. Дети подставляют в «окошко» каждое число и комментируют свои действия.
76:8=3, 3*8=24, 76-24, остаток больше делителя. Запись будет неверной.
3 этап. Закрепление
Задание 8.
Цель: Закрепление вычислительного навыка
Задание для самоконтроля.
Вычисли и проверь свой ответ:
85:15=
Рассуждения ученика: в данном случае примерную цифру частного следует проверять умножением до тех пор, пока не подберется цифра, умножение которой на делитель даст в результате число, близкое к делимому. В данном случае можно использовать прием округления: число 15 округляем до 20 и сразу проверяем цифру 4: 20*4=80<85-не подходит.